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1. ★★★（2025·杭州月考）如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=4$,$BC=3$,点$E$为此三角形的重心,连结$BE$并延长交$AC$于点$D$,过点$E$作$EF ⊥ AB$于点$F$,则$EF$的长为 (
A.$\dfrac{2}{5}$
B.$\dfrac{4}{5}$
C.$\dfrac{6}{5}$
D.$\dfrac{8}{5}$
（第1题）
B
)A.$\dfrac{2}{5}$
B.$\dfrac{4}{5}$
C.$\dfrac{6}{5}$
D.$\dfrac{8}{5}$
（第1题）答案
1. B
解析
【分析】
解题时先利用勾股定理求出斜边AB的长度，再结合三角形重心的性质：重心是三角形中线的交点，分中线为2:1的两段，先得到AC边中点D，求出△ABD的面积，再根据线段比例得到△ABE的面积，最后利用三角形面积公式，以AB为底、EF为高建立等式，即可求出EF的长度。
【解析】
解：
1. 求AB的长度：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=4$，$BC=3$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
2. 由重心的性质可知，$BD$是$AC$边上的中线，即$D$为$AC$中点，因此$AD=\frac{1}{2}AC=2$。
$△ABC$的面积为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×4×3=6$，$△ABD$与$△BCD$等底同高，因此$S_{△ABD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=3$。
3. 重心分中线的比为$BE:ED=2:1$，即$BE:BD=2:3$，$△ABE$和$△ABD$同高，面积比等于底的比，因此：
$S_{△ABE}=\frac{2}{3}S_{△ABD}=\frac{2}{3}×3=2$
4. 因为$EF⊥ AB$，所以$S_{△ABE}=\frac{1}{2}× AB× EF$，代入数值：
$2=\frac{1}{2}×5× EF$，解得$EF=\frac{4}{5}$。
【答案】
B
【知识点】
三角形重心的性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形重心相关的典型题型，解题核心是灵活运用重心的比例性质结合面积法求解未知线段，难度适中，能很好地考查对三角形重心性质的掌握程度和面积法的应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先利用勾股定理求出斜边AB的长度，再结合三角形重心的性质：重心是三角形中线的交点，分中线为2:1的两段，先得到AC边中点D，求出△ABD的面积，再根据线段比例得到△ABE的面积，最后利用三角形面积公式，以AB为底、EF为高建立等式，即可求出EF的长度。
【解析】
解：
1. 求AB的长度：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=4$，$BC=3$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
2. 由重心的性质可知，$BD$是$AC$边上的中线，即$D$为$AC$中点，因此$AD=\frac{1}{2}AC=2$。
$△ABC$的面积为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×4×3=6$，$△ABD$与$△BCD$等底同高，因此$S_{△ABD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=3$。
3. 重心分中线的比为$BE:ED=2:1$，即$BE:BD=2:3$，$△ABE$和$△ABD$同高，面积比等于底的比，因此：
$S_{△ABE}=\frac{2}{3}S_{△ABD}=\frac{2}{3}×3=2$
4. 因为$EF⊥ AB$，所以$S_{△ABE}=\frac{1}{2}× AB× EF$，代入数值：
$2=\frac{1}{2}×5× EF$，解得$EF=\frac{4}{5}$。
【答案】
B
【知识点】
三角形重心的性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形重心相关的典型题型，解题核心是灵活运用重心的比例性质结合面积法求解未知线段，难度适中，能很好地考查对三角形重心性质的掌握程度和面积法的应用能力。
【难度系数】
0.6
2. （2025·嘉兴期中）如图，点G是△ABC的重心，连结BG，作∠BGD，使∠BGD+∠ABC=180°，GD交BC于点D，BD=8，CD=4，则BG长为（
A.$4\sqrt{2}$
B.$2$
C.$2\sqrt{5}$
D.$\dfrac{9}{2}$
A
）A.$4\sqrt{2}$
B.$2$
C.$2\sqrt{5}$
D.$\dfrac{9}{2}$
答案
2. A
解析
【分析】
解题时先从重心的性质入手：重心是三角形三条中线的交点，分每条中线为2:1的两段（顶点到重心:重心到对边中点=2:1）。观察到BD:DC=2:1，与重心分中线的比例一致，可利用平行线分线段成比例的逆定理推出GD//AC，得到角的等量关系；再结合已知的角互补条件，推导得到相似三角形，进而判断△ABC为等腰直角三角形，最后结合中线性质和重心的比例关系计算BG的长度。
【解析】
解：延长BG交AC于点E。
∵ 点G是△ABC的重心，
∴ E是AC的中点，且$BG:GE=2:1$。
∵ $BD=8$，$CD=4$，
∴ $BD:DC=8:4=2:1$，
∴ $BG:GE=BD:DC$，
∴ $GD// AC$（平行线分线段成比例的逆定理），
∴ $∠ BGD=∠ BEC$。
∵ $∠ BGD+∠ ABC=180°$，$∠ BEC+∠ AEC=180°$（邻补角的定义），
∴ $∠ AEC=∠ ABC$。
在$△ CEB$和$△ CBA$中：
$\begin{cases}∠ C=∠ C \quad (\mathrm{公共角}) \\∠ CEB=∠ CBA\end{cases}$
∴ $△ CEB ∽ △ CBA$（AA相似判定）。
∴ $\frac{CE}{CB}=\frac{CB}{CA}$。
∵ E是AC中点，
∴ $CE=\frac{1}{2}CA$，$BC=BD+CD=12$，代入得：
$\frac{\frac{1}{2}CA}{12}=\frac{12}{CA}$，
解得 $CA^2=288$，
∴ $CA=12\sqrt{2}$，$CE=\frac{1}{2}CA=6\sqrt{2}$。
在$△ CEB$中，由相似比得$BE=6\sqrt{2}$，验证得$CE^2+BE^2=72+72=144=12^2=BC^2$，
∴ $∠ BEC=90°$，即$BE⊥ AC$。
∵ BE是AC边上的中线且$BE⊥ AC$，
∴ $AB=BC=12$（等腰三角形三线合一逆定理），
又
∵ $∠ BGD=∠ BEC=90°$，$∠ BGD+∠ ABC=180°$，
∴ $∠ ABC=90°$，即$△ ABC$是等腰直角三角形。
∵ BE是$Rt△ ABC$斜边AC上的中线，
∴ $BE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12\sqrt{2}=6\sqrt{2}$。
∵ G是重心，$BG=\frac{2}{3}BE$，
∴ $BG=\frac{2}{3}×6\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。
【答案】A
【知识点】
三角形重心的性质；相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例
【点评】
本题是三角形的综合题，解题的突破口是结合重心分线段的比例和边的比例关系推出平行线，再结合角的条件推导三角形的形状，需要熟练掌握重心、相似、平行线判定等知识点的综合应用。
【难度系数】
0.6
解题时先从重心的性质入手：重心是三角形三条中线的交点，分每条中线为2:1的两段（顶点到重心:重心到对边中点=2:1）。观察到BD:DC=2:1，与重心分中线的比例一致，可利用平行线分线段成比例的逆定理推出GD//AC，得到角的等量关系；再结合已知的角互补条件，推导得到相似三角形，进而判断△ABC为等腰直角三角形，最后结合中线性质和重心的比例关系计算BG的长度。
【解析】
解：延长BG交AC于点E。
∵ 点G是△ABC的重心，
∴ E是AC的中点，且$BG:GE=2:1$。
∵ $BD=8$，$CD=4$，
∴ $BD:DC=8:4=2:1$，
∴ $BG:GE=BD:DC$，
∴ $GD// AC$（平行线分线段成比例的逆定理），
∴ $∠ BGD=∠ BEC$。
∵ $∠ BGD+∠ ABC=180°$，$∠ BEC+∠ AEC=180°$（邻补角的定义），
∴ $∠ AEC=∠ ABC$。
在$△ CEB$和$△ CBA$中：
$\begin{cases}∠ C=∠ C \quad (\mathrm{公共角}) \\∠ CEB=∠ CBA\end{cases}$
∴ $△ CEB ∽ △ CBA$（AA相似判定）。
∴ $\frac{CE}{CB}=\frac{CB}{CA}$。
∵ E是AC中点，
∴ $CE=\frac{1}{2}CA$，$BC=BD+CD=12$，代入得：
$\frac{\frac{1}{2}CA}{12}=\frac{12}{CA}$，
解得 $CA^2=288$，
∴ $CA=12\sqrt{2}$，$CE=\frac{1}{2}CA=6\sqrt{2}$。
在$△ CEB$中，由相似比得$BE=6\sqrt{2}$，验证得$CE^2+BE^2=72+72=144=12^2=BC^2$，
∴ $∠ BEC=90°$，即$BE⊥ AC$。
∵ BE是AC边上的中线且$BE⊥ AC$，
∴ $AB=BC=12$（等腰三角形三线合一逆定理），
又
∵ $∠ BGD=∠ BEC=90°$，$∠ BGD+∠ ABC=180°$，
∴ $∠ ABC=90°$，即$△ ABC$是等腰直角三角形。
∵ BE是$Rt△ ABC$斜边AC上的中线，
∴ $BE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12\sqrt{2}=6\sqrt{2}$。
∵ G是重心，$BG=\frac{2}{3}BE$，
∴ $BG=\frac{2}{3}×6\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。
【答案】A
【知识点】
三角形重心的性质；相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例
【点评】
本题是三角形的综合题，解题的突破口是结合重心分线段的比例和边的比例关系推出平行线，再结合角的条件推导三角形的形状，需要熟练掌握重心、相似、平行线判定等知识点的综合应用。
【难度系数】
0.6
3. ★★★ (2025·泉州中考)如图,已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,点$G$是$△ ABC$的重心,$GE ⊥ AC$,垂足为$E$,若$CB=8$,则线段$GE$的长为
$\dfrac{8}{3}$
.答案
3. $\dfrac{8}{3}$
解析
【分析】
解题时先构造辅助线：连接AG并延长交BC于点D。首先根据三角形重心的定义可知AD是BC边上的中线，可得D为BC中点，且重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1，即$\frac{AG}{AD}=\frac{2}{3}$；再由$GE⊥ AC$、$∠ C=90°$可推出$GE// BC$，进而得到$△ AEG ∽ △ ACD$，最后利用相似三角形对应边成比例即可求出GE的长度。
【解析】
解：连接AG并延长，交BC于点D。
∵点G是$△ ABC$的重心，
∴AD是BC边上的中线，即D为BC的中点，且$\frac{AG}{AD}=\frac{2}{3}$。
∵$CB=8$，
∴$CD=\frac{1}{2}CB=4$。
∵$GE⊥ AC$，$∠ C=90°$，
∴$GE// BC$，
∴$△ AEG ∽ △ ACD$，
∴$\frac{GE}{CD}=\frac{AG}{AD}=\frac{2}{3}$，
将$CD=4$代入得：$GE=\frac{2}{3}×4=\frac{8}{3}$。
【答案】
$\dfrac{8}{3}$
【知识点】
三角形重心的性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是三角形性质应用的常规题型，解题的核心是熟练掌握重心的性质，正确作出辅助线构造相似三角形，结合相似三角形的性质求解，考查了学生对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先构造辅助线：连接AG并延长交BC于点D。首先根据三角形重心的定义可知AD是BC边上的中线，可得D为BC中点，且重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1，即$\frac{AG}{AD}=\frac{2}{3}$；再由$GE⊥ AC$、$∠ C=90°$可推出$GE// BC$，进而得到$△ AEG ∽ △ ACD$，最后利用相似三角形对应边成比例即可求出GE的长度。
【解析】
解：连接AG并延长，交BC于点D。
∵点G是$△ ABC$的重心，
∴AD是BC边上的中线，即D为BC的中点，且$\frac{AG}{AD}=\frac{2}{3}$。
∵$CB=8$，
∴$CD=\frac{1}{2}CB=4$。
∵$GE⊥ AC$，$∠ C=90°$，
∴$GE// BC$，
∴$△ AEG ∽ △ ACD$，
∴$\frac{GE}{CD}=\frac{AG}{AD}=\frac{2}{3}$，
将$CD=4$代入得：$GE=\frac{2}{3}×4=\frac{8}{3}$。
【答案】
$\dfrac{8}{3}$
【知识点】
三角形重心的性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是三角形性质应用的常规题型，解题的核心是熟练掌握重心的性质，正确作出辅助线构造相似三角形，结合相似三角形的性质求解，考查了学生对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
4. ★★★ (2025·杭州月考)如图，G是△ABC的重心，延长BG交AC于点D，延长CG交AB于点E，P，Q分别是△BCE和△BCD的重心，若BC长为12，则PQ的长为
2
。答案
4. 2
解析
【分析】
遇到三角形重心相关问题，优先利用重心的核心性质：重心是三角形三条中线的交点，且重心分任意一条中线为2:1的两段（顶点到重心的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1）。
首先由G是△ABC的重心，可得BD、CE是△ABC的中线，即E、D分别是AB、AC的中点，因此ED是△ABC的中位线，可先求出ED的长度。再取BC的中点M，根据P、Q分别是△BCE和△BCD的重心，可得P在△BCE的中线EM上、Q在△BCD的中线DM上，且P、Q分EM、DM的比均为1:3（重心到BC中点的长度占对应中线总长的1/3）。最后在△EMD中利用比例关系推出PQ与ED的数量关系，代入计算即可。
【解析】
解：取BC的中点为M，连接EM、DM。
1.
∵G是△ABC的重心，
∴BD、CE是△ABC的中线，即E为AB中点，D为AC中点，
∴ED是△ABC的中位线，
∴$ED=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×12=6$。
2.
∵P是△BCE的重心，EM是△BCE的中线（M为BC中点），
∴P在EM上，且$\frac{PM}{EM}=\frac{1}{3}$；
同理，Q是△BCD的重心，DM是△BCD的中线，
∴Q在DM上，且$\frac{QM}{DM}=\frac{1}{3}$。
3. 在△EMD中，$\frac{PM}{EM}=\frac{QM}{DM}=\frac{1}{3}$，且∠PMQ=∠EMD，
∴△PMQ∽△EMD，
∴$\frac{PQ}{ED}=\frac{PM}{EM}=\frac{1}{3}$，
∴$PQ=\frac{1}{3}ED=\frac{1}{3}×6=2$。
【答案】
2
【知识点】
三角形重心的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是三角形重心性质的典型应用题型，解题的关键是找到两个小三角形重心所在的中线，结合比例关系和中位线定理推导线段长度，能很好地考查学生对重心性质的理解和几何综合运用能力。
【难度系数】
0.6
遇到三角形重心相关问题，优先利用重心的核心性质：重心是三角形三条中线的交点，且重心分任意一条中线为2:1的两段（顶点到重心的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1）。
首先由G是△ABC的重心，可得BD、CE是△ABC的中线，即E、D分别是AB、AC的中点，因此ED是△ABC的中位线，可先求出ED的长度。再取BC的中点M，根据P、Q分别是△BCE和△BCD的重心，可得P在△BCE的中线EM上、Q在△BCD的中线DM上，且P、Q分EM、DM的比均为1:3（重心到BC中点的长度占对应中线总长的1/3）。最后在△EMD中利用比例关系推出PQ与ED的数量关系，代入计算即可。
【解析】
解：取BC的中点为M，连接EM、DM。
1.
∵G是△ABC的重心，
∴BD、CE是△ABC的中线，即E为AB中点，D为AC中点，
∴ED是△ABC的中位线，
∴$ED=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×12=6$。
2.
∵P是△BCE的重心，EM是△BCE的中线（M为BC中点），
∴P在EM上，且$\frac{PM}{EM}=\frac{1}{3}$；
同理，Q是△BCD的重心，DM是△BCD的中线，
∴Q在DM上，且$\frac{QM}{DM}=\frac{1}{3}$。
3. 在△EMD中，$\frac{PM}{EM}=\frac{QM}{DM}=\frac{1}{3}$，且∠PMQ=∠EMD，
∴△PMQ∽△EMD，
∴$\frac{PQ}{ED}=\frac{PM}{EM}=\frac{1}{3}$，
∴$PQ=\frac{1}{3}ED=\frac{1}{3}×6=2$。
【答案】
2
【知识点】
三角形重心的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是三角形重心性质的典型应用题型，解题的关键是找到两个小三角形重心所在的中线，结合比例关系和中位线定理推导线段长度，能很好地考查学生对重心性质的理解和几何综合运用能力。
【难度系数】
0.6
5. （2025·成都月考）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫作三角形的重心.重心有很多美妙的性质，如关于线段比、面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题.请你利用重心的概念完成如下问题：
(1)若AD是△ABC的一条中线(如图①),O是AD上一点,且满足$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{3}$,试判断O
(2)若O是△ABC的重心(如图②),连结AO并延长交于D.证明:$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{3}$;
(3)若O是△ABC的重心,过O的一条直线分别与AB,AC相交于G,H(均不与△ABC的顶点重合)(如图③)令AG=1,BG=x,设$y=\frac{OH}{OG}$,请求出y与x的表达式.
(1)若AD是△ABC的一条中线(如图①),O是AD上一点,且满足$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{3}$,试判断O
是
△ABC的重心(填“是”或者“不是”);(2)若O是△ABC的重心(如图②),连结AO并延长交于D.证明:$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{3}$;
(3)若O是△ABC的重心,过O的一条直线分别与AB,AC相交于G,H(均不与△ABC的顶点重合)(如图③)令AG=1,BG=x,设$y=\frac{OH}{OG}$,请求出y与x的表达式.
答案
5. (1)是 解析:如图①,作△ABC的中线CE,与AD交于点Q,则点Q为△ABC的重心,连结DE.
∵ CE是中线,AD是中线,
∴ 点E是AB的中点.点D是BC的中点,
∴ DE是△ABC的中位线,
∴ DE//AC,且$DE=\frac{1}{2}AC$.
∵ DE//AC,
∴ △AQC∽△DQE,
∴ $\frac{AQ}{QD}=\frac{AC}{DE}=2$,
∴ AQ=2QD,
∴ $\frac{AQ}{AD}=\frac{2}{3}$,又
∵ $\frac{AO}{AD}=\frac{2}{3}$,
∴ 点Q与点O重合(是同一个点),
∴ 点O是△ABC的重心,故答案为是.
(2)如图②,连结CO并延长,交AB于点E,连结DE.
∵ 点O是△ABC的重心,
∴ CE是中线,点E是AB的中点.
∴ DE是△ABC的中位线,
∴ DE//AC,且$DE=\frac{1}{2}AC$.
∵ DE//AC,
∴ △AOC∽△DOE,
∴ $\frac{AO}{OD}=\frac{AC}{DE}=2$,
∴ AO=2OD.
∵ AD=AO+OD=3OD,
∴ $\frac{AO}{AD}=\frac{2}{3}$.
(3)如图③,过点O作OF//BC交AC于点F,过点G作GE//BC交AC于点E,则 OF//GE,
∵ OF//BC,
∴ $\frac{OF}{CD}=\frac{AO}{AD}=\frac{2}{3}$,
∴ OF=
$\frac{2}{3}CD=\frac{1}{3}BC$.
∵ GE//BC,
∴ $\frac{GE}{BC}=\frac{AG}{AB}=\frac{1}{x+1}$,
∴ $GE=\frac{BC}{x+1}$.
∵ OF//GE,
∴ $\frac{OF}{GE}=\frac{OH}{GH}=\frac{\frac{1}{3}BC}{\frac{BC}{x+1}}=\frac{x+1}{3}$,
∴ $OH=\frac{x+1}{3}GH$,
∴ $OG=GH-OH=\frac{2-x}{3}GH$,
∴ $\frac{OH}{OG}=\frac{\frac{x+1}{3}}{\frac{2-x}{3}}=\frac{x+1}{2-x}$,
∴ y与x的表达式为$y=\frac{x+1}{2-x}$.
解析
【分析】
(1)要判断O是否为△ABC的重心，已知AD是△ABC的中线，只需证明另一条中线与AD的交点和O重合即可：作AB边上的中线CE交AD于重心Q，通过中位线性质和相似三角形得到$\frac{AQ}{AD}=\frac{2}{3}$，结合已知$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{3}$，即可判断O与Q重合，得O是重心。
(2)已知O是重心，要证$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{3}$，先连接CO延长交AB于中点E，构造中位线DE，利用中位线平行且等于AC的一半，证明△AOC∽△DOE得到线段比例，进而推导出AO与AD的比值。
(3)要求y与x的表达式，可通过作平行线构造相似三角形，结合重心的比例性质，分别用BC表示出所作两条平行线段的长度，再根据平行线分线段成比例得到OH与OG的关系，消去公共量BC即可得到y关于x的表达式。
【解析】
(1) 如图①，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为△ABC的重心，连结DE。
∵ CE是中线，AD是中线，
∴ 点E是AB的中点，点D是BC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//AC，且$DE=\frac{1}{2}AC$。
∵ DE//AC，
∴ △AQC∽△DQE，
∴ $\frac{AQ}{QD}=\frac{AC}{DE}=2$，即$AQ=2QD$，
∴ $\frac{AQ}{AD}=\frac{AQ}{AQ+QD}=\frac{2QD}{3QD}=\frac{2}{3}$，
又
∵ $\frac{AO}{AD}=\frac{2}{3}$，
∴ 点Q与点O重合，
∴ O是△ABC的重心。
(2) 证明：如图②，连结CO并延长，交AB于点E，连结DE。
∵ 点O是△ABC的重心，
∴ CE是AB边上的中线，点E是AB的中点，
又
∵ D是BC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//AC，且$DE=\frac{1}{2}AC$。
∵ DE//AC，
∴ △AOC∽△DOE，
∴ $\frac{AO}{OD}=\frac{AC}{DE}=2$，即$AO=2OD$。
∵ $AD=AO+OD=2OD+OD=3OD$，
∴ $\frac{AO}{AD}=\frac{2OD}{3OD}=\frac{2}{3}$。
(3) 解：如图③，过点O作OF//BC交AC于点F，过点G作GE//BC交AC于点E，则 OF//GE。
∵ OF//BC，
∴ $\frac{OF}{CD}=\frac{AO}{AD}=\frac{2}{3}$，
∴ $OF=\frac{2}{3}CD$，又
∵ D是BC中点，$CD=\frac{1}{2}BC$，
∴ $OF=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}BC=\frac{1}{3}BC$。
∵ GE//BC，
∴ $\frac{GE}{BC}=\frac{AG}{AB}$，已知$AG=1$，$BG=x$，则$AB=1+x$，
∴ $\frac{GE}{BC}=\frac{1}{x+1}$，即$GE=\frac{BC}{x+1}$。
∵ OF//GE，
∴ $\frac{OF}{GE}=\frac{OH}{GH}$，代入得：
$\frac{OH}{GH}=\frac{\frac{1}{3}BC}{\frac{BC}{x+1}}=\frac{x+1}{3}$，
∴ $OH=\frac{x+1}{3}GH$，
∴ $OG=GH-OH=GH-\frac{x+1}{3}GH=\frac{2-x}{3}GH$，
∴ $y=\frac{OH}{OG}=\frac{\frac{x+1}{3}GH}{\frac{2-x}{3}GH}=\frac{x+1}{2-x}$。
【答案】
(1) 是
(2) $\frac{AO}{AD}=\frac{2}{3}$，证明成立
(3) $y=\frac{x+1}{2-x}$
【知识点】
三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理
【点评】
本题围绕三角形重心的相关性质设置了判定、证明、应用三个梯度的问题，既考查了对重心基础概念的理解，又结合中位线、相似三角形的知识考查综合分析和构造辅助线解决线段比例问题的能力，是三角形性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
(1)要判断O是否为△ABC的重心，已知AD是△ABC的中线，只需证明另一条中线与AD的交点和O重合即可：作AB边上的中线CE交AD于重心Q，通过中位线性质和相似三角形得到$\frac{AQ}{AD}=\frac{2}{3}$，结合已知$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{3}$，即可判断O与Q重合，得O是重心。
(2)已知O是重心，要证$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{3}$，先连接CO延长交AB于中点E，构造中位线DE，利用中位线平行且等于AC的一半，证明△AOC∽△DOE得到线段比例，进而推导出AO与AD的比值。
(3)要求y与x的表达式，可通过作平行线构造相似三角形，结合重心的比例性质，分别用BC表示出所作两条平行线段的长度，再根据平行线分线段成比例得到OH与OG的关系，消去公共量BC即可得到y关于x的表达式。
【解析】
(1) 如图①，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为△ABC的重心，连结DE。
∵ CE是中线，AD是中线，
∴ 点E是AB的中点，点D是BC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//AC，且$DE=\frac{1}{2}AC$。
∵ DE//AC，
∴ △AQC∽△DQE，
∴ $\frac{AQ}{QD}=\frac{AC}{DE}=2$，即$AQ=2QD$，
∴ $\frac{AQ}{AD}=\frac{AQ}{AQ+QD}=\frac{2QD}{3QD}=\frac{2}{3}$，
又
∵ $\frac{AO}{AD}=\frac{2}{3}$，
∴ 点Q与点O重合，
∴ O是△ABC的重心。
(2) 证明：如图②，连结CO并延长，交AB于点E，连结DE。
∵ 点O是△ABC的重心，
∴ CE是AB边上的中线，点E是AB的中点，
又
∵ D是BC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//AC，且$DE=\frac{1}{2}AC$。
∵ DE//AC，
∴ △AOC∽△DOE，
∴ $\frac{AO}{OD}=\frac{AC}{DE}=2$，即$AO=2OD$。
∵ $AD=AO+OD=2OD+OD=3OD$，
∴ $\frac{AO}{AD}=\frac{2OD}{3OD}=\frac{2}{3}$。
(3) 解：如图③，过点O作OF//BC交AC于点F，过点G作GE//BC交AC于点E，则 OF//GE。
∵ OF//BC，
∴ $\frac{OF}{CD}=\frac{AO}{AD}=\frac{2}{3}$，
∴ $OF=\frac{2}{3}CD$，又
∵ D是BC中点，$CD=\frac{1}{2}BC$，
∴ $OF=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}BC=\frac{1}{3}BC$。
∵ GE//BC，
∴ $\frac{GE}{BC}=\frac{AG}{AB}$，已知$AG=1$，$BG=x$，则$AB=1+x$，
∴ $\frac{GE}{BC}=\frac{1}{x+1}$，即$GE=\frac{BC}{x+1}$。
∵ OF//GE，
∴ $\frac{OF}{GE}=\frac{OH}{GH}$，代入得：
$\frac{OH}{GH}=\frac{\frac{1}{3}BC}{\frac{BC}{x+1}}=\frac{x+1}{3}$，
∴ $OH=\frac{x+1}{3}GH$，
∴ $OG=GH-OH=GH-\frac{x+1}{3}GH=\frac{2-x}{3}GH$，
∴ $y=\frac{OH}{OG}=\frac{\frac{x+1}{3}GH}{\frac{2-x}{3}GH}=\frac{x+1}{2-x}$。
【答案】
(1) 是
(2) $\frac{AO}{AD}=\frac{2}{3}$，证明成立
(3) $y=\frac{x+1}{2-x}$
【知识点】
三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理
【点评】
本题围绕三角形重心的相关性质设置了判定、证明、应用三个梯度的问题，既考查了对重心基础概念的理解，又结合中位线、相似三角形的知识考查综合分析和构造辅助线解决线段比例问题的能力，是三角形性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
