三、解答题
7. 如图所示,点 $ A $, $ D $, $ B $, $ E $ 在同一直线上, $ AD = BE $, $ AC = DF $, $ AC // DF $. 请从图中找出一个与 $ ∠ E $ 相等的角,并加以证明(不再添加其他的字母与线段).

7. ∠FCB 或∠ABC,证明略

∠ABC
证明：
∵AC//DF，
∴∠A=∠FDE。
∵AD=BE，
∴AD+DB=BE+DB，即AB=DE。
在△ABC和△DEF中，
$\begin{cases}AC=DF \\∠A=∠FDE \\AB=DE\end{cases}$
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴∠ABC=∠E。

8. 如图所示,在 $ □ ABCD $ 中, $ AE ⊥ BD $, $ CF ⊥ BD $,点 $ E $, $ F $ 分别为垂足.
(1) 求证:四边形 $ AECF $ 是平行四边形;
(2) 如果 $ AE = 3 $, $ EF = 4 $,求 $ AF $, $ EC $ 所在直线之间的距离.

8. (1)提示:证明△ABE≌△CDF,则 AE=CF,又 AE//CF,得证 (2)2.4

(1) 证明：
∵四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AB = CD$，$AB // CD$，
∴ $∠ ABE = ∠ CDF$。
∵ $AE ⊥ BD$，$CF ⊥ BD$，
∴ $∠ AEB = ∠ CFD = 90°$，$AE // CF$。
在 $△ ABE$ 和 $△ CDF$ 中，
$\begin{cases}∠ ABE = ∠ CDF \\∠ AEB = ∠ CFD \\AB = CD\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ CDF$（AAS），
∴ $AE = CF$。
∵ $AE // CF$ 且 $AE = CF$，
∴ 四边形 $AECF$ 是平行四边形。
(2) 解：
∵ 四边形 $AECF$ 是平行四边形，
∴ $AF = EC$，$AF // EC$。
设 $AF$ 与 $EC$ 之间的距离为 $h$。
∵ $AE ⊥ BD$，$EF = 4$，
∴ 平行四边形 $AECF$ 的面积 $S = AE · EF = 3 × 4 = 12$。
在 $\mathrm{Rt}△ AEF$ 中，$AF = \sqrt{AE^2 + EF^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。
又 $S = AF · h$，即 $12 = 5h$，解得 $h = \frac{12}{5} = 2.4$。
故 $AF$，$EC$ 所在直线之间的距离为 $2.4$。

9. 如图所示,点 $ E $, $ F $ 分别是 $ □ ABCD $ 的一组对边 $ AD $, $ BC $ 的中点, $ BE $ 与 $ AF $ 交于点 $ G $, $ CE $ 与 $ DF $ 交于点 $ H $. 求证:
(1) $ GE // FH $;
(2) 四边形 $ EGFH $ 是平行四边形.

9. 提示:由已知可得 DE≌BF,故四边形 DEBF 是平行四边形,即 GE//FH.同理得 GF//EH,故四边形 EGFH 是平行四边形

证明：
(1)
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AD = BC$。
∵$E$，$F$分别是$AD$，$BC$的中点，
∴$DE=\frac{1}{2}AD$，$BF=\frac{1}{2}BC$，
∴$DE = BF$。
又
∵$DE// BF$，
∴四边形$DEBF$是平行四边形，
∴$BE// DF$，即$GE// FH$。
(2) 同理，$AE=\frac{1}{2}AD$，$FC=\frac{1}{2}BC$，
∴$AE = FC$。
又
∵$AE// FC$，
∴四边形$AECF$是平行四边形，
∴$AF// CE$，即$GF// EH$。
∵$GE// FH$且$GF// EH$，
∴四边形$EGFH$是平行四边形。