一、选择题
1. 在四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 和 $BD$ 交于点 $O$，下列条件中不能判定四边形 $ABCD$ 是平行四边形的是()。
A.$OA = OC$，$OB = OD$
B.$AD // BC$，$AB // DC$
C.$AB = DC$，$AD = BC$
D.$AB // DC$，$AD = BC$

1. D

【分析】
要解决这道题，我们需要先回忆平行四边形的各类判定定理，再逐一分析每个选项是否符合判定条件，找出不能判定四边形为平行四边形的选项。具体思路如下：首先明确平行四边形的核心判定依据，包括对角线互相平分、两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等；然后依次验证每个选项是否匹配这些依据，对于易混淆的条件（如一组对边平行另一组对边相等），要考虑到特殊图形（如等腰梯形）的可能性，从而判断该条件是否能唯一判定为平行四边形。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：根据平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，已知$OA = OC$，$OB = OD$，即对角线$AC$和$BD$互相平分，因此四边形$ABCD$是平行四边形，该选项能判定。
2. 选项B：根据平行四边形的判定定理“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，已知$AD // BC$，$AB // DC$，满足两组对边分别平行，因此四边形$ABCD$是平行四边形，该选项能判定。
3. 选项C：根据平行四边形的判定定理“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，已知$AB = DC$，$AD = BC$，满足两组对边分别相等，因此四边形$ABCD$是平行四边形，该选项能判定。
4. 选项D：已知$AB // DC$，$AD = BC$，这种情况下四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，无法唯一判定为平行四边形，该选项不能判定。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定
【点评】
本题重点考查平行四边形的判定定理，需要准确区分不同判定条件的适用范围，尤其要注意“一组对边平行且相等”才是平行四边形的有效判定，而“一组对边平行，另一组对边相等”不能唯一判定为平行四边形，容易与等腰梯形混淆，需特别留意。
【难度系数】
0.7

2. 如图所示，$AB // CD // EF$，$AC = CE$，则下列说法中正确的是()。

A.$AB = CD$
B.$AB = CD = EF$
C.$BD = DF$
D.$AC = BD$

2. C

解：
∵AB//CD//EF，AC=CE，
∴BD=DF（平行线分线段成比例定理）。
结论：C

3. 如图(1)所示，在$□ ABCD$中，$AD ＞ AB$，$∠ ABC$为锐角.要在对角线 $BD$ 上找点 $N$，$M$，使四边形 $ANCM$ 为平行四边形，现有图(2)中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是()。


A.甲、乙、丙都是
B.只有甲、乙才是
C.只有甲、丙才是
D.只有乙、丙才是

3. A

证明：
甲方案：
取$BD$中点$O$，则$BO=OD$。
由$BN=NO$，$OM=MD$，得$NO=\frac{1}{2}BO$，$OM=\frac{1}{2}OD$，
$\because BO=OD$，$\therefore NO=OM$。
又$AO=OC$（平行四边形对角线互相平分），
$\therefore$四边形$ANCM$为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
乙方案：
$\because AN⊥ BD$，$CM⊥ BD$，$\therefore AN// CM$。
在$△ ABN$和$△ CDM$中，
$∠ ANB=∠ CMD=90°$，$∠ ABN=∠ CDM$（$AB// CD$，内错角相等），$AB=CD$，
$\therefore △ ABN≌△ CDM$（AAS），$\therefore AN=CM$。
$\therefore$四边形$ANCM$为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
丙方案：
$\because AN$平分$∠ BAD$，$CM$平分$∠ BCD$，
$∠ BAD=∠ BCD$（平行四边形对角相等），$\therefore ∠ BAN=∠ DCM$。
在$△ ABN$和$△ CDM$中，
$∠ ABN=∠ CDM$，$AB=CD$，$∠ BAN=∠ DCM$，
$\therefore △ ABN≌△ CDM$（ASA），$\therefore AN=CM$，$∠ ANB=∠ CMD$。
$\therefore ∠ ANM=∠ CMN$（等角的补角相等），$\therefore AN// CM$。
$\therefore$四边形$ANCM$为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
综上，甲、乙、丙方案均正确。
A

二、填空题
4. 小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条 $AC$，$BD$ 的中点重叠，并用钉子固定，则四边形 $ABCD$ 就是平行四边形，这种方法的依据是。

4. 对角线互相平分的四边形是平行四边形

【分析】
首先分析题目中的操作：将两根木条AC，BD的中点重叠，这意味着OA=OC，OB=OD，即四边形ABCD的两条对角线互相平分。接下来回忆平行四边形的判定定理，其中“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理正好符合该操作的逻辑，因此可以确定这种方法的依据就是这个定理。
【解析】
由题意可知，AC与BD的中点重叠，即OA=OC，OB=OD，也就是四边形ABCD的对角线互相平分。根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以四边形ABCD是平行四边形，因此这种方法的依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形。
【答案】
对角线互相平分的四边形是平行四边形
【知识点】
平行四边形的判定
【点评】
本题考查平行四边形判定定理的实际应用，需要准确理解并牢记平行四边形的判定定理，能将实际操作转化为几何图形的性质与判定逻辑。
【难度系数】
0.9

5. 把边长为 $3\mathrm{cm}$，$5\mathrm{cm}$，$7\mathrm{cm}$ 的两个全等三角形拼成四边形，一共能拼成个不同的四边形，其中有个平行四边形.

5. 6 3

【分析】
要解决这个问题，我们可以从全等三角形的拼接规则入手：
1. 两个全等三角形拼成四边形，必须将一组相等的边重合作为公共边，且两个三角形在公共边的两侧（若在同侧拼接会形成大三角形，不属于四边形）。
2. 全等三角形有3组对应相等的边（3cm、5cm、7cm），对于每一组公共边，存在2种不同的拼接方式：一种拼接后形成平行四边形，另一种形成非平行四边形的四边形。
3. 先计算总四边形数量：每组对应边对应2种不同四边形，3组边共3×2=6个；再计算平行四边形数量：每组对应边仅能拼接出1个平行四边形，3组边共3个。
【解析】
步骤1：明确拼接要求
两个全等三角形拼成四边形，需以一组相等的边为公共边，且两个三角形位于公共边的两侧（同侧拼接会形成三角形，不符合题意）。
步骤2：计算不同四边形的总数
全等三角形有3组对应相等的边（3cm、5cm、7cm），对于每一组边作为公共边时，有2种不同的拼接方式（两种方式形成的四边形形状不同），因此总四边形数量为：$3×2=6$个。
步骤3：计算平行四边形的数量
当以某组对应边为公共边，将两个三角形反向拼接（对应顶点关于公共边对称）时，拼接后的四边形两组对边分别平行且相等，满足平行四边形的定义。每一组对应边对应1个平行四边形，因此平行四边形数量为：$3×1=3$个。
【答案】
6；3
【知识点】
全等三角形拼接、平行四边形判定、四边形构成
【点评】
本题考查全等三角形的拼接规律和平行四边形的判定，需要学生具备一定的空间想象能力，关键是理解“以对应边为公共边、两侧拼接”才能形成四边形，同时掌握平行四边形对边平行且相等的核心特征，容易出错的点是漏算拼接方式或混淆平行四边形的拼接条件。
【难度系数】
0.4

6. 在四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，$AD // BC$，请添加一个条件：，使四边形 $ABCD$ 为平行四边形（不添加任何辅助线）。

6. 答案不唯一，如：AB//CD

AB//CD