1. 比较大小:$-π$ (填“>”“<”或“=”)$-3.14$。
答案
<
解析
【分析】
要比较两个负数的大小,首先回忆负数比较大小的规则:两个负数,绝对值大的反而小。解题时先分别求出两个数的绝对值,再比较绝对值的大小,最后根据规则推导两个负数的大小关系即可。我们已知π是无限不循环小数,近似值约为3.1415926…,可据此对比它和3.14的大小。
【解析】
解:根据两个负数比较大小的规则:绝对值大的负数反而小。
1. 分别计算两个数的绝对值:
$\vert -π\vert=π\approx3.1415926$,$\vert -3.14\vert=3.14$
2. 比较绝对值的大小:
因为$3.1415926>3.14$,即$\vert -π\vert>\vert -3.14\vert$
3. 推导原数大小:
根据负数比较大小的规则,可得$-π<-3.14$
【答案】
<
【知识点】
负数大小比较;π的认识
【点评】
本题属于基础题型,重点考查负数比较大小的基本方法,解题的关键是牢记两个负数比较大小的规则,同时熟记π的近似值,即可快速得到结果。
【难度系数】
0.9
要比较两个负数的大小,首先回忆负数比较大小的规则:两个负数,绝对值大的反而小。解题时先分别求出两个数的绝对值,再比较绝对值的大小,最后根据规则推导两个负数的大小关系即可。我们已知π是无限不循环小数,近似值约为3.1415926…,可据此对比它和3.14的大小。
【解析】
解:根据两个负数比较大小的规则:绝对值大的负数反而小。
1. 分别计算两个数的绝对值:
$\vert -π\vert=π\approx3.1415926$,$\vert -3.14\vert=3.14$
2. 比较绝对值的大小:
因为$3.1415926>3.14$,即$\vert -π\vert>\vert -3.14\vert$
3. 推导原数大小:
根据负数比较大小的规则,可得$-π<-3.14$
【答案】
<
【知识点】
负数大小比较;π的认识
【点评】
本题属于基础题型,重点考查负数比较大小的基本方法,解题的关键是牢记两个负数比较大小的规则,同时熟记π的近似值,即可快速得到结果。
【难度系数】
0.9
2. 比-3小9的数是,最小的正整数是,相反数等于本身的数是。
答案
解:
$-3 - 9 = -12$,故比-3小9的数是$\boldsymbol{-12}$;
根据正整数的定义,最小的正整数是$\boldsymbol{1}$;
设数$a$的相反数等于它本身,由相反数定义得$a=-a$,解得$a=0$,故相反数等于本身的数是$\boldsymbol{0}$。
$-3 - 9 = -12$,故比-3小9的数是$\boldsymbol{-12}$;
根据正整数的定义,最小的正整数是$\boldsymbol{1}$;
设数$a$的相反数等于它本身,由相反数定义得$a=-a$,解得$a=0$,故相反数等于本身的数是$\boldsymbol{0}$。
解析
【分析】
1. 求比一个数小多少的数,根据减法的意义,用这个数减去小的数值即可,因此求比-3小9的数可列减法算式计算;
2. 正整数是大于0的整数,按从小到大的顺序正整数从1开始,据此可得最小的正整数;
3. 根据相反数的定义,只有符号不同的两个数互为相反数,若一个数的相反数等于它本身,可设这个数为a,列等式求解即可。
【解析】
计算比-3小9的数:$-3 - 9 = -12$;
根据正整数的定义,正整数为大于0的整数,因此最小的正整数是1;
设相反数等于本身的数为$a$,由相反数定义可得$a=-a$,移项得$2a=0$,解得$a=0$,即相反数等于本身的数是0。
【答案】
$\boldsymbol{-12}$;$\boldsymbol{1}$;$\boldsymbol{0}$
【知识点】
有理数减法运算;正整数的定义;相反数的定义
【点评】
本题是基础类题型,主要考查有理数相关的基础概念和简单运算,熟练掌握基础概念的含义即可快速解题。
【难度系数】
0.9
1. 求比一个数小多少的数,根据减法的意义,用这个数减去小的数值即可,因此求比-3小9的数可列减法算式计算;
2. 正整数是大于0的整数,按从小到大的顺序正整数从1开始,据此可得最小的正整数;
3. 根据相反数的定义,只有符号不同的两个数互为相反数,若一个数的相反数等于它本身,可设这个数为a,列等式求解即可。
【解析】
计算比-3小9的数:$-3 - 9 = -12$;
根据正整数的定义,正整数为大于0的整数,因此最小的正整数是1;
设相反数等于本身的数为$a$,由相反数定义可得$a=-a$,移项得$2a=0$,解得$a=0$,即相反数等于本身的数是0。
【答案】
$\boldsymbol{-12}$;$\boldsymbol{1}$;$\boldsymbol{0}$
【知识点】
有理数减法运算;正整数的定义;相反数的定义
【点评】
本题是基础类题型,主要考查有理数相关的基础概念和简单运算,熟练掌握基础概念的含义即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3.如果$|a|=19$,$|b|=97$,且$|a+b|≠a+b$,那么$a-b=$。
答案
解:
由$|a|=19$,可得$a=\pm19$;
由$|b|=97$,可得$b=\pm97$。
因为$|a+b|≠ a+b$,所以$a+b<0$。
若$b=97$,无论$a=19$还是$a=-19$,都有$a+b>0$,不符合条件,因此$b=-97$。
当$a=19$,$b=-97$时,$a-b=19-(-97)=116$;
当$a=-19$,$b=-97$时,$a-b=-19-(-97)=78$。
综上,$a-b=116$或$78$。
由$|a|=19$,可得$a=\pm19$;
由$|b|=97$,可得$b=\pm97$。
因为$|a+b|≠ a+b$,所以$a+b<0$。
若$b=97$,无论$a=19$还是$a=-19$,都有$a+b>0$,不符合条件,因此$b=-97$。
当$a=19$,$b=-97$时,$a-b=19-(-97)=116$;
当$a=-19$,$b=-97$时,$a-b=-19-(-97)=78$。
综上,$a-b=116$或$78$。
解析
【分析】
解题时首先根据绝对值的定义,由|a|、|b|的取值得出a、b所有可能的取值;再结合条件|a+b|≠a+b,利用“正数和0的绝对值等于它本身”的性质,可推导出a+b为负数,据此排除不符合的b的取值;最后对剩余符合条件的a、b取值分类讨论,分别计算a-b的结果即可。
【解析】
由$|a|=19$,可得$a=\pm19$;
由$|b|=97$,可得$b=\pm97$。
因为$|a+b|≠ a+b$,根据绝对值的性质,正数和0的绝对值等于本身,所以$a+b<0$。
若$b=97$,无论$a=19$还是$a=-19$,都有$a+b>0$,不符合条件,因此$b=-97$。
当$a=19$,$b=-97$时,$a-b=19-(-97)=116$;
当$a=-19$,$b=-97$时,$a-b=-19-(-97)=78$。
综上,$a-b$的值为116或78。
【答案】
116或78
【知识点】
绝对值的性质,有理数加减运算,分类讨论思想
【点评】
本题核心考查绝对值性质的灵活应用,解题时需先明确字母的所有可能取值,再结合限制条件筛选出符合要求的取值,最后分类计算结果,注意避免漏解或代入不符合条件的取值计算。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据绝对值的定义,由|a|、|b|的取值得出a、b所有可能的取值;再结合条件|a+b|≠a+b,利用“正数和0的绝对值等于它本身”的性质,可推导出a+b为负数,据此排除不符合的b的取值;最后对剩余符合条件的a、b取值分类讨论,分别计算a-b的结果即可。
【解析】
由$|a|=19$,可得$a=\pm19$;
由$|b|=97$,可得$b=\pm97$。
因为$|a+b|≠ a+b$,根据绝对值的性质,正数和0的绝对值等于本身,所以$a+b<0$。
若$b=97$,无论$a=19$还是$a=-19$,都有$a+b>0$,不符合条件,因此$b=-97$。
当$a=19$,$b=-97$时,$a-b=19-(-97)=116$;
当$a=-19$,$b=-97$时,$a-b=-19-(-97)=78$。
综上,$a-b$的值为116或78。
【答案】
116或78
【知识点】
绝对值的性质,有理数加减运算,分类讨论思想
【点评】
本题核心考查绝对值性质的灵活应用,解题时需先明确字母的所有可能取值,再结合限制条件筛选出符合要求的取值,最后分类计算结果,注意避免漏解或代入不符合条件的取值计算。
【难度系数】
0.7
4. 形如$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$的式子叫作二阶行列式,它的运算法则用公式表示为$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$。依此法则计算$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 4 \end{vmatrix}=$ ______ 。
答案
解:根据二阶行列式的运算法则,
$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 4 \end{vmatrix} = 2×4 - 1×(-3)$
$=8 + 3$
$=11$
$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 4 \end{vmatrix} = 2×4 - 1×(-3)$
$=8 + 3$
$=11$
解析
【分析】这是一道新定义运算类题目,解题时首先要准确理解题干给出的二阶行列式运算法则:$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$,先定位所求行列式中对应a、b、c、d的数值,分别为a=2,b=1,c=-3,d=4,再将数值代入公式,按照有理数运算规则计算即可,计算时要注意负号的处理,减去负数等于加上它的相反数。
【解析】根据二阶行列式的运算法则:
$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 4 \end{vmatrix} = 2×4 - 1×(-3)$
$=8 + 3$
$=11$
【答案】11
【知识点】新定义运算;有理数混合运算
【点评】本题属于新定义基础运算题,核心是读懂题干给出的运算规则,准确对应各个位置的数值,计算时注意符号处理即可正确求解。
【难度系数】0.9
【解析】根据二阶行列式的运算法则:
$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 4 \end{vmatrix} = 2×4 - 1×(-3)$
$=8 + 3$
$=11$
【答案】11
【知识点】新定义运算;有理数混合运算
【点评】本题属于新定义基础运算题,核心是读懂题干给出的运算规则,准确对应各个位置的数值,计算时注意符号处理即可正确求解。
【难度系数】0.9
5.实行塑料购物袋有偿使用制度有利于控制白色污染。一个塑料袋被丢弃后会污染约500 $\mathrm{cm}^2$的地面,照此计算,如果100万人每人丢弃一个塑料袋,那么地面受到污染的面积用科学记数法表示是 $\mathrm{m}^2$。
答案
$\boldsymbol{5×10^4}$
解析
【分析】
解题时先明确核心思路:总污染面积=单只塑料袋污染面积×丢弃塑料袋的总数量,同时要注意单位换算,需将计算得到的平方厘米换算为题目要求的平方米,最后把结果改写为科学记数法的形式(形式为$a×10^n$,要求$1≤a<10$,$n$为整数)。解题步骤依次为:先算丢弃塑料袋的总数量,再算总面积(单位:平方厘米),接着做单位换算,最后转化为科学记数法即可。
【解析】
1. 换算丢弃塑料袋总数量:100万$=1000000=1×10^6$个
2. 计算总污染面积(单位:$\mathrm{cm}^2$):$1×10^6 × 500 = 5×10^8\ \mathrm{cm}^2$
3. 单位换算:因为$1\mathrm{m}=100\mathrm{cm}$,所以$1\mathrm{m}^2=100×100=10^4\ \mathrm{cm}^2$,因此总污染面积换算为$\mathrm{m}^2$为:$5×10^8 ÷ 10^4 = 5×10^4\ \mathrm{m}^2$
【答案】
$5×10^4$
【知识点】
科学记数法;面积单位换算;有理数乘法
【点评】
本题结合白色污染的生活实际命题,难度不高,易错点是容易遗漏平方厘米和平方米的单位换算,或者计算科学记数法的指数时出错,解题时需仔细核对单位和计算结果。
【难度系数】
0.7
解题时先明确核心思路:总污染面积=单只塑料袋污染面积×丢弃塑料袋的总数量,同时要注意单位换算,需将计算得到的平方厘米换算为题目要求的平方米,最后把结果改写为科学记数法的形式(形式为$a×10^n$,要求$1≤a<10$,$n$为整数)。解题步骤依次为:先算丢弃塑料袋的总数量,再算总面积(单位:平方厘米),接着做单位换算,最后转化为科学记数法即可。
【解析】
1. 换算丢弃塑料袋总数量:100万$=1000000=1×10^6$个
2. 计算总污染面积(单位:$\mathrm{cm}^2$):$1×10^6 × 500 = 5×10^8\ \mathrm{cm}^2$
3. 单位换算:因为$1\mathrm{m}=100\mathrm{cm}$,所以$1\mathrm{m}^2=100×100=10^4\ \mathrm{cm}^2$,因此总污染面积换算为$\mathrm{m}^2$为:$5×10^8 ÷ 10^4 = 5×10^4\ \mathrm{m}^2$
【答案】
$5×10^4$
【知识点】
科学记数法;面积单位换算;有理数乘法
【点评】
本题结合白色污染的生活实际命题,难度不高,易错点是容易遗漏平方厘米和平方米的单位换算,或者计算科学记数法的指数时出错,解题时需仔细核对单位和计算结果。
【难度系数】
0.7
6.计算。
(1)$3 - 2 × (-5)^2$;
(2)$-2^2 - (-3)^3 × (-1)^4 - (-1)^5$;
(3)$-3 - [ -5 + (1 - 0.2 × \frac{3}{5}) ÷ (-2) ]$。
(1)$3 - 2 × (-5)^2$;
(2)$-2^2 - (-3)^3 × (-1)^4 - (-1)^5$;
(3)$-3 - [ -5 + (1 - 0.2 × \frac{3}{5}) ÷ (-2) ]$。
答案
解:
(1) $3 - 2 × (-5)^2$
$= 3 - 2 × 25$
$= 3 - 50$
$= -47$
(2) $-2^2 - (-3)^3 × (-1)^4 - (-1)^5$
$= -4 - (-27) × 1 - (-1)$
$= -4 + 27 + 1$
$= 24$
(3) $-3 - [ -5 + (1 - 0.2 × \frac{3}{5}) ÷ (-2) ]$
$= -3 - [ -5 + (1 - \frac{3}{25}) ÷ (-2) ]$
$= -3 - [ -5 + \frac{22}{25} ÷ (-2) ]$
$= -3 - [ -5 - \frac{11}{25} ]$
$= -3 + 5 + \frac{11}{25}$
$= \frac{61}{25}$(或$2\frac{11}{25}$,或2.44)
(1) $3 - 2 × (-5)^2$
$= 3 - 2 × 25$
$= 3 - 50$
$= -47$
(2) $-2^2 - (-3)^3 × (-1)^4 - (-1)^5$
$= -4 - (-27) × 1 - (-1)$
$= -4 + 27 + 1$
$= 24$
(3) $-3 - [ -5 + (1 - 0.2 × \frac{3}{5}) ÷ (-2) ]$
$= -3 - [ -5 + (1 - \frac{3}{25}) ÷ (-2) ]$
$= -3 - [ -5 + \frac{22}{25} ÷ (-2) ]$
$= -3 - [ -5 - \frac{11}{25} ]$
$= -3 + 5 + \frac{11}{25}$
$= \frac{61}{25}$(或$2\frac{11}{25}$,或2.44)
解析
【分析】
解答有理数混合运算题需严格遵循运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减;有括号时先算括号内的运算,按小括号、中括号的优先级依次计算。同时要注意符号判断:负数的偶次幂结果为正,奇次幂结果为负,尤其注意区分$-2^2$(底数是2,结果为负)和$(-2)^2$(底数是-2,结果为正)的差异,每计算一步先核对符号,避免出现符号错误。
【解析】
(1) 先算乘方,再算乘法,最后算减法:
$3 - 2 × (-5)^2$
$= 3 - 2 × 25$
$= 3 - 50$
$= -47$
(2) 先分别计算各乘方项,再算乘法,最后从左到右算加减:
$-2^2 - (-3)^3 × (-1)^4 - (-1)^5$
$= -4 - (-27) × 1 - (-1)$
$= -4 + 27 + 1$
$= 24$
(3) 先算小括号内的乘法,再算小括号内的减法,接着算括号外的除法,再算中括号内的加法,最后算括号外的减法:
$-3 - [ -5 + (1 - 0.2 × \frac{3}{5}) ÷ (-2) ]$
$= -3 - [ -5 + (1 - \frac{3}{25}) ÷ (-2) ]$
$= -3 - [ -5 + \frac{22}{25} ÷ (-2) ]$
$= -3 - [ -5 - \frac{11}{25} ]$
$= -3 + 5 + \frac{11}{25}$
$= \frac{61}{25}$(或$2\frac{11}{25}$,或2.44)
【答案】
(1) $\boxed{-47}$;(2) $\boxed{24}$;(3) $\boxed{\frac{61}{25}}$(或$\boxed{2\frac{11}{25}}$、$\boxed{2.44}$)
【知识点】
有理数混合运算、乘方运算、含括号的运算顺序
【点评】
本题是有理数运算的常规基础题,主要考察运算规则的掌握程度和计算细心度,常见失分点是乘方符号判断错误、运算顺序颠倒,只要严格按照规则分步计算就能顺利得分。
【难度系数】
0.7
解答有理数混合运算题需严格遵循运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减;有括号时先算括号内的运算,按小括号、中括号的优先级依次计算。同时要注意符号判断:负数的偶次幂结果为正,奇次幂结果为负,尤其注意区分$-2^2$(底数是2,结果为负)和$(-2)^2$(底数是-2,结果为正)的差异,每计算一步先核对符号,避免出现符号错误。
【解析】
(1) 先算乘方,再算乘法,最后算减法:
$3 - 2 × (-5)^2$
$= 3 - 2 × 25$
$= 3 - 50$
$= -47$
(2) 先分别计算各乘方项,再算乘法,最后从左到右算加减:
$-2^2 - (-3)^3 × (-1)^4 - (-1)^5$
$= -4 - (-27) × 1 - (-1)$
$= -4 + 27 + 1$
$= 24$
(3) 先算小括号内的乘法,再算小括号内的减法,接着算括号外的除法,再算中括号内的加法,最后算括号外的减法:
$-3 - [ -5 + (1 - 0.2 × \frac{3}{5}) ÷ (-2) ]$
$= -3 - [ -5 + (1 - \frac{3}{25}) ÷ (-2) ]$
$= -3 - [ -5 + \frac{22}{25} ÷ (-2) ]$
$= -3 - [ -5 - \frac{11}{25} ]$
$= -3 + 5 + \frac{11}{25}$
$= \frac{61}{25}$(或$2\frac{11}{25}$,或2.44)
【答案】
(1) $\boxed{-47}$;(2) $\boxed{24}$;(3) $\boxed{\frac{61}{25}}$(或$\boxed{2\frac{11}{25}}$、$\boxed{2.44}$)
【知识点】
有理数混合运算、乘方运算、含括号的运算顺序
【点评】
本题是有理数运算的常规基础题,主要考察运算规则的掌握程度和计算细心度,常见失分点是乘方符号判断错误、运算顺序颠倒,只要严格按照规则分步计算就能顺利得分。
【难度系数】
0.7
7. 提升题 阅读材料:在学习绝对值时,我们知道了绝对值的几何含义,如|3−1|表示数字3和数字1在数轴上对应的两点之间的距离;|3+1|=|3−(−1)|,所以|3+1|表示数字3和数字−1在数轴上对应的两点之间的距离;|3|=|3−0|,所以|3|表示数字3在数轴上对应的点到原点的距离。综上,数轴上A,B两点对应的数分别为a,b,且A,B两点之间的距离可以表示为AB,则AB=|a−b|(或|b−a|)。
(1)计算:|3−(−2)|=;若|x+2|=3,则x=。
(2)|x−1|+|x+3|的最小值是。
(3)当x=时,|x+1|+|x−2|+|x−4|的最小值是。
(1)计算:|3−(−2)|=;若|x+2|=3,则x=。
(2)|x−1|+|x+3|的最小值是。
(3)当x=时,|x+1|+|x−2|+|x−4|的最小值是。
答案
(1) $\boldsymbol{5}$;$\boldsymbol{1或-5}$
(2) $\boldsymbol{4}$
(3) $\boldsymbol{2}$;$\boldsymbol{5}$
(2) $\boldsymbol{4}$
(3) $\boldsymbol{2}$;$\boldsymbol{5}$
解析
【分析】
本题围绕绝对值的几何意义展开考查,解题核心是将绝对值转化为数轴上两点的距离分析:
(1) 第一小问直接根据绝对值运算规则或数轴上两点距离公式计算即可;第二小问把$|x+2|$转化为x到-2的距离,距离为3时x在-2左右两侧各有一个对应值。
(2) $|x-1|+|x+3|$表示x到1的距离与x到-3的距离之和,当x落在-3和1之间时,距离和最小,就是两点之间的固定距离。
(3) 三个绝对值相加表示x到-1、2、4三个点的距离之和,对于奇数个点的情况,x取中间点时距离和最小,代入计算即可得最小值。
【解析】
(1) 计算$|3-(-2)|$:
$|3-(-2)|=|3+2|=5$;
$|x+2|=|x-(-2)|=3$,即数轴上x到-2的距离为3,因此$x=-2+3=1$或$x=-2-3=-5$,故x=1或-5。
(2) $|x-1|$表示x到1的距离,$|x+3|$表示x到-3的距离,当x在-3和1之间(含端点)时,两个距离的和最小,最小值为$1-(-3)=4$。
(3) $|x+1|+|x-2|+|x-4|$表示x到-1、2、4三个点的距离之和,将三个点按从小到大排序为-1、2、4,中间点为2,因此当x=2时,距离和最小,代入计算得:
$|2+1|+|2-2|+|2-4|=3+0+2=5$,即最小值为5。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5}$;$\boldsymbol{1或-5}$
(2) $\boldsymbol{4}$
(3) $\boldsymbol{2}$;$\boldsymbol{5}$
【知识点】
1. 绝对值的几何意义
2. 数轴两点距离计算
3. 绝对值求和最值
【点评】
本题将绝对值运算和数轴性质结合,体现了数形结合思想的应用,把绝对值转化为数轴上的距离可以大大降低解题难度,多个绝对值求和的最值问题可记住规律:奇数个定点时取中间点得最小值,偶数个定点时取中间区间任意值都可得最小值。
【难度系数】
0.6
本题围绕绝对值的几何意义展开考查,解题核心是将绝对值转化为数轴上两点的距离分析:
(1) 第一小问直接根据绝对值运算规则或数轴上两点距离公式计算即可;第二小问把$|x+2|$转化为x到-2的距离,距离为3时x在-2左右两侧各有一个对应值。
(2) $|x-1|+|x+3|$表示x到1的距离与x到-3的距离之和,当x落在-3和1之间时,距离和最小,就是两点之间的固定距离。
(3) 三个绝对值相加表示x到-1、2、4三个点的距离之和,对于奇数个点的情况,x取中间点时距离和最小,代入计算即可得最小值。
【解析】
(1) 计算$|3-(-2)|$:
$|3-(-2)|=|3+2|=5$;
$|x+2|=|x-(-2)|=3$,即数轴上x到-2的距离为3,因此$x=-2+3=1$或$x=-2-3=-5$,故x=1或-5。
(2) $|x-1|$表示x到1的距离,$|x+3|$表示x到-3的距离,当x在-3和1之间(含端点)时,两个距离的和最小,最小值为$1-(-3)=4$。
(3) $|x+1|+|x-2|+|x-4|$表示x到-1、2、4三个点的距离之和,将三个点按从小到大排序为-1、2、4,中间点为2,因此当x=2时,距离和最小,代入计算得:
$|2+1|+|2-2|+|2-4|=3+0+2=5$,即最小值为5。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5}$;$\boldsymbol{1或-5}$
(2) $\boldsymbol{4}$
(3) $\boldsymbol{2}$;$\boldsymbol{5}$
【知识点】
1. 绝对值的几何意义
2. 数轴两点距离计算
3. 绝对值求和最值
【点评】
本题将绝对值运算和数轴性质结合,体现了数形结合思想的应用,把绝对值转化为数轴上的距离可以大大降低解题难度,多个绝对值求和的最值问题可记住规律:奇数个定点时取中间点得最小值,偶数个定点时取中间区间任意值都可得最小值。
【难度系数】
0.6
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