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6. ★★★ (2025·南京月考)一名站在离球网1.6 m远的网球运动员,某次挥拍击球时恰好将球打过高为0.8 m的球网,而且落在离球网3.2 m远的位置上,
,则球拍击球的高度h为
,则球拍击球的高度h为1.2
m.答案
6. 1.2
解析
【分析】
本题可通过构造相似三角形求解。首先观察到球的飞行轨迹为直线，落地点、球网底部、球网上沿构成的直角三角形，与落地点、击球点正下方地面点、击球点构成的直角三角形，满足两角分别相等，因此两个三角形相似。再找到两个三角形的对应边长，利用相似三角形对应边成比例的性质列等式，即可计算出击球高度h。
【解析】
解：由题意可知，两个直角三角形有公共锐角，且均为直角三角形，故两三角形相似。
两个三角形的水平直角边长度分别为3.2m、$3.2+1.6=4.8$m，竖直直角边长度分别为0.8m、h m。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{0.8}{h}=\frac{3.2}{4.8}$
交叉相乘得：$3.2h=0.8×4.8$
计算得：$3.2h=3.84$
解得：$h=1.2$
【答案】
1.2
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，相似的实际应用
【点评】
本题考查相似三角形在实际场景中的应用，解题关键是从实际问题中抽象出相似三角形的几何模型，准确对应相似边列比例式求解，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
本题可通过构造相似三角形求解。首先观察到球的飞行轨迹为直线，落地点、球网底部、球网上沿构成的直角三角形，与落地点、击球点正下方地面点、击球点构成的直角三角形，满足两角分别相等，因此两个三角形相似。再找到两个三角形的对应边长，利用相似三角形对应边成比例的性质列等式，即可计算出击球高度h。
【解析】
解：由题意可知，两个直角三角形有公共锐角，且均为直角三角形，故两三角形相似。
两个三角形的水平直角边长度分别为3.2m、$3.2+1.6=4.8$m，竖直直角边长度分别为0.8m、h m。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{0.8}{h}=\frac{3.2}{4.8}$
交叉相乘得：$3.2h=0.8×4.8$
计算得：$3.2h=3.84$
解得：$h=1.2$
【答案】
1.2
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，相似的实际应用
【点评】
本题考查相似三角形在实际场景中的应用，解题关键是从实际问题中抽象出相似三角形的几何模型，准确对应相似边列比例式求解，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
7. 某一天,小明和小亮来到一河边,想用平面镜和皮尺测量这条河的大致宽度,两人在确保无安全隐患的情况下,在河岸边选择了一点C(点C与河对岸岸边上的一棵树的底部点B所确定的直线垂直于河岸)放置平面镜.小明到F点时正好在平面镜中看到树尖A,小亮在点D放置平面镜,小亮到H点时正好在平面镜中看到树尖A,且F,D,H均在BC的延长线上,小明的眼睛距地面的高度EF=1.5 m,小亮的眼睛距地面的高度GH=1.6 m,测得CF=1 m,DH=2 m,CD=8.4 m,AB⊥BH,EF⊥BH,GH⊥BH,根据以上测量过程及测量数据,请你求出河宽BC是多少米.
答案
7. 由题意可得∠ACB = ∠ECF, ∠ADB = ∠GDH.
∵ AB ⊥ BH,EF ⊥ BH,GH ⊥ BH,
∴ ∠ABC = ∠EFC = ∠GHD = 90°,
∴ △ABC∽△EFC,
∴ $\frac{EF}{AB}=\frac{CF}{BC}$,即$\frac{1.5}{AB}=\frac{1}{BC}$.
∵ ∠ADB = ∠GDH, ∠ABC = ∠GHD = 90°,
∴ △ABD∽△GHD,
∴ $\frac{GH}{AB}=\frac{DH}{BD}$,即$\frac{1.6}{AB}=\frac{2}{BC+8.4}$,解得 BC=9.6 m.即河宽 BC 是 9.6 m.
∵ AB ⊥ BH,EF ⊥ BH,GH ⊥ BH,
∴ ∠ABC = ∠EFC = ∠GHD = 90°,
∴ △ABC∽△EFC,
∴ $\frac{EF}{AB}=\frac{CF}{BC}$,即$\frac{1.5}{AB}=\frac{1}{BC}$.
∵ ∠ADB = ∠GDH, ∠ABC = ∠GHD = 90°,
∴ △ABD∽△GHD,
∴ $\frac{GH}{AB}=\frac{DH}{BD}$,即$\frac{1.6}{AB}=\frac{2}{BC+8.4}$,解得 BC=9.6 m.即河宽 BC 是 9.6 m.
解析
【分析】
首先根据平面镜反射的规律，入射角等于反射角，可以得到两组相等的角：∠ACB=∠ECF，∠ADB=∠GDH。结合题目给出的多处垂直条件，可得到多组直角相等，由此能证明两对相似三角形。两对相似三角形的比例式中都包含公共未知量AB和待求的BC，我们可以将两个比例式变形为用BC表示AB的形式，联立后即可消去AB，求解得到河宽BC。
【解析】
由平面镜反射规律可得：$∠ ACB = ∠ ECF$，$∠ ADB = ∠ GDH$。
$\because AB ⊥ BH$，$EF ⊥ BH$，$GH ⊥ BH$，
$\therefore ∠ ABC = ∠ EFC = ∠ GHD = 90°$。
在$△ ABC$和$△ EFC$中，$∠ ABC=∠ EFC$，$∠ ACB=∠ ECF$，
$\therefore △ ABC ∽ △ EFC$，
根据相似三角形对应边成比例得：$\frac{EF}{AB}=\frac{CF}{BC}$，
代入$EF=1.5\ \mathrm{m}$，$CF=1\ \mathrm{m}$，得$\frac{1.5}{AB}=\frac{1}{BC}$，整理得$AB=1.5BC$ ①。
在$△ ABD$和$△ GHD$中，$∠ ABD=∠ GHD=90°$，$∠ ADB=∠ GDH$，
$\therefore △ ABD ∽ △ GHD$，
同理得$\frac{GH}{AB}=\frac{DH}{BD}$，其中$BD=BC+CD=BC+8.4\ \mathrm{m}$，代入$GH=1.6\ \mathrm{m}$，$DH=2\ \mathrm{m}$，
得$\frac{1.6}{AB}=\frac{2}{BC+8.4}$，整理得$2AB=1.6(BC+8.4)$ ②。
将①代入②得：$2×1.5BC=1.6(BC+8.4)$，
解得$BC=9.6\ \mathrm{m}$。
【答案】
河宽BC是9.6米。
【知识点】
相似三角形判定，相似三角形性质，相似的实际应用
【点评】
本题结合实际测量场景，将物理反射原理和相似三角形知识相结合，考查学生将实际问题转化为数学模型的能力，需要通过列比例式、联立方程求解未知量，是相似三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
首先根据平面镜反射的规律，入射角等于反射角，可以得到两组相等的角：∠ACB=∠ECF，∠ADB=∠GDH。结合题目给出的多处垂直条件，可得到多组直角相等，由此能证明两对相似三角形。两对相似三角形的比例式中都包含公共未知量AB和待求的BC，我们可以将两个比例式变形为用BC表示AB的形式，联立后即可消去AB，求解得到河宽BC。
【解析】
由平面镜反射规律可得：$∠ ACB = ∠ ECF$，$∠ ADB = ∠ GDH$。
$\because AB ⊥ BH$，$EF ⊥ BH$，$GH ⊥ BH$，
$\therefore ∠ ABC = ∠ EFC = ∠ GHD = 90°$。
在$△ ABC$和$△ EFC$中，$∠ ABC=∠ EFC$，$∠ ACB=∠ ECF$，
$\therefore △ ABC ∽ △ EFC$，
根据相似三角形对应边成比例得：$\frac{EF}{AB}=\frac{CF}{BC}$，
代入$EF=1.5\ \mathrm{m}$，$CF=1\ \mathrm{m}$，得$\frac{1.5}{AB}=\frac{1}{BC}$，整理得$AB=1.5BC$ ①。
在$△ ABD$和$△ GHD$中，$∠ ABD=∠ GHD=90°$，$∠ ADB=∠ GDH$，
$\therefore △ ABD ∽ △ GHD$，
同理得$\frac{GH}{AB}=\frac{DH}{BD}$，其中$BD=BC+CD=BC+8.4\ \mathrm{m}$，代入$GH=1.6\ \mathrm{m}$，$DH=2\ \mathrm{m}$，
得$\frac{1.6}{AB}=\frac{2}{BC+8.4}$，整理得$2AB=1.6(BC+8.4)$ ②。
将①代入②得：$2×1.5BC=1.6(BC+8.4)$，
解得$BC=9.6\ \mathrm{m}$。
【答案】
河宽BC是9.6米。
【知识点】
相似三角形判定，相似三角形性质，相似的实际应用
【点评】
本题结合实际测量场景，将物理反射原理和相似三角形知识相结合，考查学生将实际问题转化为数学模型的能力，需要通过列比例式、联立方程求解未知量，是相似三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
8. (2025·南京模拟)身高1.6 m的小明在步道上散步,步道旁竖立着一盏路灯MN,其光源N到地面的距离为4.8 m.
(1)如图①,步道为直线型(记为直线PQ).
①当小明步行到点A处时,路灯光线NB与地面的夹角(∠MBN)以及影子和步道的夹角(∠BAP)均为30°,则影子顶端(点B)到步道的距离(BC)为
②在小明散步过程中,试说明影子顶端到步道的距离不变.
(2)如图②,步道为圆形(记为$\odot O$),其半径为4 m.小明在步道上散步一周,直接写出影子顶端D运动的路径长.
(1)如图①,步道为直线型(记为直线PQ).
①当小明步行到点A处时,路灯光线NB与地面的夹角(∠MBN)以及影子和步道的夹角(∠BAP)均为30°,则影子顶端(点B)到步道的距离(BC)为
$\frac{4\sqrt{3}}{5}$
m;②在小明散步过程中,试说明影子顶端到步道的距离不变.
(2)如图②,步道为圆形(记为$\odot O$),其半径为4 m.小明在步道上散步一周,直接写出影子顶端D运动的路径长.
答案
8. (1) ①$\frac{4\sqrt{3}}{5}$
解析:
,由题意得,AE = 1.6 m. 当小明步行到点A处时,路灯光线 NB 与地面的夹角(∠MBN)以及影子和步道的夹角(∠BAP)均为 30°时,即 ∠BAP = ∠MBN = 30°,∴ Rt△ABE 中,
BE = 2AE = 3.2 m, AB = $\sqrt{BE^2-AE^2} = \frac{8\sqrt{3}}{5}$ m,
∴ Rt△ABC 中, BC = $\frac{1}{2}AB=\frac{4\sqrt{3}}{5}$ m,
∴ 影子顶端(点 B)到步道的距离(BC)为$\frac{4\sqrt{3}}{5}$ m,故答案为$\frac{4\sqrt{3}}{5}$.
②方法一:如图②,作 MD ⊥ PQ,垂足为 D,设小明头顶为 E,由题意得,AE//MN,
∴ △BAE∽△BMN,
∴ $\frac{BA}{BM}=\frac{AE}{MN}=\frac{1.6}{4.8}=\frac{1}{3}$,
∴ $\frac{BA}{AM}=\frac{1}{2}$.
∵ MD ⊥ PQ,BC ⊥ PQ,
∴ ∠BCA = ∠MDA = 90°.又 ∠BAC = ∠MAD,
∴ △BAC∽△MAD,
∴ $\frac{BC}{MD}=\frac{BA}{AM}=\frac{1}{2}$,
∴ $BC=\frac{1}{2}MD$.
∵ MD 是定值,
∴ BC是定值,即影子顶端到步道的距离不变;
方法二:如图③,设小明头顶为 E,当他走到 PQ 上任意位置(记为点D)时,他的头顶 G,影子为 DF,连结 BF,作 FH ⊥ PQ,垂足为 H,由题意得,AE//MN//GD,BC//FH,
∴ △BAE∽△BMN,
∴ $\frac{BA}{BM}=\frac{AE}{MN}$,同理,
$\frac{FD}{FM}=\frac{DG}{MN}$. 又
∵ AE = DG,
∴ $\frac{BA}{BM}=\frac{FD}{FM}$,
∴ $\frac{MA}{MB}=\frac{MD}{MF}$. 又
∵ ∠AMD = ∠BMF,
∴ △AMD ∽ △BMF,
∴ ∠MAD = ∠MBF,
∴ AD // BF. 又
∵ BC//FH,
∴ 四边形 BCHF 是平行四边形,
∴ HF = BC,
∴ HF 是定值,即影子顶端到步道的距离不变.
(2)影子顶端D运动的路径长为12π m. 解析:如图④,设小明头顶为 E,连结 OA,过 D 作 GD // OA 交 MO 延长线于点 G,由题意得,AE//MN,
∴ △DAE∽△DMN,
∴ $\frac{DA}{DM}=\frac{AE}{MN}=\frac{1.6}{4.8}=\frac{1}{3}$,
∴ $\frac{DA}{AM}=\frac{1}{2}$.
∵ GD // OA,
∴ △MDG∽△MAO,
∴ $\frac{OA}{DG}=\frac{MA}{MD}=\frac{MO}{MG}=\frac{2}{3}$,
∴ DG = $\frac{3}{2}OA$,$MO=\frac{2}{3}MG$.
∵ MO 是定值,
∴ MG 是定值,即 G 位置固定不变.
∵ ⊙O 半径为 4 m,即 OA = 4 m,
∴ $DG=\frac{3}{2}OA=6$ m,
∴ 点 D 运动轨迹为以 G 为圆心,DG=6 m 为半径的圆,
∴ 小明在步道上散步一周,影子顶端 D 运动的路径长为 2π×6=12π (m).
解析
【分析】
(1)①先根据已知的30°角和小明身高，在Rt△ABE中利用含30°角的直角三角形的性质求出BE、AB的长度，再在Rt△ABC中利用30°角的性质求出BC的长度即可；②要说明影子顶端到步道的距离不变，可通过证明两组相似三角形，得到影子顶端到步道的距离与路灯到步道的距离成固定比例，而路灯到步道的距离是定值，即可得证；(2)先由人与路灯平行得到相似三角形，得出线段比例，再通过作平行线证明新的相似三角形，得到影子顶端到定点的距离为定值，判断出影子顶端的运动轨迹是圆，再计算圆的周长即可得到路径长。
【解析】
(1)①，由题意得小明身高$AE = 1.6\ \mathrm{m}$，已知$∠ BAP = ∠ MBN = 30°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ BAE=30°$，$\therefore BE = 2AE = 2×1.6 = 3.2\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得$AB = \sqrt{BE^2-AE^2} = \sqrt{3.2^2 - 1.6^2} = \frac{8\sqrt{3}}{5}\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=30°$，$\therefore BC = \frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×\frac{8\sqrt{3}}{5}=\frac{4\sqrt{3}}{5}\ \mathrm{m}$。
②方法一：如图②，作 $MD ⊥ PQ$，垂足为 $D$，设小明头顶为 $E$，由题意得$AE// MN$，
$\therefore△ BAE∽△ BMN$，$\therefore\frac{BA}{BM}=\frac{AE}{MN}=\frac{1.6}{4.8}=\frac{1}{3}$，
$\therefore\frac{BA}{AM}=\frac{1}{2}$。
$\because MD ⊥ PQ$，$BC ⊥ PQ$，$\therefore∠ BCA = ∠ MDA = 90°$，
又$\because∠ BAC = ∠ MAD$，$\therefore△ BAC∽△ MAD$，
$\therefore\frac{BC}{MD}=\frac{BA}{AM}=\frac{1}{2}$，即$BC=\frac{1}{2}MD$。
$\because MD$是路灯到步道的距离，为定值，$\therefore BC$是定值，即影子顶端到步道的距离不变。
方法二：如图③，设小明头顶为 $E$，当他走到 $PQ$ 上任意位置(记为点$D$)时，他的头顶为$G$，影子顶端为$F$，连结 $BF$，作 $FH ⊥ PQ$，垂足为 $H$，由题意得$AE// MN// GD$，$BC// FH$，
$\therefore△ BAE∽△ BMN$，$\therefore\frac{BA}{BM}=\frac{AE}{MN}$，同理$\frac{FD}{FM}=\frac{DG}{MN}$，
又$\because AE = DG$，$\therefore\frac{BA}{BM}=\frac{FD}{FM}$，$\therefore\frac{MA}{MB}=\frac{MD}{MF}$，
又$\because∠ AMD = ∠ BMF$，$\therefore△ AMD ∽ △ BMF$，
$\therefore∠ MAD = ∠ MBF$，$\therefore AD // BF$，
又$\because BC// FH$，$\therefore$四边形 $BCHF$ 是平行四边形，
$\therefore HF = BC$，$\therefore HF$ 是定值，即影子顶端到步道的距离不变。
(2)如图④，设小明头顶为 $E$，连结 $OA$，过 $D$ 作 $GD // OA$ 交 $MO$ 延长线于点 $G$，由题意得$AE// MN$，
$\therefore△ DAE∽△ DMN$，$\therefore\frac{DA}{DM}=\frac{AE}{MN}=\frac{1.6}{4.8}=\frac{1}{3}$，
$\therefore\frac{MA}{MD}=\frac{2}{3}$。
$\because GD // OA$，$\therefore△ MDG∽△ MAO$，
$\therefore\frac{OA}{DG}=\frac{MA}{MD}=\frac{MO}{MG}=\frac{2}{3}$，
$\therefore DG = \frac{3}{2}OA$，$MO=\frac{2}{3}MG$，
$\because MO$是定值，$\therefore MG$是定值，即点$G$的位置固定不变，
已知$\odot O$半径$OA=4\ \mathrm{m}$，$\therefore DG=\frac{3}{2}×4=6\ \mathrm{m}$，
$\therefore$点$D$的运动轨迹为以$G$为圆心，$6\ \mathrm{m}$为半径的圆，
$\therefore$影子顶端$D$运动的路径长为$2π×6=12π\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1)①$\frac{4\sqrt{3}}{5}$；②影子顶端到步道的距离不变，证明见解析；(2)$12π\ \mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，圆的周长计算
【点评】
本题结合生活中的路灯投影问题，将几何知识与实际场景结合，既考查了直角三角形、相似三角形的基础性质，也考查了动点轨迹的判断能力，需要学生灵活运用比例关系推导定值，对知识的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1)①先根据已知的30°角和小明身高，在Rt△ABE中利用含30°角的直角三角形的性质求出BE、AB的长度，再在Rt△ABC中利用30°角的性质求出BC的长度即可；②要说明影子顶端到步道的距离不变，可通过证明两组相似三角形，得到影子顶端到步道的距离与路灯到步道的距离成固定比例，而路灯到步道的距离是定值，即可得证；(2)先由人与路灯平行得到相似三角形，得出线段比例，再通过作平行线证明新的相似三角形，得到影子顶端到定点的距离为定值，判断出影子顶端的运动轨迹是圆，再计算圆的周长即可得到路径长。
【解析】
(1)①
，由题意得小明身高$AE = 1.6\ \mathrm{m}$，已知$∠ BAP = ∠ MBN = 30°$，在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ BAE=30°$，$\therefore BE = 2AE = 2×1.6 = 3.2\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得$AB = \sqrt{BE^2-AE^2} = \sqrt{3.2^2 - 1.6^2} = \frac{8\sqrt{3}}{5}\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=30°$，$\therefore BC = \frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×\frac{8\sqrt{3}}{5}=\frac{4\sqrt{3}}{5}\ \mathrm{m}$。
②方法一：如图②，作 $MD ⊥ PQ$，垂足为 $D$，设小明头顶为 $E$，由题意得$AE// MN$，
$\therefore△ BAE∽△ BMN$，$\therefore\frac{BA}{BM}=\frac{AE}{MN}=\frac{1.6}{4.8}=\frac{1}{3}$，
$\therefore\frac{BA}{AM}=\frac{1}{2}$。
$\because MD ⊥ PQ$，$BC ⊥ PQ$，$\therefore∠ BCA = ∠ MDA = 90°$，
又$\because∠ BAC = ∠ MAD$，$\therefore△ BAC∽△ MAD$，
$\therefore\frac{BC}{MD}=\frac{BA}{AM}=\frac{1}{2}$，即$BC=\frac{1}{2}MD$。
$\because MD$是路灯到步道的距离，为定值，$\therefore BC$是定值，即影子顶端到步道的距离不变。
方法二：如图③，设小明头顶为 $E$，当他走到 $PQ$ 上任意位置(记为点$D$)时，他的头顶为$G$，影子顶端为$F$，连结 $BF$，作 $FH ⊥ PQ$，垂足为 $H$，由题意得$AE// MN// GD$，$BC// FH$，
$\therefore△ BAE∽△ BMN$，$\therefore\frac{BA}{BM}=\frac{AE}{MN}$，同理$\frac{FD}{FM}=\frac{DG}{MN}$，
又$\because AE = DG$，$\therefore\frac{BA}{BM}=\frac{FD}{FM}$，$\therefore\frac{MA}{MB}=\frac{MD}{MF}$，
又$\because∠ AMD = ∠ BMF$，$\therefore△ AMD ∽ △ BMF$，
$\therefore∠ MAD = ∠ MBF$，$\therefore AD // BF$，
又$\because BC// FH$，$\therefore$四边形 $BCHF$ 是平行四边形，
$\therefore HF = BC$，$\therefore HF$ 是定值，即影子顶端到步道的距离不变。
(2)如图④，设小明头顶为 $E$，连结 $OA$，过 $D$ 作 $GD // OA$ 交 $MO$ 延长线于点 $G$，由题意得$AE// MN$，
$\therefore△ DAE∽△ DMN$，$\therefore\frac{DA}{DM}=\frac{AE}{MN}=\frac{1.6}{4.8}=\frac{1}{3}$，
$\therefore\frac{MA}{MD}=\frac{2}{3}$。
$\because GD // OA$，$\therefore△ MDG∽△ MAO$，
$\therefore\frac{OA}{DG}=\frac{MA}{MD}=\frac{MO}{MG}=\frac{2}{3}$，
$\therefore DG = \frac{3}{2}OA$，$MO=\frac{2}{3}MG$，
$\because MO$是定值，$\therefore MG$是定值，即点$G$的位置固定不变，
已知$\odot O$半径$OA=4\ \mathrm{m}$，$\therefore DG=\frac{3}{2}×4=6\ \mathrm{m}$，
$\therefore$点$D$的运动轨迹为以$G$为圆心，$6\ \mathrm{m}$为半径的圆，
$\therefore$影子顶端$D$运动的路径长为$2π×6=12π\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1)①$\frac{4\sqrt{3}}{5}$；②影子顶端到步道的距离不变，证明见解析；(2)$12π\ \mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，圆的周长计算
【点评】
本题结合生活中的路灯投影问题，将几何知识与实际场景结合，既考查了直角三角形、相似三角形的基础性质，也考查了动点轨迹的判断能力，需要学生灵活运用比例关系推导定值，对知识的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
