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1. 有下列四个命题:①两直线平行,同位角相等;②对顶角相等;③如果$a^2＞0$,那么$a＞0$;④同角的余角相等. 其中正确的命题有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要逐个判断四个命题的真假：真命题是经过证明成立的命题，假命题可以通过举反例来判定。先回忆所学的几何基本定理和代数相关性质，依次判断每个命题的对错，最后统计正确命题的个数即可选出答案。
【解析】
我们逐个分析四个命题：
① 两直线平行，同位角相等：这是平行线的基本性质定理，是真命题，正确；
② 对顶角相等：这是对顶角的固有性质，是真命题，正确；
③ 如果$a^2＞0$，那么$a＞0$：我们可以举反例，当$a=-2$时，$a^2=(-2)^2=4＞0$，但$a=-2＜0$，说明该命题不成立，是假命题，错误；
④ 同角的余角相等：若两个角都是同一个角的余角，那么这两个角都等于$90°$减去这个角，所以二者相等，是真命题，正确。
综上，正确的命题有①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
命题真假判断、平行线的性质、角的相关性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查对基础数学定理的记忆和假命题的判断方法，判断假命题最直接的方法就是举出一个符合题设但不符合结论的反例，学习中要熟练掌握常见的几何、代数基础定理。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们需要逐个判断四个命题的真假：真命题是经过证明成立的命题，假命题可以通过举反例来判定。先回忆所学的几何基本定理和代数相关性质，依次判断每个命题的对错，最后统计正确命题的个数即可选出答案。
【解析】
我们逐个分析四个命题：
① 两直线平行，同位角相等：这是平行线的基本性质定理，是真命题，正确；
② 对顶角相等：这是对顶角的固有性质，是真命题，正确；
③ 如果$a^2＞0$，那么$a＞0$：我们可以举反例，当$a=-2$时，$a^2=(-2)^2=4＞0$，但$a=-2＜0$，说明该命题不成立，是假命题，错误；
④ 同角的余角相等：若两个角都是同一个角的余角，那么这两个角都等于$90°$减去这个角，所以二者相等，是真命题，正确。
综上，正确的命题有①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
命题真假判断、平行线的性质、角的相关性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查对基础数学定理的记忆和假命题的判断方法，判断假命题最直接的方法就是举出一个符合题设但不符合结论的反例，学习中要熟练掌握常见的几何、代数基础定理。
【难度系数】
0.8
2. 下列语句不 是 命题的是()
A.延长线段AB
B.自然数也是整数
C.两个锐角的和一定是直角
D.同角的余角相等
A.延长线段AB
B.自然数也是整数
C.两个锐角的和一定是直角
D.同角的余角相等
答案
A
解析
【分析】
要判断哪个语句不是命题，首先要明确命题的定义：能够判断真假的陈述句叫做命题。判定一个语句是不是命题有两个核心要点：一是语句为陈述句，二是能明确判断其真假（无论判断结果是对还是错，只要能作出判断就符合要求）。解题时我们只需要对照这两个要点，逐一分析每个选项即可得出答案。
【解析】
首先明确命题的判定规则：能判断真假的陈述句是命题，祈使句、疑问句等无法判断真假的语句不属于命题，假命题也属于命题。
对各选项逐一分析：
A. “延长线段AB”是操作指令，属于祈使句，无法判断真假，因此不是命题；
B. “自然数也是整数”是可以判断为正确的陈述句，属于真命题，是命题；
C. “两个锐角的和一定是直角”是可以判断为错误的陈述句（例如20°和30°都是锐角，和为50°不是直角），属于假命题，是命题；
D. “同角的余角相等”是可以判断为正确的陈述句，属于真命题，是命题。
综上，只有A选项不是命题。
【答案】
A
【知识点】
命题的定义、真命题与假命题
【点评】
本题重点考查对命题概念的理解，解题关键是抓住“能判断真假的陈述句”这一核心判定标准，易错点是容易误以为只有正确的语句才是命题，忽略假命题也属于命题的范畴。
【难度系数】
0.8
要判断哪个语句不是命题，首先要明确命题的定义：能够判断真假的陈述句叫做命题。判定一个语句是不是命题有两个核心要点：一是语句为陈述句，二是能明确判断其真假（无论判断结果是对还是错，只要能作出判断就符合要求）。解题时我们只需要对照这两个要点，逐一分析每个选项即可得出答案。
【解析】
首先明确命题的判定规则：能判断真假的陈述句是命题，祈使句、疑问句等无法判断真假的语句不属于命题，假命题也属于命题。
对各选项逐一分析：
A. “延长线段AB”是操作指令，属于祈使句，无法判断真假，因此不是命题；
B. “自然数也是整数”是可以判断为正确的陈述句，属于真命题，是命题；
C. “两个锐角的和一定是直角”是可以判断为错误的陈述句（例如20°和30°都是锐角，和为50°不是直角），属于假命题，是命题；
D. “同角的余角相等”是可以判断为正确的陈述句，属于真命题，是命题。
综上，只有A选项不是命题。
【答案】
A
【知识点】
命题的定义、真命题与假命题
【点评】
本题重点考查对命题概念的理解，解题关键是抓住“能判断真假的陈述句”这一核心判定标准，易错点是容易误以为只有正确的语句才是命题，忽略假命题也属于命题的范畴。
【难度系数】
0.8
3. 能说明命题“若$ x $为无理数，则$ x^2 $也是无理数”是假命题的反例是()
A.$ x=\sqrt{2}-1 $
B.$ x=\sqrt{2}+1 $
C.$ x=\sqrt{2} $
D.$ x=\sqrt{3}-\sqrt{2} $
A.$ x=\sqrt{2}-1 $
B.$ x=\sqrt{2}+1 $
C.$ x=\sqrt{2} $
D.$ x=\sqrt{3}-\sqrt{2} $
答案
C
解析
【分析】
要说明一个命题是假命题，需要找到符合命题条件但不符合命题结论的反例。本题命题的条件是“x为无理数”，结论是“x²也是无理数”，因此反例需要满足：x是无理数，但x²是有理数。我们只需逐一计算各选项中x的平方，判断是否为有理数即可找到正确答案。
【解析】
逐个分析选项：
A. $x=\sqrt{2}-1$是无理数，计算得$x^2=(\sqrt{2}-1)^2=(\sqrt{2})^2-2×\sqrt{2}×1+1^2=3-2\sqrt{2}$，结果是无理数，不符合反例要求；
B. $x=\sqrt{2}+1$是无理数，计算得$x^2=(\sqrt{2}+1)^2=(\sqrt{2})^2+2×\sqrt{2}×1+1^2=3+2\sqrt{2}$，结果是无理数，不符合反例要求；
C. $x=\sqrt{2}$是无理数，计算得$x^2=(\sqrt{2})^2=2$，2是有理数，满足“x为无理数，x²为有理数”，可作为反例，符合要求；
D. $x=\sqrt{3}-\sqrt{2}$是无理数，计算得$x^2=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=(\sqrt{3})^2-2×\sqrt{3}×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=5-2\sqrt{6}$，结果是无理数，不符合反例要求。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
命题的反例；无理数的识别；完全平方公式
【点评】
本题考查假命题反例的判断，解题核心是明确反例需要同时满足“符合命题题设”和“不符合命题结论”两个条件，结合平方运算和无理数定义即可快速判断。
【难度系数】
0.8
要说明一个命题是假命题，需要找到符合命题条件但不符合命题结论的反例。本题命题的条件是“x为无理数”，结论是“x²也是无理数”，因此反例需要满足：x是无理数，但x²是有理数。我们只需逐一计算各选项中x的平方，判断是否为有理数即可找到正确答案。
【解析】
逐个分析选项：
A. $x=\sqrt{2}-1$是无理数，计算得$x^2=(\sqrt{2}-1)^2=(\sqrt{2})^2-2×\sqrt{2}×1+1^2=3-2\sqrt{2}$，结果是无理数，不符合反例要求；
B. $x=\sqrt{2}+1$是无理数，计算得$x^2=(\sqrt{2}+1)^2=(\sqrt{2})^2+2×\sqrt{2}×1+1^2=3+2\sqrt{2}$，结果是无理数，不符合反例要求；
C. $x=\sqrt{2}$是无理数，计算得$x^2=(\sqrt{2})^2=2$，2是有理数，满足“x为无理数，x²为有理数”，可作为反例，符合要求；
D. $x=\sqrt{3}-\sqrt{2}$是无理数，计算得$x^2=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=(\sqrt{3})^2-2×\sqrt{3}×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=5-2\sqrt{6}$，结果是无理数，不符合反例要求。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
命题的反例；无理数的识别；完全平方公式
【点评】
本题考查假命题反例的判断，解题核心是明确反例需要同时满足“符合命题题设”和“不符合命题结论”两个条件，结合平方运算和无理数定义即可快速判断。
【难度系数】
0.8
二、填空题
1. 一个命题是由和两部分组成。
1. 一个命题是由和两部分组成。
答案
解：
一个命题是由题设（条件）和结论两部分组成。
答案依次为：题设（或条件）；结论。
一个命题是由题设（条件）和结论两部分组成。
答案依次为：题设（或条件）；结论。
解析
【分析】
这道题考查命题的基本构成，属于基础识记类题目，解题时只需回忆教材中关于命题组成的相关概念即可：命题是判断一件事情的语句，固定由两部分组成，分别是已知的前提部分和由前提推导出来的结果部分，对应教材术语即可填出答案。
【解析】
判断一件事情的语句叫做命题，命题由两部分构成：一部分是已知的事项，叫做题设，也可称为条件；另一部分是由题设推断出的事项，叫做结论，因此命题由题设（或条件）和结论两部分组成。
【答案】
题设（或条件）；结论
【知识点】
命题的构成
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对命题相关基础定义的记忆掌握情况，属于识记类题型，牢记教材核心概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
这道题考查命题的基本构成，属于基础识记类题目，解题时只需回忆教材中关于命题组成的相关概念即可：命题是判断一件事情的语句，固定由两部分组成，分别是已知的前提部分和由前提推导出来的结果部分，对应教材术语即可填出答案。
【解析】
判断一件事情的语句叫做命题，命题由两部分构成：一部分是已知的事项，叫做题设，也可称为条件；另一部分是由题设推断出的事项，叫做结论，因此命题由题设（或条件）和结论两部分组成。
【答案】
题设（或条件）；结论
【知识点】
命题的构成
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对命题相关基础定义的记忆掌握情况，属于识记类题型，牢记教材核心概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2. 命题“两直线相交，只有一个交点”的条件是，结论是，它是命题(填“真”或“假”).
答案
解：
两条直线相交
这两条直线只有一个交点
真
两条直线相交
这两条直线只有一个交点
真
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确命题的基本结构：命题由条件和结论两部分组成，通常可以将命题改写为“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的内容是条件，“那么”引出的内容是结论；最后结合已学的几何基本事实判断命题的真假即可。具体解题步骤为：第一步改写原命题为“如果……那么……”的标准形式，第二步拆分条件和结论，第三步结合直线相交的性质判断命题真假。
【解析】
首先把原命题“两直线相交，只有一个交点”改写为“如果两条直线相交，那么这两条直线只有一个交点”。
根据命题的组成规则：
1. 条件是“如果”后面的内容，即：两条直线相交；
2. 结论是“那么”后面的内容，即：这两条直线只有一个交点；
3. 根据平面内直线相交的性质，两条直线相交时确实只存在一个交点，因此该命题是真命题。
【答案】
两条直线相交；这两条直线只有一个交点；真
【知识点】
命题的组成；真假命题判断
【点评】
本题属于命题相关的基础题型，解题的关键是掌握将命题改写为“如果……那么……”形式来拆分条件、结论的方法，结合学过的基础几何性质就能快速判断命题的真假。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确命题的基本结构：命题由条件和结论两部分组成，通常可以将命题改写为“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的内容是条件，“那么”引出的内容是结论；最后结合已学的几何基本事实判断命题的真假即可。具体解题步骤为：第一步改写原命题为“如果……那么……”的标准形式，第二步拆分条件和结论，第三步结合直线相交的性质判断命题真假。
【解析】
首先把原命题“两直线相交，只有一个交点”改写为“如果两条直线相交，那么这两条直线只有一个交点”。
根据命题的组成规则：
1. 条件是“如果”后面的内容，即：两条直线相交；
2. 结论是“那么”后面的内容，即：这两条直线只有一个交点；
3. 根据平面内直线相交的性质，两条直线相交时确实只存在一个交点，因此该命题是真命题。
【答案】
两条直线相交；这两条直线只有一个交点；真
【知识点】
命题的组成；真假命题判断
【点评】
本题属于命题相关的基础题型，解题的关键是掌握将命题改写为“如果……那么……”形式来拆分条件、结论的方法，结合学过的基础几何性质就能快速判断命题的真假。
【难度系数】
0.8
3. 已知三条不同的直线a,b,c在同一平面内,下列四个命题:
①如果$a// b,a⊥ c$,那么$b⊥ c$; ②如果$b// a,c// a$,那么$b// c$;
③如果$b⊥ a,c⊥ a$,那么$b⊥ c$; ④如果$b⊥ a,c⊥ a$,那么$b// c$.
其中真命题是(只填序号).
①如果$a// b,a⊥ c$,那么$b⊥ c$; ②如果$b// a,c// a$,那么$b// c$;
③如果$b⊥ a,c⊥ a$,那么$b⊥ c$; ④如果$b⊥ a,c⊥ a$,那么$b// c$.
其中真命题是(只填序号).
答案
解：
逐一判断四个命题：
① 同一平面内，若$a// b$，$a⊥ c$，根据平行线的性质可推出$b⊥ c$，是真命题；
② 同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行，由$b// a$，$c// a$可得$b// c$，是真命题；
③ 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，由$b⊥ a$，$c⊥ a$可得$b// c$，该命题结论错误，是假命题；
④ 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，由$b⊥ a$，$c⊥ a$可得$b// c$，是真命题。
综上，真命题是$\boldsymbol{①②④}$。
逐一判断四个命题：
① 同一平面内，若$a// b$，$a⊥ c$，根据平行线的性质可推出$b⊥ c$，是真命题；
② 同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行，由$b// a$，$c// a$可得$b// c$，是真命题；
③ 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，由$b⊥ a$，$c⊥ a$可得$b// c$，该命题结论错误，是假命题；
④ 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，由$b⊥ a$，$c⊥ a$可得$b// c$，是真命题。
综上，真命题是$\boldsymbol{①②④}$。
解析
【分析】
本题考查同一平面内直线平行与垂直关系的命题真假判断，解题思路如下：首先明确题目给定的前提是三条不同直线均在同一平面内，接下来逐一分析四个命题，结合所学的平行线、垂直的相关性质及判定定理，判断每个命题的结论是否成立，最终筛选出所有真命题即可。
【解析】
我们结合同一平面内直线平行、垂直的相关定理逐个判断：
① 如果$a// b$，$a⊥ c$，根据“一条直线垂直于一组平行线中的一条直线，那么它也垂直于另一条直线”，可推出$b⊥ c$，故①是真命题；
② 如果$b// a$，$c// a$，根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”，可得$b// c$，故②是真命题；
③ 如果$b⊥ a$，$c⊥ a$，根据“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，可得$b// c$，而非$b⊥ c$，故③是假命题；
④ 如果$b⊥ a$，$c⊥ a$，根据“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，可得$b// c$，故④是真命题。
综上，真命题为①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论；垂直的性质
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心是熟练掌握同一平面内直线平行、垂直的相关判定定理，做题时注意审题，明确“同一平面内”这个前提，细心对比命题结论和定理内容即可快速判断真假。
【难度系数】
0.8
本题考查同一平面内直线平行与垂直关系的命题真假判断，解题思路如下：首先明确题目给定的前提是三条不同直线均在同一平面内，接下来逐一分析四个命题，结合所学的平行线、垂直的相关性质及判定定理，判断每个命题的结论是否成立，最终筛选出所有真命题即可。
【解析】
我们结合同一平面内直线平行、垂直的相关定理逐个判断：
① 如果$a// b$，$a⊥ c$，根据“一条直线垂直于一组平行线中的一条直线，那么它也垂直于另一条直线”，可推出$b⊥ c$，故①是真命题；
② 如果$b// a$，$c// a$，根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”，可得$b// c$，故②是真命题；
③ 如果$b⊥ a$，$c⊥ a$，根据“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，可得$b// c$，而非$b⊥ c$，故③是假命题；
④ 如果$b⊥ a$，$c⊥ a$，根据“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，可得$b// c$，故④是真命题。
综上，真命题为①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论；垂直的性质
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心是熟练掌握同一平面内直线平行、垂直的相关判定定理，做题时注意审题，明确“同一平面内”这个前提，细心对比命题结论和定理内容即可快速判断真假。
【难度系数】
0.8
三、解答题
1. 将下列命题写成“如果……，那么……”的形式.
(1)两直线平行,内错角相等；
(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
1. 将下列命题写成“如果……，那么……”的形式.
(1)两直线平行,内错角相等；
(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
答案
解：
(1) 如果两条平行直线被第三条直线所截，那么内错角相等。
(2) 如果一条线段是直角三角形斜边上的中线，那么这条线段的长度等于斜边长度的一半。
(1) 如果两条平行直线被第三条直线所截，那么内错角相等。
(2) 如果一条线段是直角三角形斜边上的中线，那么这条线段的长度等于斜边长度的一半。
解析
【分析】
要将命题改写为“如果……那么……”的形式，首先要明确命题由条件（题设）和结论两部分组成：“如果”后接已知的条件，“那么”后接由条件推导得出的结论。改写时先分别拆分两个命题的条件和结论，再补全命题省略的必要前提，保证语句通顺、逻辑严谨即可。其中（1）的核心条件是两直线平行且被第三条直线所截，结论是内错角相等；（2）的核心条件是一条线段为直角三角形斜边上的中线，结论是该线段长度等于斜边的一半。
【解析】
首先提取每个命题的条件和结论，将条件放在“如果”之后，结论放在“那么”之后，补全必要前提使表述完整：
(1) 提取条件“两条平行直线被第三条直线所截”，结论“内错角相等”，组合得到改写结果。
(2) 提取条件“一条线段是直角三角形斜边上的中线”，结论“这条线段的长度等于斜边长度的一半”，组合得到改写结果。
【答案】
(1) 如果两条平行直线被第三条直线所截，那么内错角相等。
(2) 如果一条线段是直角三角形斜边上的中线，那么这条线段的长度等于斜边长度的一半。
【知识点】
命题的构成、命题的改写
【点评】
本题属于命题相关的基础题型，核心考查对命题结构的区分能力，改写时需注意补全命题隐含的必要前提，避免出现逻辑漏洞，同时要保证改写后的语句通顺、条件和结论边界清晰。
【难度系数】
0.8
要将命题改写为“如果……那么……”的形式，首先要明确命题由条件（题设）和结论两部分组成：“如果”后接已知的条件，“那么”后接由条件推导得出的结论。改写时先分别拆分两个命题的条件和结论，再补全命题省略的必要前提，保证语句通顺、逻辑严谨即可。其中（1）的核心条件是两直线平行且被第三条直线所截，结论是内错角相等；（2）的核心条件是一条线段为直角三角形斜边上的中线，结论是该线段长度等于斜边的一半。
【解析】
首先提取每个命题的条件和结论，将条件放在“如果”之后，结论放在“那么”之后，补全必要前提使表述完整：
(1) 提取条件“两条平行直线被第三条直线所截”，结论“内错角相等”，组合得到改写结果。
(2) 提取条件“一条线段是直角三角形斜边上的中线”，结论“这条线段的长度等于斜边长度的一半”，组合得到改写结果。
【答案】
(1) 如果两条平行直线被第三条直线所截，那么内错角相等。
(2) 如果一条线段是直角三角形斜边上的中线，那么这条线段的长度等于斜边长度的一半。
【知识点】
命题的构成、命题的改写
【点评】
本题属于命题相关的基础题型，核心考查对命题结构的区分能力，改写时需注意补全命题隐含的必要前提，避免出现逻辑漏洞，同时要保证改写后的语句通顺、条件和结论边界清晰。
【难度系数】
0.8
