1. 如图，若$∠ 1=∠ 2=∠ 3$，则图中相似三角形有()

A.1 对
B.2 对
C.3 对
D.4 对

1. D

证明：
1.
∵∠1=∠3，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC；
2.
∵∠1=∠2，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACD；
3. 由1、2得△ABC∽△ACD；
4.
∵∠2=∠3，∠DBC=∠CBE，
∴△BDC∽△BCE。
综上，相似三角形共4对。
D

2. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点$A$，$B$，$C$，$D$，$E$，$F$，$G$在小正方形的顶点上，则$△ ABC$的重心是()

A.点$D$
B.点$E$
C.点$F$
D.点$G$

2. A

解：三角形重心是三条中线的交点。
设网格中小正方形边长为1，建立平面直角坐标系，设点D为坐标原点$(0,0)$。
则各点坐标为：$A(0,2)$，$B(-3,-1)$，$C(4,0)$。
计算BC边中点坐标：$x = \frac{-3 + 4}{2} = \frac{1}{2}$，$y = \frac{-1 + 0}{2} = -\frac{1}{2}$，即$(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$。
BC边中线所在直线方程：过点$A(0,2)$和$(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$，斜率$k = \frac{-\frac{1}{2} - 2}{\frac{1}{2} - 0} = -5$，方程为$y = -5x + 2$。
计算AC边中点坐标：$x = \frac{0 + 4}{2} = 2$，$y = \frac{2 + 0}{2} = 1$，即$(2,1)$。
AC边中线所在直线方程：过点$B(-3,-1)$和$(2,1)$，斜率$k = \frac{1 - (-1)}{2 - (-3)} = \frac{2}{5}$，方程为$y + 1 = \frac{2}{5}(x + 3)$，即$y = \frac{2}{5}x + \frac{1}{5}$。
联立两中线方程：$\begin{cases}y = -5x + 2 \\ y = \frac{2}{5}x + \frac{1}{5}\end{cases}$，解得$x = 0$，$y = 0$，即交点为$D(0,0)$。
所以$△ ABC$的重心是点D。
A

3. 如图，$△ ABC$的两条中线$AD$和$BE$相交于点$G$，过点$E$作$EF// BC$交$AD$于点$F$，那么$\frac{FG}{AG}=$.

3. $\frac{1}{4}$

解：
∵AD、BE是△ABC的中线，
∴BD=DC，AE=EC，G为△ABC的重心，
∴$\frac{AG}{GD}=\frac{2}{1}$，设GD=k，则AG=2k，AD=3k。
∵EF//BC，
∴△AFE∽△ADC，
∴$\frac{AF}{AD}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$，
∴AF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{3}{2}$k，
∴FG=AF - AG=$\frac{3}{2}$k - 2k=$\frac{1}{2}$k，
∴$\frac{FG}{AG}=\frac{\frac{1}{2}k}{2k}=\frac{1}{4}$。
$\frac{1}{4}$

4. 如图，已知$△ ABC$，$△ DCE$，$△ FEG$，$△ HGI$是四个全等的等腰三角形，底边$BC$，$CE$，$EG$，$GI$在同一直线上，且$AB = 2$，$BC = 1$，连接$AI$，交$FG$于点$Q$，则$QI=$.

4. $\frac{4}{3}$

5. 如图，$△ ABC$中，$CD$是边$AB$上的高，且$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$.
(1) 试说明：$△ ACD∽△ CBD$；
(2) 求$∠ ACB$的大小.

5.（1）$\because CD$是边$AB$上的高，$\therefore ∠ ADC=∠ CDB=90^{\circ}$.又$\because \frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$，$\therefore △ ACD ∽ △ CBD$；（2）$\because △ ACD ∽ △ CBD$，$\therefore ∠ A=∠ BCD$.在$△ ACD$中，$∠ ADC=90^{\circ}$，$\therefore ∠ A+∠ ACD=90^{\circ}$，$\therefore ∠ BCD+∠ ACD=90^{\circ}$，即$∠ ACB=90^{\circ}$.

(1) 证明：$\because CD$是边$AB$上的高，$\therefore ∠ ADC = ∠ CDB = 90°$。又$\because \frac{AD}{CD} = \frac{CD}{BD}$，$\therefore △ ACD ∼ △ CBD$。
(2) $\because △ ACD ∼ △ CBD$，$\therefore ∠ A = ∠ BCD$。在$△ ACD$中，$∠ ADC = 90°$，$\therefore ∠ A + ∠ ACD = 90°$，$\therefore ∠ BCD + ∠ ACD = 90°$，即$∠ ACB = 90°$。

6. 如图，正方形$ABCD$的边长为$4$，$E$是$CD$的中点，点$P$在射线$AB$上，过点$P$作线段$AE$的垂线段，垂足为$F$.
(1) 求证：$△ PAF∽△ AED$；
(2) 连接$PE$，若存在点$P$使$△ PEF$与$△ AED$相似，直接写出$PA$的长.

6.（1）在正方形$ABCD$中，$∠ D=90^{\circ}$，$CD // AB$，$\therefore ∠ AED=∠ PAF$，$\because PF ⊥ AE$，$\therefore ∠ D=∠ PFA=90^{\circ}$，$\therefore △ PAF ∽ △ AED$；（2）当$PA=PB=2$时，$\because DE=EC$，$AP=PB$，$\therefore PE // AD$，此时$∠ DAE=∠ PEF$，$∠ D=∠ PFE=90^{\circ}$，可得$△ PEF ∽ △ EAD$.当$∠ AED=∠ PEF$，$∠ D=∠ PFE$时，$△ ADE ∽ △ PFE$，$\because CD // AB$，$\therefore ∠ AED=∠ EAP=∠ AEP$，$\therefore PA=PE$，$\because PF ⊥ AE$，$\therefore AF=FE$，$\because AD=4$，$DE=EC=2$，$∠ D=90^{\circ}$，$\therefore AE=\sqrt{DE^{2}+AD^{2}}=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=2\sqrt{5}$，$\therefore AF=\sqrt{5}$，$\because △ PAF ∽ △ AED$，$\therefore \frac{PA}{AE}=\frac{AF}{DE}$，$\therefore \frac{PA}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\therefore PA=5$，综上所述，满足条件的$PA$的值为2或5.

(1) 证明：在正方形$ABCD$中，$∠ D = 90°$，$CD // AB$，$\therefore ∠ AED = ∠ PAF$。
$\because PF ⊥ AE$，$\therefore ∠ PFA = 90°$，$\therefore ∠ D = ∠ PFA$。
$\therefore △ PAF ∼ △ AED$。
(2) 当$PA = 2$时，$P$为$AB$中点，$E$为$CD$中点，$\therefore PE // AD$，$∠ DAE = ∠ PEF$，$∠ D = ∠ PFE = 90°$，$△ PEF ∼ △ EAD$。
当$∠ AED = ∠ PEF$，$∠ D = ∠ PFE$时，$△ ADE ∼ △ PFE$。
$\because CD // AB$，$∠ AED = ∠ EAP = ∠ AEP$，$\therefore PA = PE$。
$\because PF ⊥ AE$，$\therefore AF = FE$。
$\because AD = 4$，$DE = 2$，$∠ D = 90°$，$\therefore AE = \sqrt{4^2 + 2^2} = 2\sqrt{5}$，$AF = \sqrt{5}$。
$\because △ PAF ∼ △ AED$，$\frac{PA}{AE} = \frac{AF}{DE}$，$\frac{PA}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$，$\therefore PA = 5$。
综上，$PA$的长为$2$或$5$。