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1. 化简$\sqrt{8}$的结果是（
A.$2\sqrt{2}$
B.$4\sqrt{2}$
C.$2$
D.$4$
A
）。A.$2\sqrt{2}$
B.$4\sqrt{2}$
C.$2$
D.$4$
答案
1.A
解析
【分析】
本题考查二次根式的化简，解题思路是利用二次根式的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），将被开方数8分解为完全平方数和另一个非负整数的乘积，再把完全平方数开方后移到根号外即可得到化简结果。第一步先拆分被开方数，第二步应用二次根式性质拆分根号，第三步计算完全平方数的算术平方根，合并得到最终结果。
【解析】
根据二次根式的化简规则：
$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}$
根据二次根式的乘法性质，可得：
$\sqrt{4×2}=\sqrt{4}×\sqrt{2}$
因为$\sqrt{4}=2$，代入得：
$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的化简、二次根式的性质
【点评】
本题属于二次根式化简的基础题型，核心是掌握将被开方数中能开得尽方的因数分离并开方的方法，熟练运用二次根式的相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.9
本题考查二次根式的化简，解题思路是利用二次根式的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），将被开方数8分解为完全平方数和另一个非负整数的乘积，再把完全平方数开方后移到根号外即可得到化简结果。第一步先拆分被开方数，第二步应用二次根式性质拆分根号，第三步计算完全平方数的算术平方根，合并得到最终结果。
【解析】
根据二次根式的化简规则：
$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}$
根据二次根式的乘法性质，可得：
$\sqrt{4×2}=\sqrt{4}×\sqrt{2}$
因为$\sqrt{4}=2$，代入得：
$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的化简、二次根式的性质
【点评】
本题属于二次根式化简的基础题型，核心是掌握将被开方数中能开得尽方的因数分离并开方的方法，熟练运用二次根式的相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.9
2. 已知$\sqrt{(a-1)^2}=1-a$，则$a$的取值范围是（
A.$a＞1$
B.$a＜1$
C.$a≥1$
D.$a≤1$
D
）。A.$a＞1$
B.$a＜1$
C.$a≥1$
D.$a≤1$
答案
2.D
解析
【分析】
解决这道题首先要回忆二次根式的化简规则：$\sqrt{x^2}=|x|$，因此先把等式左边的二次根式转化为绝对值形式。再结合绝对值的性质：当一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数是非正数，据此列出关于a的不等式，解不等式就能得到a的取值范围。
【解析】
根据二次根式的性质可得：$\sqrt{(a-1)^2}=|a-1|$
已知$\sqrt{(a-1)^2}=1-a$，因此$|a-1|=1-a$
根据绝对值的性质：若$|m|=-m$，则$m≤0$，此处$m=a-1$，$-m=1-a$，因此可得：
$a-1≤0$
移项解得：$a≤1$
所以选D选项。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的性质，解一元一次不等式
【点评】
本题是二次根式性质与绝对值性质的综合基础题，解题核心是熟练掌握$\sqrt{a^2}=|a|$的化简规则，易错点是容易忽略绝对值等于相反数时包含原数为0的情况，漏掉等号导致错选。
【难度系数】
0.85
解决这道题首先要回忆二次根式的化简规则：$\sqrt{x^2}=|x|$，因此先把等式左边的二次根式转化为绝对值形式。再结合绝对值的性质：当一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数是非正数，据此列出关于a的不等式，解不等式就能得到a的取值范围。
【解析】
根据二次根式的性质可得：$\sqrt{(a-1)^2}=|a-1|$
已知$\sqrt{(a-1)^2}=1-a$，因此$|a-1|=1-a$
根据绝对值的性质：若$|m|=-m$，则$m≤0$，此处$m=a-1$，$-m=1-a$，因此可得：
$a-1≤0$
移项解得：$a≤1$
所以选D选项。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的性质，解一元一次不等式
【点评】
本题是二次根式性质与绝对值性质的综合基础题，解题核心是熟练掌握$\sqrt{a^2}=|a|$的化简规则，易错点是容易忽略绝对值等于相反数时包含原数为0的情况，漏掉等号导致错选。
【难度系数】
0.85
3. 实数$a,b$在数轴上对应点的位置如图所示，则$\sqrt{b^2} - |a - b| = (\quad)$。
A.$-a$
B.$a$
C.$-2b+a$
D.$-2b -a$
A.$-a$
B.$a$
C.$-2b+a$
D.$-2b -a$
答案
3.A
解析
【分析】
首先观察数轴确定实数a、b的大小和正负关系：数轴上左侧的数小于右侧的数，可得$b＜0＜a$，进一步可判断$a-b$的符号为正；再回忆二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，将原式转化为含绝对值的式子，最后根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可得到结果。
【解析】
由数轴可知：$b＜0＜a$，因此$a-b＞0$。
根据二次根式的性质可得：$\sqrt{b^2}=|b|$，
因为$b＜0$，所以$|b|=-b$；
因为$a-b＞0$，所以$|a-b|=a-b$。
将上述结果代入原式计算：
$\begin{aligned}\sqrt{b^2} - |a - b|&=|b| - (a - b)\\&=-b -a +b\\&=-a\end{aligned}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
数轴的应用，二次根式的性质，绝对值的化简
【点评】
本题属于基础化简类题目，解题核心是先通过数轴判断出各数的正负以及相关代数式的符号，再结合二次根式、绝对值的性质正确去绝对值，计算时注意去括号的符号变化即可。
【难度系数】
0.8
首先观察数轴确定实数a、b的大小和正负关系：数轴上左侧的数小于右侧的数，可得$b＜0＜a$，进一步可判断$a-b$的符号为正；再回忆二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，将原式转化为含绝对值的式子，最后根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可得到结果。
【解析】
由数轴可知：$b＜0＜a$，因此$a-b＞0$。
根据二次根式的性质可得：$\sqrt{b^2}=|b|$，
因为$b＜0$，所以$|b|=-b$；
因为$a-b＞0$，所以$|a-b|=a-b$。
将上述结果代入原式计算：
$\begin{aligned}\sqrt{b^2} - |a - b|&=|b| - (a - b)\\&=-b -a +b\\&=-a\end{aligned}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
数轴的应用，二次根式的性质，绝对值的化简
【点评】
本题属于基础化简类题目，解题核心是先通过数轴判断出各数的正负以及相关代数式的符号，再结合二次根式、绝对值的性质正确去绝对值，计算时注意去括号的符号变化即可。
【难度系数】
0.8
4. 下列计算正确的是(
A.$\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{6}$
B.$\sqrt{18} = 2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{8} + \sqrt{2} = \sqrt{10}$
D.$\sqrt{(-5)^2} = -5$
A
)。A.$\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{6}$
B.$\sqrt{18} = 2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{8} + \sqrt{2} = \sqrt{10}$
D.$\sqrt{(-5)^2} = -5$
答案
4.A
解析
【分析】
这道题考查二次根式的相关运算与性质，解题时需要逐一分析每个选项，结合二次根式的乘法法则、化简方法、加减运算规则以及算术平方根的非负性来判断对错。首先回忆各运算规则：二次根式相乘时，被开方数相乘、根指数不变；二次根式加减时，要先将根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；算术平方根的结果一定是非负数，按照这些规则逐个验证选项即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} \ (a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{2 × 3} = \sqrt{6}$，计算正确。
B. 化简$\sqrt{18}$：$\sqrt{18} = \sqrt{9 × 2} = \sqrt{9} × \sqrt{2} = 3\sqrt{2} ≠ 2\sqrt{3}$，该选项错误。
C. 先化简$\sqrt{8} = \sqrt{4 × 2} = 2\sqrt{2}$，二次根式加减时合并同类二次根式，可得$\sqrt{8} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2} ≠ \sqrt{10}$，该选项错误。
D. 先计算根号内的部分：$\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25}$，算术平方根的结果为非负数，所以$\sqrt{25}=5 ≠ -5$，该选项错误。
综上，计算正确的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
二次根式乘法，二次根式化简，算术平方根性质
【点评】
本题属于二次根式的基础考查题，核心是对二次根式运算法则和性质的掌握，解题时需注意区分各类运算的易错点：比如二次根式加减不是直接将被开方数相加，算术平方根结果恒为非负，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
这道题考查二次根式的相关运算与性质，解题时需要逐一分析每个选项，结合二次根式的乘法法则、化简方法、加减运算规则以及算术平方根的非负性来判断对错。首先回忆各运算规则：二次根式相乘时，被开方数相乘、根指数不变；二次根式加减时，要先将根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；算术平方根的结果一定是非负数，按照这些规则逐个验证选项即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} \ (a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{2 × 3} = \sqrt{6}$，计算正确。
B. 化简$\sqrt{18}$：$\sqrt{18} = \sqrt{9 × 2} = \sqrt{9} × \sqrt{2} = 3\sqrt{2} ≠ 2\sqrt{3}$，该选项错误。
C. 先化简$\sqrt{8} = \sqrt{4 × 2} = 2\sqrt{2}$，二次根式加减时合并同类二次根式，可得$\sqrt{8} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2} ≠ \sqrt{10}$，该选项错误。
D. 先计算根号内的部分：$\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25}$，算术平方根的结果为非负数，所以$\sqrt{25}=5 ≠ -5$，该选项错误。
综上，计算正确的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
二次根式乘法，二次根式化简，算术平方根性质
【点评】
本题属于二次根式的基础考查题，核心是对二次根式运算法则和性质的掌握，解题时需注意区分各类运算的易错点：比如二次根式加减不是直接将被开方数相加，算术平方根结果恒为非负，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
5. 计算$\sqrt{32} - 4\sqrt{\frac{1}{8}}$的结果是
$3\sqrt{2}$
。答案
5.$3\sqrt{2}$
解析
【分析】
这是一道二次根式的减法计算题，解题思路分为两步：第一步先将算式中的两个二次根式分别化为最简二次根式，第二步判断化简后的二次根式是否为同类二次根式（被开方数相同），如果是则将系数相减、被开方数保持不变，合并得到最终结果。解题时先按照最简二次根式的化简规则（被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式）分别化简两个根式即可。
【解析】
第一步：化简各项二次根式
① 化简$\sqrt{32}$：
$\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=\sqrt{16}×\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
② 化简$4\sqrt{\frac{1}{8}}$：
先对根号内的分数分母有理化，$\sqrt{\frac{1}{8}}=\sqrt{\frac{1×2}{8×2}}=\sqrt{\frac{2}{16}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{16}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$
所以$4\sqrt{\frac{1}{8}}=4×\frac{\sqrt{2}}{4}=\sqrt{2}$
第二步：合并同类二次根式
原式$=4\sqrt{2}-\sqrt{2}=(4-1)\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式的化简、二次根式的加减运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心考查最简二次根式的化简方法和同类二次根式的合并规则，熟练掌握二次根式的化简技巧是解决这类题目的关键。
【难度系数】
0.8
这是一道二次根式的减法计算题，解题思路分为两步：第一步先将算式中的两个二次根式分别化为最简二次根式，第二步判断化简后的二次根式是否为同类二次根式（被开方数相同），如果是则将系数相减、被开方数保持不变，合并得到最终结果。解题时先按照最简二次根式的化简规则（被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式）分别化简两个根式即可。
【解析】
第一步：化简各项二次根式
① 化简$\sqrt{32}$：
$\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=\sqrt{16}×\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
② 化简$4\sqrt{\frac{1}{8}}$：
先对根号内的分数分母有理化，$\sqrt{\frac{1}{8}}=\sqrt{\frac{1×2}{8×2}}=\sqrt{\frac{2}{16}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{16}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$
所以$4\sqrt{\frac{1}{8}}=4×\frac{\sqrt{2}}{4}=\sqrt{2}$
第二步：合并同类二次根式
原式$=4\sqrt{2}-\sqrt{2}=(4-1)\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式的化简、二次根式的加减运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心考查最简二次根式的化简方法和同类二次根式的合并规则，熟练掌握二次根式的化简技巧是解决这类题目的关键。
【难度系数】
0.8
6. 将$\sqrt{\dfrac{8}{3}}$化成最简二次根式为
$\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$
。答案
6.$\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$
解析
【分析】
要将给定的二次根式化为最简二次根式，首先要明确最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。解题思路如下：第一步利用二次根式的性质$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$，将原式拆分为分子、分母两个二次根式的商；第二步进行分母有理化，消去分母中的根号；第三步化简分子中的二次根式，把能开得尽方的因数开出来，最终得到最简结果。
【解析】
解：根据二次根式的性质化简：
$\sqrt{\dfrac{8}{3}}=\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}$
对分母进行有理化，分子、分母同乘$\sqrt{3}$：
$=\dfrac{\sqrt{8}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{24}}{3}$
化简分子$\sqrt{24}$，将24拆分为$4×6$（4是能开得尽方的因数）：
$=\dfrac{\sqrt{4×6}}{3}=\dfrac{\sqrt{4}×\sqrt{6}}{3}=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$
【答案】
$\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$
【知识点】
最简二次根式；二次根式的化简；分母有理化
【点评】
本题属于二次根式化简的基础题型，核心是掌握最简二次根式的判定标准，化简时要注意先去除被开方数的分母，再去除被开方数中可开方的因数，计算过程中要注意二次根式乘法运算的准确性。
【难度系数】
0.8
要将给定的二次根式化为最简二次根式，首先要明确最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。解题思路如下：第一步利用二次根式的性质$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$，将原式拆分为分子、分母两个二次根式的商；第二步进行分母有理化，消去分母中的根号；第三步化简分子中的二次根式，把能开得尽方的因数开出来，最终得到最简结果。
【解析】
解：根据二次根式的性质化简：
$\sqrt{\dfrac{8}{3}}=\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}$
对分母进行有理化，分子、分母同乘$\sqrt{3}$：
$=\dfrac{\sqrt{8}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{24}}{3}$
化简分子$\sqrt{24}$，将24拆分为$4×6$（4是能开得尽方的因数）：
$=\dfrac{\sqrt{4×6}}{3}=\dfrac{\sqrt{4}×\sqrt{6}}{3}=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$
【答案】
$\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$
【知识点】
最简二次根式；二次根式的化简；分母有理化
【点评】
本题属于二次根式化简的基础题型，核心是掌握最简二次根式的判定标准，化简时要注意先去除被开方数的分母，再去除被开方数中可开方的因数，计算过程中要注意二次根式乘法运算的准确性。
【难度系数】
0.8
7. 若$\sqrt{20}$与最简二次根式$\sqrt{3a-2}$是同类二次根式，则$a=$
$\dfrac{7}{3}$
。答案
7.$\dfrac{7}{3}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，这几个二次根式就是同类二次根式。解题思路如下：第一步先把$\sqrt{20}$化为最简二次根式，得到它的被开方数；第二步根据同类二次根式的性质，两个最简二次根式的被开方数相等，列出关于$a$的一元一次方程；第三步解方程求出$a$的值即可。
【解析】
1. 化简$\sqrt{20}$：
$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=2\sqrt{5}$，可得化简后的被开方数为$5$。
2. 列方程：
已知$\sqrt{3a-2}$是最简二次根式，且和$\sqrt{20}$是同类二次根式，因此二者的被开方数相等，可得方程：
$3a-2=5$
3. 解方程：
移项得$3a=5+2$，即$3a=7$，
系数化为1得$a=\frac{7}{3}$。
【答案】
$\dfrac{7}{3}$
【知识点】
二次根式化简，同类二次根式定义，一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是先将非最简形式的二次根式化为最简，再利用同类二次根式被开方数相同的性质列方程计算，题干已经明确给出$\sqrt{3a-2}$是最简二次根式，无需额外判断其是否为最简形式。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，这几个二次根式就是同类二次根式。解题思路如下：第一步先把$\sqrt{20}$化为最简二次根式，得到它的被开方数；第二步根据同类二次根式的性质，两个最简二次根式的被开方数相等，列出关于$a$的一元一次方程；第三步解方程求出$a$的值即可。
【解析】
1. 化简$\sqrt{20}$：
$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=2\sqrt{5}$，可得化简后的被开方数为$5$。
2. 列方程：
已知$\sqrt{3a-2}$是最简二次根式，且和$\sqrt{20}$是同类二次根式，因此二者的被开方数相等，可得方程：
$3a-2=5$
3. 解方程：
移项得$3a=5+2$，即$3a=7$，
系数化为1得$a=\frac{7}{3}$。
【答案】
$\dfrac{7}{3}$
【知识点】
二次根式化简，同类二次根式定义，一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是先将非最简形式的二次根式化为最简，再利用同类二次根式被开方数相同的性质列方程计算，题干已经明确给出$\sqrt{3a-2}$是最简二次根式，无需额外判断其是否为最简形式。
【难度系数】
0.8
8. 按如图所示的程序进行计算，若输入的n的值是$\sqrt{2}$，则输出的结果是
$8+5\sqrt{2}$
。答案
8.$8+5\sqrt{2}$
解析
【分析】
首先明确程序的运算逻辑：输入n后，先计算代数式n(n+1)的值，再判断该值是否大于11，若大于11则直接输出结果；若不大于11，则将该计算结果作为新的n重新代入计算n(n+1)，重复判断直到结果大于11即可输出。我们只需将初始值n=√2代入，按规则逐步计算即可。
【解析】
第一步：初始输入$n=\sqrt{2}$，计算$n(n+1)$：
$\begin{aligned}n(n+1)&=\sqrt{2}×(\sqrt{2}+1)\\&=\sqrt{2}×\sqrt{2}+\sqrt{2}×1\\&=2+\sqrt{2}\end{aligned}$
判断大小：$2+\sqrt{2}\approx3.414＜11$，不满足输出条件，将$2+\sqrt{2}$作为新的n回代。
第二步：代入新的$n=2+\sqrt{2}$，计算$n(n+1)$：
$\begin{aligned}n(n+1)&=(2+\sqrt{2})×(2+\sqrt{2}+1)\\&=(2+\sqrt{2})×(3+\sqrt{2})\\&=2×3+2×\sqrt{2}+\sqrt{2}×3+\sqrt{2}×\sqrt{2}\\&=6+2\sqrt{2}+3\sqrt{2}+2\\&=8+5\sqrt{2}\end{aligned}$
判断大小：$8+5\sqrt{2}\approx15.07＞11$，满足输出条件。
【答案】
$8+5\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式的运算，程序流程图计算
【点评】
本题既考查对程序运算逻辑的理解，也考查二次根式混合运算的能力，解题时要注意第一次计算结果不满足输出条件时，需将结果回代重新计算，运算过程中要正确运用二次根式的乘法法则，不要漏乘或算错项。
【难度系数】
0.7
首先明确程序的运算逻辑：输入n后，先计算代数式n(n+1)的值，再判断该值是否大于11，若大于11则直接输出结果；若不大于11，则将该计算结果作为新的n重新代入计算n(n+1)，重复判断直到结果大于11即可输出。我们只需将初始值n=√2代入，按规则逐步计算即可。
【解析】
第一步：初始输入$n=\sqrt{2}$，计算$n(n+1)$：
$\begin{aligned}n(n+1)&=\sqrt{2}×(\sqrt{2}+1)\\&=\sqrt{2}×\sqrt{2}+\sqrt{2}×1\\&=2+\sqrt{2}\end{aligned}$
判断大小：$2+\sqrt{2}\approx3.414＜11$，不满足输出条件，将$2+\sqrt{2}$作为新的n回代。
第二步：代入新的$n=2+\sqrt{2}$，计算$n(n+1)$：
$\begin{aligned}n(n+1)&=(2+\sqrt{2})×(2+\sqrt{2}+1)\\&=(2+\sqrt{2})×(3+\sqrt{2})\\&=2×3+2×\sqrt{2}+\sqrt{2}×3+\sqrt{2}×\sqrt{2}\\&=6+2\sqrt{2}+3\sqrt{2}+2\\&=8+5\sqrt{2}\end{aligned}$
判断大小：$8+5\sqrt{2}\approx15.07＞11$，满足输出条件。
【答案】
$8+5\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式的运算，程序流程图计算
【点评】
本题既考查对程序运算逻辑的理解，也考查二次根式混合运算的能力，解题时要注意第一次计算结果不满足输出条件时，需将结果回代重新计算，运算过程中要正确运用二次根式的乘法法则，不要漏乘或算错项。
【难度系数】
0.7
9. 定义“★”是一种新运算，对于任意实数$a,b(a≠b)$，当$a＞b$时，$a★b=a^2 - b$；当$a＜b$时，$a★b=a - b^2$。例如：
$2★1=2^2 - 1=3$，$1★2=1 - 2^2=-3$，那么$2★[(-2)★(-\sqrt{3})]=$
$2★1=2^2 - 1=3$，$1★2=1 - 2^2=-3$，那么$2★[(-2)★(-\sqrt{3})]=$
$9$
。答案
9.$9$
解析
【分析】
本题属于自定义新运算题型，解题需遵循“先算括号内，再算括号外”的运算顺序：第一步先计算内层的$(-2)★(-\sqrt{3})$，先比较$-2$和$-\sqrt{3}$的大小，再选择对应的运算规则算出结果；第二步将内层结果代入外层运算，再次比较$2$和内层结果的大小，选对应规则计算即可得到最终答案。
【解析】
首先计算括号内的$(-2)★(-\sqrt{3})$：
先比较两个数的大小：$\because \sqrt{3}\approx1.732$，$\therefore -\sqrt{3}\approx-1.732$，可得$-2 ＜ -\sqrt{3}$，符合$a＜b$的运算规则。
根据规则$a＜b$时$a★b=a - b^2$，代入得：
$(-2)★(-\sqrt{3})=(-2) - (-\sqrt{3})^2=-2 - 3=-5$。
接下来计算外层的$2★(-5)$：
比较大小：$2 ＞ -5$，符合$a＞b$的运算规则。
根据规则$a＞b$时$a★b=a^2 - b$，代入得：
$2★(-5)=2^2 - (-5)=4 + 5=9$。
【答案】
$9$
【知识点】
自定义新运算、实数大小比较、实数混合运算
【点评】
本题解题核心是严格遵循给定的运算规则，每一步运算前都要先判断两个数的大小，选对对应的运算公式，计算时注意负数平方的符号问题，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
本题属于自定义新运算题型，解题需遵循“先算括号内，再算括号外”的运算顺序：第一步先计算内层的$(-2)★(-\sqrt{3})$，先比较$-2$和$-\sqrt{3}$的大小，再选择对应的运算规则算出结果；第二步将内层结果代入外层运算，再次比较$2$和内层结果的大小，选对应规则计算即可得到最终答案。
【解析】
首先计算括号内的$(-2)★(-\sqrt{3})$：
先比较两个数的大小：$\because \sqrt{3}\approx1.732$，$\therefore -\sqrt{3}\approx-1.732$，可得$-2 ＜ -\sqrt{3}$，符合$a＜b$的运算规则。
根据规则$a＜b$时$a★b=a - b^2$，代入得：
$(-2)★(-\sqrt{3})=(-2) - (-\sqrt{3})^2=-2 - 3=-5$。
接下来计算外层的$2★(-5)$：
比较大小：$2 ＞ -5$，符合$a＞b$的运算规则。
根据规则$a＞b$时$a★b=a^2 - b$，代入得：
$2★(-5)=2^2 - (-5)=4 + 5=9$。
【答案】
$9$
【知识点】
自定义新运算、实数大小比较、实数混合运算
【点评】
本题解题核心是严格遵循给定的运算规则，每一步运算前都要先判断两个数的大小，选对对应的运算公式，计算时注意负数平方的符号问题，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
10. 计算:
(1)$(2\sqrt{\dfrac{16}{3}}+\sqrt{3})×\sqrt{6}$；
(2)$\sqrt{24}+\sqrt{12}+6\sqrt{\dfrac{2}{3}}$；
(3)$(2\sqrt{3}+\sqrt{5})^2+(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)$；
(4)$\dfrac{\sqrt{24}+\sqrt{216}}{\sqrt{6}}+5$；
(5)$\dfrac{1}{2}\sqrt{4}-\dfrac{1}{5}\sqrt{50}+|1-\sqrt{2}|$。
(1)$(2\sqrt{\dfrac{16}{3}}+\sqrt{3})×\sqrt{6}$；
(2)$\sqrt{24}+\sqrt{12}+6\sqrt{\dfrac{2}{3}}$；
(3)$(2\sqrt{3}+\sqrt{5})^2+(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)$；
(4)$\dfrac{\sqrt{24}+\sqrt{216}}{\sqrt{6}}+5$；
(5)$\dfrac{1}{2}\sqrt{4}-\dfrac{1}{5}\sqrt{50}+|1-\sqrt{2}|$。
答案
10.(1)$11\sqrt{2}$ (2)$4\sqrt{6}+2\sqrt{3}$ (3)$16+4\sqrt{15}$ (4)$13$ (5)$0$
解析
【分析】
这组题目为二次根式的混合运算，解题思路如下：①先把所有非最简二次根式化简为最简二次根式；②遵循整式运算规则计算，可灵活运用乘法分配律、完全平方公式、平方差公式简化计算过程；③遇到绝对值时，先判断绝对值内表达式的正负，再去掉绝对值符号；④最后合并同类二次根式得到最终结果。
【解析】
(1) 利用乘法分配律展开计算：
原式$=2\sqrt{\dfrac{16}{3}} × \sqrt{6} + \sqrt{3} × \sqrt{6}$
$=2\sqrt{\dfrac{16}{3} × 6} + \sqrt{18}$
$=2\sqrt{32} + 3\sqrt{2}$
$=2×4\sqrt{2} + 3\sqrt{2}$
$=8\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 11\sqrt{2}$
(2) 先化简各二次根式，再合并同类二次根式：
原式$=2\sqrt{6} + 2\sqrt{3} + 6×\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
$=2\sqrt{6} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{6}$
$=4\sqrt{6} + 2\sqrt{3}$
(3) 分别用完全平方公式和平方差公式计算：
首先，$(2\sqrt{3}+\sqrt{5})^2=(2\sqrt{3})^2 + 2×2\sqrt{3}×\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2=12 + 4\sqrt{15} + 5=17 + 4\sqrt{15}$
其次，$(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)=(\sqrt{3})^2 - 2^2=3 - 4=-1$
相加得：$17 + 4\sqrt{15} - 1 = 16 + 4\sqrt{15}$
(4) 将分子拆分分别除以分母，简化计算：
原式$=\dfrac{\sqrt{24}}{\sqrt{6}} + \dfrac{\sqrt{216}}{\sqrt{6}} + 5$
$=\sqrt{\dfrac{24}{6}} + \sqrt{\dfrac{216}{6}} +5$
$=\sqrt{4} + \sqrt{36} +5$
$=2 + 6 +5=13$
(5) 分别化简各部分，再去绝对值计算：
原式$=\dfrac{1}{2}×2 - \dfrac{1}{5}×5\sqrt{2} + (\sqrt{2}-1)$
$=1 - \sqrt{2} + \sqrt{2} -1=0$
【答案】
(1)$11\sqrt{2}$ (2)$4\sqrt{6}+2\sqrt{3}$ (3)$16+4\sqrt{15}$ (4)$13$ (5)$0$
【知识点】
二次根式混合运算、乘法公式应用、绝对值化简
【点评】
这组题目是二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式的化简、同类二次根式合并，以及乘法公式在二次根式运算中的灵活运用，计算时注意运算顺序和符号判断，养成先化简再计算的习惯可有效降低出错率。
【难度系数】
0.85
这组题目为二次根式的混合运算，解题思路如下：①先把所有非最简二次根式化简为最简二次根式；②遵循整式运算规则计算，可灵活运用乘法分配律、完全平方公式、平方差公式简化计算过程；③遇到绝对值时，先判断绝对值内表达式的正负，再去掉绝对值符号；④最后合并同类二次根式得到最终结果。
【解析】
(1) 利用乘法分配律展开计算：
原式$=2\sqrt{\dfrac{16}{3}} × \sqrt{6} + \sqrt{3} × \sqrt{6}$
$=2\sqrt{\dfrac{16}{3} × 6} + \sqrt{18}$
$=2\sqrt{32} + 3\sqrt{2}$
$=2×4\sqrt{2} + 3\sqrt{2}$
$=8\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 11\sqrt{2}$
(2) 先化简各二次根式，再合并同类二次根式：
原式$=2\sqrt{6} + 2\sqrt{3} + 6×\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
$=2\sqrt{6} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{6}$
$=4\sqrt{6} + 2\sqrt{3}$
(3) 分别用完全平方公式和平方差公式计算：
首先，$(2\sqrt{3}+\sqrt{5})^2=(2\sqrt{3})^2 + 2×2\sqrt{3}×\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2=12 + 4\sqrt{15} + 5=17 + 4\sqrt{15}$
其次，$(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)=(\sqrt{3})^2 - 2^2=3 - 4=-1$
相加得：$17 + 4\sqrt{15} - 1 = 16 + 4\sqrt{15}$
(4) 将分子拆分分别除以分母，简化计算：
原式$=\dfrac{\sqrt{24}}{\sqrt{6}} + \dfrac{\sqrt{216}}{\sqrt{6}} + 5$
$=\sqrt{\dfrac{24}{6}} + \sqrt{\dfrac{216}{6}} +5$
$=\sqrt{4} + \sqrt{36} +5$
$=2 + 6 +5=13$
(5) 分别化简各部分，再去绝对值计算：
原式$=\dfrac{1}{2}×2 - \dfrac{1}{5}×5\sqrt{2} + (\sqrt{2}-1)$
$=1 - \sqrt{2} + \sqrt{2} -1=0$
【答案】
(1)$11\sqrt{2}$ (2)$4\sqrt{6}+2\sqrt{3}$ (3)$16+4\sqrt{15}$ (4)$13$ (5)$0$
【知识点】
二次根式混合运算、乘法公式应用、绝对值化简
【点评】
这组题目是二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式的化简、同类二次根式合并，以及乘法公式在二次根式运算中的灵活运用，计算时注意运算顺序和符号判断，养成先化简再计算的习惯可有效降低出错率。
【难度系数】
0.85
