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8.小明从家里骑自行车到学校，在同一时间出发，每小时骑15 km可早到10 min，每小时骑12 km就会迟到5 min。他家到学校的路程是多少千米？设他家到学校的路程是x km，则根据题意列出的方程是（
A.$\frac{x}{15}+\frac{10}{60}=\frac{x}{12}-\frac{5}{60}$
B.$\frac{x}{15}-\frac{10}{60}=\frac{x}{12}+\frac{5}{60}$
C.$\frac{x}{15}-\frac{10}{60}=\frac{x}{12}-\frac{5}{60}$
D.$\frac{x}{15}+10=\frac{x}{12}-5$
A
）。A.$\frac{x}{15}+\frac{10}{60}=\frac{x}{12}-\frac{5}{60}$
B.$\frac{x}{15}-\frac{10}{60}=\frac{x}{12}+\frac{5}{60}$
C.$\frac{x}{15}-\frac{10}{60}=\frac{x}{12}-\frac{5}{60}$
D.$\frac{x}{15}+10=\frac{x}{12}-5$
答案
8.A
解析
【分析】
解这道题首先要找到题目中不变的量作为列方程的等量关系，本题中固定不变的是小明从家出发到学校的规定到校时间。其次要注意单位统一，题目中速度单位是km/h，早到、迟到的时间单位是分钟，需要先转换成小时再运算。接下来分别分析两种骑行情况和规定时间的关系：①速度为15km/h时早到10分钟，说明骑行时间比规定时间少10分钟，因此规定时间=骑行时间+10分钟（换算为小时）；②速度为12km/h时迟到5分钟，说明骑行时间比规定时间多5分钟，因此规定时间=骑行时间-5分钟（换算为小时），两个式子都表示规定时间，联立即可得到方程。
【解析】
本题的等量关系为：两种骑行方式对应的规定到校时间相等。
1. 统一时间单位：$10\ \mathrm{min}=\frac{10}{60}\ \mathrm{h}$，$5\ \mathrm{min}=\frac{5}{60}\ \mathrm{h}$。
2. 计算不同速度下的骑行时间：速度为15km/h时，骑行时间为$\frac{x}{15}\ \mathrm{h}$；速度为12km/h时，骑行时间为$\frac{x}{12}\ \mathrm{h}$。
3. 用骑行时间表示规定到校时间：
每小时骑15km早到10min，即骑行时间比规定时间少$\frac{10}{60}\ \mathrm{h}$，因此规定时间为$\frac{x}{15}+\frac{10}{60}$；
每小时骑12km迟到5min，即骑行时间比规定时间多$\frac{5}{60}\ \mathrm{h}$，因此规定时间为$\frac{x}{12}-\frac{5}{60}$。
4. 联立得到方程：$\frac{x}{15}+\frac{10}{60}=\frac{x}{12}-\frac{5}{60}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程应用，行程问题，单位换算
【点评】
本题是行程类列方程的典型题，解题核心是抓住题目中不变的规定到校时间作为等量关系，解题时要注意时间单位的统一，避免出现分钟和小时直接混用的错误，选项D就是未统一单位的典型错误选项。
【难度系数】
0.7
解这道题首先要找到题目中不变的量作为列方程的等量关系，本题中固定不变的是小明从家出发到学校的规定到校时间。其次要注意单位统一，题目中速度单位是km/h，早到、迟到的时间单位是分钟，需要先转换成小时再运算。接下来分别分析两种骑行情况和规定时间的关系：①速度为15km/h时早到10分钟，说明骑行时间比规定时间少10分钟，因此规定时间=骑行时间+10分钟（换算为小时）；②速度为12km/h时迟到5分钟，说明骑行时间比规定时间多5分钟，因此规定时间=骑行时间-5分钟（换算为小时），两个式子都表示规定时间，联立即可得到方程。
【解析】
本题的等量关系为：两种骑行方式对应的规定到校时间相等。
1. 统一时间单位：$10\ \mathrm{min}=\frac{10}{60}\ \mathrm{h}$，$5\ \mathrm{min}=\frac{5}{60}\ \mathrm{h}$。
2. 计算不同速度下的骑行时间：速度为15km/h时，骑行时间为$\frac{x}{15}\ \mathrm{h}$；速度为12km/h时，骑行时间为$\frac{x}{12}\ \mathrm{h}$。
3. 用骑行时间表示规定到校时间：
每小时骑15km早到10min，即骑行时间比规定时间少$\frac{10}{60}\ \mathrm{h}$，因此规定时间为$\frac{x}{15}+\frac{10}{60}$；
每小时骑12km迟到5min，即骑行时间比规定时间多$\frac{5}{60}\ \mathrm{h}$，因此规定时间为$\frac{x}{12}-\frac{5}{60}$。
4. 联立得到方程：$\frac{x}{15}+\frac{10}{60}=\frac{x}{12}-\frac{5}{60}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程应用，行程问题，单位换算
【点评】
本题是行程类列方程的典型题，解题核心是抓住题目中不变的规定到校时间作为等量关系，解题时要注意时间单位的统一，避免出现分钟和小时直接混用的错误，选项D就是未统一单位的典型错误选项。
【难度系数】
0.7
9.一列火车长 480 m,速度为 60 km/h,有一辆速度为 80 km/h 的小汽车,要超越正常行驶的火车,由火车尾追至火车头需要
1.44
min。(小汽车车身长不计)答案
9. 1.44
解析
【分析】
这是行程中的追及问题，解题核心是找准等量关系：小汽车从火车尾追到火车头时，小汽车比火车多行驶的路程刚好等于火车的总长度。解题步骤如下：①先统一单位，将火车长度的单位换算为千米，和速度单位匹配；②设追及时间为未知数，根据“速度差×追及时间=路程差”的追及规律列一元一次方程；③求解方程后将时间单位换算为分钟即可得到结果。
【解析】
解：先统一单位，火车长$ 480\ \mathrm{m}=0.48\ \mathrm{km} $。
设由火车尾追至火车头需要$ t $小时。
小汽车与火车的速度差为 $ 80-60=20\ \mathrm{km/h} $，追及的路程差等于火车长度，可列方程：
$ 20t=0.48 $
解得：$ t=0.48÷20=0.024\ \mathrm{h} $
换算为分钟：$ 0.024×60=1.44\ \mathrm{min} $
【答案】
1.44
【知识点】
追及问题；单位换算；一元一次方程的应用
【点评】
本题是追及问题的基础题型，解题关键是准确判断追及过程的路程差，同时要注意计算全程的单位统一，避免因单位不匹配出现计算错误。
【难度系数】
0.7
这是行程中的追及问题，解题核心是找准等量关系：小汽车从火车尾追到火车头时，小汽车比火车多行驶的路程刚好等于火车的总长度。解题步骤如下：①先统一单位，将火车长度的单位换算为千米，和速度单位匹配；②设追及时间为未知数，根据“速度差×追及时间=路程差”的追及规律列一元一次方程；③求解方程后将时间单位换算为分钟即可得到结果。
【解析】
解：先统一单位，火车长$ 480\ \mathrm{m}=0.48\ \mathrm{km} $。
设由火车尾追至火车头需要$ t $小时。
小汽车与火车的速度差为 $ 80-60=20\ \mathrm{km/h} $，追及的路程差等于火车长度，可列方程：
$ 20t=0.48 $
解得：$ t=0.48÷20=0.024\ \mathrm{h} $
换算为分钟：$ 0.024×60=1.44\ \mathrm{min} $
【答案】
1.44
【知识点】
追及问题；单位换算；一元一次方程的应用
【点评】
本题是追及问题的基础题型，解题关键是准确判断追及过程的路程差，同时要注意计算全程的单位统一，避免因单位不匹配出现计算错误。
【难度系数】
0.7
10.甲、乙两车分别从相距 360 km 的 A,B两地出发,甲车的速度为 65 km/h,乙车的速度为 55 km/h。两车同时出发,相向而行,求经过多少小时后两车相距60 km。
答案
10. 解:设经过 $x$ h 后两车相距 60 km。
若相遇前相距 60 km,根据题意,得
$65x+55x=360-60$,解得 $x=2.5$;
若相遇后相距 60 km,根据题意,得
$65x+55x=360+60$,解得 $x=3.5$。
所以经过 2.5 h 或 3.5 h 后两车相距 60 km。
若相遇前相距 60 km,根据题意,得
$65x+55x=360-60$,解得 $x=2.5$;
若相遇后相距 60 km,根据题意,得
$65x+55x=360+60$,解得 $x=3.5$。
所以经过 2.5 h 或 3.5 h 后两车相距 60 km。
解析
【分析】
这是相向而行的行程问题，两车相距60km存在两种情况：①两车还未相遇，此时两车行驶的总路程等于两地距离减去60km；②两车相遇后继续行驶再次相距60km，此时两车行驶的总路程等于两地距离加上60km。我们可以设行驶时间为x小时，根据“路程=速度×时间”分别表示两车的行驶路程，再根据两种情况的等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设经过$x$ h后两车相距60 km。
若相遇前相距60 km，此时两车行驶的总路程为$360-60$ km，根据题意列方程：
$65x+55x=360-60$
合并同类项得$120x=300$，解得 $x=2.5$。
若相遇后相距60 km，此时两车行驶的总路程为$360+60$ km，根据题意列方程：
$65x+55x=360+60$
合并同类项得$120x=420$，解得 $x=3.5$。
两种情况均符合实际运动逻辑，均成立。
【答案】
经过2.5 h 或 3.5 h 后两车相距 60 km
【知识点】
一元一次方程应用；相向行程问题；分类讨论
【点评】
本题属于行程中的相遇类问题，易错点是容易遗漏相遇后两车再次相距60km的情况，解题时要结合实际运动过程全面分析所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
这是相向而行的行程问题，两车相距60km存在两种情况：①两车还未相遇，此时两车行驶的总路程等于两地距离减去60km；②两车相遇后继续行驶再次相距60km，此时两车行驶的总路程等于两地距离加上60km。我们可以设行驶时间为x小时，根据“路程=速度×时间”分别表示两车的行驶路程，再根据两种情况的等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设经过$x$ h后两车相距60 km。
若相遇前相距60 km，此时两车行驶的总路程为$360-60$ km，根据题意列方程：
$65x+55x=360-60$
合并同类项得$120x=300$，解得 $x=2.5$。
若相遇后相距60 km，此时两车行驶的总路程为$360+60$ km，根据题意列方程：
$65x+55x=360+60$
合并同类项得$120x=420$，解得 $x=3.5$。
两种情况均符合实际运动逻辑，均成立。
【答案】
经过2.5 h 或 3.5 h 后两车相距 60 km
【知识点】
一元一次方程应用；相向行程问题；分类讨论
【点评】
本题属于行程中的相遇类问题，易错点是容易遗漏相遇后两车再次相距60km的情况，解题时要结合实际运动过程全面分析所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
11.【数学文化】阅读下列史料，并解决相应的问题：
元代数学家、教育家朱世杰（1249—1314），字汉卿，毕生从事数学教育。朱世杰在当时天元术的基础上发展出“四元术”，也就是列出四元高次多项式方程，以及消元求解的方法。主要著作是《算学启蒙》与《四元玉鉴》。
在《算学启蒙》（1299年）一书中，有一道题目：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里。驽马先行一十二日，问良马几何日追及之。”
大意是跑得快的马每天跑240里，跑得慢的马每天跑150里。慢马先跑12天，快马几天可以追上慢马？（1里＝500 m）
元代数学家、教育家朱世杰（1249—1314），字汉卿，毕生从事数学教育。朱世杰在当时天元术的基础上发展出“四元术”，也就是列出四元高次多项式方程，以及消元求解的方法。主要著作是《算学启蒙》与《四元玉鉴》。
在《算学启蒙》（1299年）一书中，有一道题目：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里。驽马先行一十二日，问良马几何日追及之。”
大意是跑得快的马每天跑240里，跑得慢的马每天跑150里。慢马先跑12天，快马几天可以追上慢马？（1里＝500 m）
答案
11. 解:设快马 $x$ 天可以追上慢马。根据题意,得 $240x-150x=150×12$,
解得 $x=20$,
所以快马 20 天可以追上慢马。
解得 $x=20$,
所以快马 20 天可以追上慢马。
解析
【分析】这是一道行程类的追及应用题，解题思路如下：第一步明确已知量：快马日行240里，慢马日行150里，慢马先出发12天，求快马的追及时间；第二步找核心等量关系：快马追上慢马时，两马行驶的总路程相等；第三步设未知数，根据等量关系列一元一次方程，解方程即可得到追及时间。
【解析】解：设快马$x$天可以追上慢马。
根据追及时两马总路程相等，快马$x$天行驶的路程为$240x$里，慢马总共行驶的路程为先走12天的路程加$x$天行驶的路程，即$(150× 12+150x)$里，可列方程：
$240x=150× 12+150x$
移项得：$240x-150x=150× 12$
合并同类项得：$90x=1800$
系数化为1得：$x=20$
答：快马20天可以追上慢马。
【答案】快马20天可以追上慢马。
【知识点】1. 一元一次方程的应用 2. 追及问题 3. 列方程解应用题
【点评】本题以我国古代数学名著中的经典问题为背景，考查利用一元一次方程解决追及类行程问题的能力，解题关键是找准追及过程中的路程等量关系，题目既渗透了传统数学文化，又能提升学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】0.8
【解析】解：设快马$x$天可以追上慢马。
根据追及时两马总路程相等，快马$x$天行驶的路程为$240x$里，慢马总共行驶的路程为先走12天的路程加$x$天行驶的路程，即$(150× 12+150x)$里，可列方程：
$240x=150× 12+150x$
移项得：$240x-150x=150× 12$
合并同类项得：$90x=1800$
系数化为1得：$x=20$
答：快马20天可以追上慢马。
【答案】快马20天可以追上慢马。
【知识点】1. 一元一次方程的应用 2. 追及问题 3. 列方程解应用题
【点评】本题以我国古代数学名著中的经典问题为背景，考查利用一元一次方程解决追及类行程问题的能力，解题关键是找准追及过程中的路程等量关系，题目既渗透了传统数学文化，又能提升学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】0.8
