1. 如图,在平面直角坐标系中,C为△AOB的边OA上一点,AC:OC=1:2,过点C作CD//OB交AB于点D,C,D两点纵坐标分别为1,3,则点B的纵坐标为。

1. 6

【分析】
本题可利用平行“A”字型相似模型求解。首先由CD//OB可得到相似三角形，再结合AC与OC的比例关系求出相似比，然后根据C、D两点的纵坐标求出线段CD的长度，最后利用相似三角形对应边成比例即可求出OB的长度，也就是点B的纵坐标。
【解析】
∵ CD//OB，
∴ ∠ACD=∠AOB，∠ADC=∠ABO，
∴ △ACD∽△AOB（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵ AC:OC=1:2，
∴ AC:OA=AC:(AC+OC)=1:(1+2)=1:3，即△ACD与△AOB的相似比为$\frac{1}{3}$。
∵ C、D两点纵坐标分别为1、3，且CD//y轴，
∴ CD的长度为3-1=2。
由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{CD}{OB}=\frac{AC}{OA}=\frac{1}{3}$，
代入CD=2得：$\frac{2}{OB}=\frac{1}{3}$，解得OB=6。
∵ 点B在y轴正半轴，其纵坐标等于线段OB的长度，
∴ 点B的纵坐标为6。
【答案】
6
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行“A”字型相似模型，平面直角坐标系坐标特征
【点评】
本题是相似三角形应用的典型基础题，解题核心是识别出图中的平行“A”字型相似结构，结合坐标系中纵坐标的差求出平行线段的长度，再利用相似比求解对应线段，整体解题思路清晰，易于掌握。
【难度系数】
0.7

2. ★★★ 如图，正方形MNPQ内接于△ABC，点M，N在边BC上，点P，Q分别在边AC和AB上，且边BC上的高AD=6 cm，BC=12 cm，则正方形MNPQ的边长为。

2. 4 cm

【分析】
本题可利用相似三角形的性质求解：首先观察到正方形的边QP与BC平行，符合平行“A”字型相似特征，可得△AQP∽△ABC；相似三角形对应高的比等于相似比，设正方形边长为x，分别表示出相似比和对应高的比，列方程即可求出边长。
【解析】
设正方形MNPQ的边长为$ x \, \mathrm{cm} $。
∵ 四边形MNPQ是正方形，
∴ $ QP // BC $，$ QP = x $，且$ ED = x $（ED为正方形垂直于BC的边，与高AD重合的部分）。
∵ $ AD ⊥ BC $，$ QP // BC $，
∴ $ AE ⊥ QP $，即AE为△AQP的高，$ AE = AD - ED = 6 - x $。
∵ $ QP // BC $，
∴ $ △ AQP ∽ △ ABC $（平行于三角形一边的直线截另两边，所得三角形与原三角形相似）。
根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{QP}{BC} = \frac{AE}{AD}$
代入已知$ BC=12 \, \mathrm{cm} $，$ AD=6 \, \mathrm{cm} $，$ QP=x $，$ AE=6-x $，得：
$\frac{x}{12} = \frac{6 - x}{6}$
解方程：
两边同乘12得：$ x = 2(6 - x) $
展开得：$ x = 12 - 2x $
移项合并得：$ 3x = 12 $
解得：$ x = 4 $
【答案】
4 cm
【知识点】
相似三角形的判定与性质；正方形的性质；平行“A”字型相似
【点评】
本题是三角形内接正方形的典型题型，解题关键是利用平行线得到相似三角形，结合相似三角形对应高的比等于相似比建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6