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一、选择题
1. 如果$|a|=-a$，那么下列不等关系成立的是（）
A.$a＞0$
B.$a＜0$
C.$a≥0$
D.$a≤0$
1. 如果$|a|=-a$，那么下列不等关系成立的是（）
A.$a＞0$
B.$a＜0$
C.$a≥0$
D.$a≤0$
答案
D
解析
【分析】
首先回忆绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。题目给出$|a|=-a$，即a的绝对值等于a的相反数，我们可以分三种情况讨论a的取值：①若a是正数，绝对值等于它本身，不符合条件；②若a是0，0的绝对值是0，0的相反数也是0，符合条件；③若a是负数，绝对值等于它的相反数，符合条件。综合三种情况就能得到a的取值范围，进而选出正确选项。
【解析】
根据绝对值的性质分情况判断：
1. 当$a＞0$时，$|a|=a$，不满足$|a|=-a$，排除A、C选项；
2. 当$a=0$时，$|0|=0$，$-0=0$，满足$|a|=-a$，说明0也符合要求，排除B选项；
3. 当$a＜0$时，$|a|=-a$（负数的绝对值是它的相反数），满足条件。
综上，满足$|a|=-a$的$a$的取值范围是$a≤0$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 绝对值的性质
2. 相反数的概念
【点评】
本题是对绝对值基础性质的考察，易错点是容易忽略$a=0$的特殊情况，学习相关概念时要注意特殊值0的特殊性，避免漏判。
【难度系数】
0.7
首先回忆绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。题目给出$|a|=-a$，即a的绝对值等于a的相反数，我们可以分三种情况讨论a的取值：①若a是正数，绝对值等于它本身，不符合条件；②若a是0，0的绝对值是0，0的相反数也是0，符合条件；③若a是负数，绝对值等于它的相反数，符合条件。综合三种情况就能得到a的取值范围，进而选出正确选项。
【解析】
根据绝对值的性质分情况判断：
1. 当$a＞0$时，$|a|=a$，不满足$|a|=-a$，排除A、C选项；
2. 当$a=0$时，$|0|=0$，$-0=0$，满足$|a|=-a$，说明0也符合要求，排除B选项；
3. 当$a＜0$时，$|a|=-a$（负数的绝对值是它的相反数），满足条件。
综上，满足$|a|=-a$的$a$的取值范围是$a≤0$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 绝对值的性质
2. 相反数的概念
【点评】
本题是对绝对值基础性质的考察，易错点是容易忽略$a=0$的特殊情况，学习相关概念时要注意特殊值0的特殊性，避免漏判。
【难度系数】
0.7
2.在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载，它指“结绳记事”或“结绳记数”。如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满6进1，用来记录他所放牧的羊的只数。由图可知，他所放牧的羊的只数是（）
A.1 234
B.310
C.60
D.10
A.1 234
B.310
C.60
D.10
答案
B
解析
【分析】
首先读懂“满6进1”的计数规则，它类似我们常用的“满10进1”的十进制计数，区别是进制为6。类比十进制的计数逻辑：十进制从右往左每一位的权重是10⁰、10¹、10²……，六进制从右往左每一位的权重就是6⁰、6¹、6²……。接下来先确认每根绳子上的结数（即每一位的数字），再按照“每一位数字×对应权重相加”的规则就能算出总羊数，注意越靠左的绳子权重越高。
【解析】
观察图形可知，从左到右四根绳子的结数依次为1、2、3、4，结合“从右到左排列绳子、满6进1”的规则，从左到右每一位对应的权重依次为6³、6²、6¹、6⁰，计算总羊数：
$\begin{aligned}&1×6^3 + 2×6^2 + 3×6^1 + 4×6^0\\=&1×216 + 2×36 + 3×6 + 4×1\\=&216 + 72 + 18 + 4\\=&310\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
进制转换；有理数乘方；有理数加法
【点评】
本题结合古代结绳记数的传统文化背景考查进制转换的实际应用，只要理解满N进1的计数规则，类比十进制的计算方法就能轻松求解，注意不要混淆各数位对应的权重。
【难度系数】
0.7
首先读懂“满6进1”的计数规则，它类似我们常用的“满10进1”的十进制计数，区别是进制为6。类比十进制的计数逻辑：十进制从右往左每一位的权重是10⁰、10¹、10²……，六进制从右往左每一位的权重就是6⁰、6¹、6²……。接下来先确认每根绳子上的结数（即每一位的数字），再按照“每一位数字×对应权重相加”的规则就能算出总羊数，注意越靠左的绳子权重越高。
【解析】
观察图形可知，从左到右四根绳子的结数依次为1、2、3、4，结合“从右到左排列绳子、满6进1”的规则，从左到右每一位对应的权重依次为6³、6²、6¹、6⁰，计算总羊数：
$\begin{aligned}&1×6^3 + 2×6^2 + 3×6^1 + 4×6^0\\=&1×216 + 2×36 + 3×6 + 4×1\\=&216 + 72 + 18 + 4\\=&310\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
进制转换；有理数乘方；有理数加法
【点评】
本题结合古代结绳记数的传统文化背景考查进制转换的实际应用，只要理解满N进1的计数规则，类比十进制的计算方法就能轻松求解，注意不要混淆各数位对应的权重。
【难度系数】
0.7
二、解答题
3. 计算。
(1)$12+(-18)÷(-6)-(-3)×2$；
(2)$-2^2+(-2)×|1-(-3)^2|-(-1)^{2027}$。
3. 计算。
(1)$12+(-18)÷(-6)-(-3)×2$；
(2)$-2^2+(-2)×|1-(-3)^2|-(-1)^{2027}$。
答案
解：
(1) 原式$=12 + 3 - (-6)$
$=12 + 3 + 6$
$=21$
(2) 原式$=-4 + (-2)×|1 - 9| - (-1)$
$=-4 + (-2)×8 + 1$
$=-4 - 16 + 1$
$=-19$
(1) 原式$=12 + 3 - (-6)$
$=12 + 3 + 6$
$=21$
(2) 原式$=-4 + (-2)×|1 - 9| - (-1)$
$=-4 + (-2)×8 + 1$
$=-4 - 16 + 1$
$=-19$
解析
【分析】
有理数混合运算需遵循“先乘方，再乘除，最后加减，同级运算从左到右，有括号或绝对值时先计算括号或绝对值内部”的运算顺序，同时要熟练掌握符号运算规则。
对于第(1)题：没有乘方运算，先分别计算除法$(-18)÷(-6)$和乘法$(-3)×2$，再按从左到右的顺序计算加减，注意减去负数等于加上它的相反数。
对于第(2)题：先计算乘方$2^2$、$(-3)^2$、$(-1)^{2027}$，再计算绝对值内部的式子，接着算乘法，最后计算加减，注意区分$-2^2$和$(-2)^2$，$-2^2$表示2的平方的相反数，结果为-4。
【解析】
(1) 按运算顺序先算乘除：
$(-18)÷(-6)=3$，$(-3)×2=-6$
原式$=12 + 3 - (-6)$
根据减法法则将减负数转化为加正数：
$=12 + 3 + 6$
依次计算加法得：
$=21$
(2) 先计算乘方和绝对值部分：
$-2^2=-4$，$(-3)^2=9$，$(-1)^{2027}=-1$，$|1-9|=|-8|=8$
原式$=-4 + (-2)×8 - (-1)$
先计算乘法：
$=-4 -16 +1$
按从左到右顺序计算加减得：
$=-19$
【答案】
(1) $\boxed{21}$；(2) $\boxed{-19}$
【知识点】
有理数混合运算，绝对值运算，有理数乘方运算
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，重点考查运算顺序的掌握和符号的处理，计算时要注意区分带负号的乘方运算的含义，避免因符号判断错误丢分，熟练掌握运算规则即可快速正确求解。
【难度系数】
0.8
有理数混合运算需遵循“先乘方，再乘除，最后加减，同级运算从左到右，有括号或绝对值时先计算括号或绝对值内部”的运算顺序，同时要熟练掌握符号运算规则。
对于第(1)题：没有乘方运算，先分别计算除法$(-18)÷(-6)$和乘法$(-3)×2$，再按从左到右的顺序计算加减，注意减去负数等于加上它的相反数。
对于第(2)题：先计算乘方$2^2$、$(-3)^2$、$(-1)^{2027}$，再计算绝对值内部的式子，接着算乘法，最后计算加减，注意区分$-2^2$和$(-2)^2$，$-2^2$表示2的平方的相反数，结果为-4。
【解析】
(1) 按运算顺序先算乘除：
$(-18)÷(-6)=3$，$(-3)×2=-6$
原式$=12 + 3 - (-6)$
根据减法法则将减负数转化为加正数：
$=12 + 3 + 6$
依次计算加法得：
$=21$
(2) 先计算乘方和绝对值部分：
$-2^2=-4$，$(-3)^2=9$，$(-1)^{2027}=-1$，$|1-9|=|-8|=8$
原式$=-4 + (-2)×8 - (-1)$
先计算乘法：
$=-4 -16 +1$
按从左到右顺序计算加减得：
$=-19$
【答案】
(1) $\boxed{21}$；(2) $\boxed{-19}$
【知识点】
有理数混合运算，绝对值运算，有理数乘方运算
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，重点考查运算顺序的掌握和符号的处理，计算时要注意区分带负号的乘方运算的含义，避免因符号判断错误丢分，熟练掌握运算规则即可快速正确求解。
【难度系数】
0.8
4.一个正方体的表面展开图如图所示，将这个展开图折叠成正方体后，a与相对面上的数互为倒数，b比相对面上的数小5，c与相对面上的数互为相反数。求$4a - c + 3b$的值。
答案
解：由正方体表面展开图的特征可知：
a的相对面是-4，b的相对面是2，c的相对面是-1。
∵ a与相对面上的数互为倒数，
∴ $a=\frac{1}{-4}=-\frac{1}{4}$。
∵ b比相对面上的数小5，
∴ $b=2-5=-3$。
∵ c与相对面上的数互为相反数，
∴ $c=-(-1)=1$。
将$a=-\frac{1}{4}$，$b=-3$，$c=1$代入$4a - c + 3b$：
$\begin{aligned}4a - c + 3b&=4×(-\frac{1}{4}) - 1 + 3×(-3)\\&=-1 - 1 - 9\\&=-11\end{aligned}$
答：$4a - c + 3b$的值为$-11$。
a的相对面是-4，b的相对面是2，c的相对面是-1。
∵ a与相对面上的数互为倒数，
∴ $a=\frac{1}{-4}=-\frac{1}{4}$。
∵ b比相对面上的数小5，
∴ $b=2-5=-3$。
∵ c与相对面上的数互为相反数，
∴ $c=-(-1)=1$。
将$a=-\frac{1}{4}$，$b=-3$，$c=1$代入$4a - c + 3b$：
$\begin{aligned}4a - c + 3b&=4×(-\frac{1}{4}) - 1 + 3×(-3)\\&=-1 - 1 - 9\\&=-11\end{aligned}$
答：$4a - c + 3b$的值为$-11$。
解析
【分析】
解题时首先需要明确正方体表面展开图中相对面的判断规律：相对的面不存在公共边和公共顶点，可通过"相间、Z端是对面"的方法找到a、b、c分别对应的相对面数字；再结合题目给出的倒数、两数大小关系、相反数的定义，分别计算出a、b、c的值；最后将三个字母的值代入代数式，按照有理数的混合运算法则计算，即可求出最终结果。
【解析】
解：由正方体表面展开图的特征可知：a的相对面是-4，b的相对面是2，c的相对面是-1。
∵ a与相对面上的数互为倒数，
∴ $a=\frac{1}{-4}=-\frac{1}{4}$。
∵ b比相对面上的数小5，
∴ $b=2-5=-3$。
∵ c与相对面上的数互为相反数，
∴ $c=-(-1)=1$。
将$a=-\frac{1}{4}$，$b=-3$，$c=1$代入$4a - c + 3b$：
$\begin{aligned}4a - c + 3b&=4×(-\frac{1}{4}) - 1 + 3×(-3)\\&=-1 - 1 - 9\\&=-11\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{-11}$
【知识点】
正方体展开图识别、倒数与相反数、代数式求值
【点评】
本题属于基础综合题，将立体图形展开图的知识和有理数概念、代数式运算结合考查，解题核心是准确判断展开图的相对面，只要掌握相对面的判断规律和有理数相关概念，就能顺利求解。
【难度系数】
0.75
解题时首先需要明确正方体表面展开图中相对面的判断规律：相对的面不存在公共边和公共顶点，可通过"相间、Z端是对面"的方法找到a、b、c分别对应的相对面数字；再结合题目给出的倒数、两数大小关系、相反数的定义，分别计算出a、b、c的值；最后将三个字母的值代入代数式，按照有理数的混合运算法则计算，即可求出最终结果。
【解析】
解：由正方体表面展开图的特征可知：a的相对面是-4，b的相对面是2，c的相对面是-1。
∵ a与相对面上的数互为倒数，
∴ $a=\frac{1}{-4}=-\frac{1}{4}$。
∵ b比相对面上的数小5，
∴ $b=2-5=-3$。
∵ c与相对面上的数互为相反数，
∴ $c=-(-1)=1$。
将$a=-\frac{1}{4}$，$b=-3$，$c=1$代入$4a - c + 3b$：
$\begin{aligned}4a - c + 3b&=4×(-\frac{1}{4}) - 1 + 3×(-3)\\&=-1 - 1 - 9\\&=-11\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{-11}$
【知识点】
正方体展开图识别、倒数与相反数、代数式求值
【点评】
本题属于基础综合题，将立体图形展开图的知识和有理数概念、代数式运算结合考查，解题核心是准确判断展开图的相对面，只要掌握相对面的判断规律和有理数相关概念，就能顺利求解。
【难度系数】
0.75
5. 有理数$a,b,c$在数轴上的位置如图所示。
（第5题）
(1)$a$$0,b-c$$0,b-a$$0,a+c$$0$。（均填“$＞$”“$＜$”或“$=$”）
(2)化简：$|a|=$,$|b-a|=$,$|a+c|=$。
(3)根据上图所示，若$a=-2,|b|=1,|c|=3$,求$2a-b+3c$的值。
（第5题）(1)$a$$0,b-c$$0,b-a$$0,a+c$$0$。（均填“$＞$”“$＜$”或“$=$”）
(2)化简：$|a|=$,$|b-a|=$,$|a+c|=$。
(3)根据上图所示，若$a=-2,|b|=1,|c|=3$,求$2a-b+3c$的值。
答案
解：
(1) $＜$；$＜$；$＞$；$＞$
(2) $-a$；$b-a$；$a+c$
(3) 由数轴可知$b＞0$，$c＞0$，
$\because |b|=1, |c|=3$
$\therefore b=1, c=3$
将$a=-2$，$b=1$，$c=3$代入$2a-b+3c$：
$2a-b+3c=2×(-2)-1+3×3=-4-1+9=4$
答：$2a-b+3c$的值为4。
(1) $＜$；$＜$；$＞$；$＞$
(2) $-a$；$b-a$；$a+c$
(3) 由数轴可知$b＞0$，$c＞0$，
$\because |b|=1, |c|=3$
$\therefore b=1, c=3$
将$a=-2$，$b=1$，$c=3$代入$2a-b+3c$：
$2a-b+3c=2×(-2)-1+3×3=-4-1+9=4$
答：$2a-b+3c$的值为4。
解析
【分析】
解题首先观察数轴，明确数轴上右边的数总比左边的数大，可得$a＜0＜b＜c$，且$c$到原点的距离大于$a$到原点的距离。
(1)判断各式与0的大小：根据数的正负、两数大小关系即可判断差的符号，再结合两数绝对值大小判断和的符号；
(2)化简绝对值：根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”，结合第一步判断的各代数式的正负性化简即可；
(3)求代数式的值：先根据数轴上$b、c$的正负性，结合绝对值的定义求出$b、c$的取值，再代入代数式计算即可。
【解析】
由数轴可得：$a＜0＜b＜c$，且$|c|＞|a|＞|b|$
(1) ①$a$在原点左侧，故$a＜0$；
②$b＜c$，较小数减较大数结果为负，故$b-c＜0$；
③$b＞a$，较大数减较小数结果为正，故$b-a＞0$；
④$a$为负、$c$为正，且$|c|＞|a|$，异号两数相加取绝对值较大的数的符号，故$a+c＞0$。
(2) ①$a$是负数，负数的绝对值是它的相反数，故$|a|=-a$；
②$b-a$是正数，正数的绝对值是它本身，故$|b-a|=b-a$；
③$a+c$是正数，正数的绝对值是它本身，故$|a+c|=a+c$。
(3) 由数轴可知$b＞0$，$c＞0$，
$\because |b|=1, |c|=3$
$\therefore b=1, c=3$
将$a=-2$，$b=1$，$c=3$代入$2a-b+3c$得：
$2a-b+3c=2×(-2)-1+3×3=-4-1+9=4$
【答案】
(1) $＜$；$＜$；$＞$；$＞$
(2) $-a$；$b-a$；$a+c$
(3) $4$
【知识点】
数轴的应用；绝对值的性质；代数式求值
【点评】
本题是基础的有理数综合题，解题核心是先通过数轴确定各数的正负性和大小关系，再结合绝对值的性质完成判断、化简和计算，掌握数轴和绝对值的基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题首先观察数轴，明确数轴上右边的数总比左边的数大，可得$a＜0＜b＜c$，且$c$到原点的距离大于$a$到原点的距离。
(1)判断各式与0的大小：根据数的正负、两数大小关系即可判断差的符号，再结合两数绝对值大小判断和的符号；
(2)化简绝对值：根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”，结合第一步判断的各代数式的正负性化简即可；
(3)求代数式的值：先根据数轴上$b、c$的正负性，结合绝对值的定义求出$b、c$的取值，再代入代数式计算即可。
【解析】
由数轴可得：$a＜0＜b＜c$，且$|c|＞|a|＞|b|$
(1) ①$a$在原点左侧，故$a＜0$；
②$b＜c$，较小数减较大数结果为负，故$b-c＜0$；
③$b＞a$，较大数减较小数结果为正，故$b-a＞0$；
④$a$为负、$c$为正，且$|c|＞|a|$，异号两数相加取绝对值较大的数的符号，故$a+c＞0$。
(2) ①$a$是负数，负数的绝对值是它的相反数，故$|a|=-a$；
②$b-a$是正数，正数的绝对值是它本身，故$|b-a|=b-a$；
③$a+c$是正数，正数的绝对值是它本身，故$|a+c|=a+c$。
(3) 由数轴可知$b＞0$，$c＞0$，
$\because |b|=1, |c|=3$
$\therefore b=1, c=3$
将$a=-2$，$b=1$，$c=3$代入$2a-b+3c$得：
$2a-b+3c=2×(-2)-1+3×3=-4-1+9=4$
【答案】
(1) $＜$；$＜$；$＞$；$＞$
(2) $-a$；$b-a$；$a+c$
(3) $4$
【知识点】
数轴的应用；绝对值的性质；代数式求值
【点评】
本题是基础的有理数综合题，解题核心是先通过数轴确定各数的正负性和大小关系，再结合绝对值的性质完成判断、化简和计算，掌握数轴和绝对值的基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
