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3. 阅读下列材料：
请仿照上面的方法，解答下列问题：
(1)分解因式：$x^2 -2x -8$.
(2)分解因式：$x^3 -8x^2 +12x$.
(3)若$x^2 +px -6$可分解为两个一次因式的积，写出非零整数p所有可能的值.
请仿照上面的方法，解答下列问题：
(1)分解因式：$x^2 -2x -8$.
(2)分解因式：$x^3 -8x^2 +12x$.
(3)若$x^2 +px -6$可分解为两个一次因式的积，写出非零整数p所有可能的值.
答案
解：
(1) 因为$x^2 -2x -8 = x^2 + (-4+2)x + (-4)×2$，
所以$x^2 -2x -8 = (x-4)(x+2)$。
(2) 先提取公因式$x$，得
$x^3 -8x^2 +12x = x(x^2 -8x +12)$，
又因为$x^2 -8x +12 = x^2 + (-6-2)x + (-6)×(-2)$，
所以$x^3 -8x^2 +12x = x(x-6)(x-2)$。
(3) 要将$x^2 +px -6$分解为两个一次因式的积，需找到整数$m,n$满足$m· n=-6$，且$p=m+n$：
当$m=1,n=-6$时，$p=1+(-6)=-5$；
当$m=-1,n=6$时，$p=-1+6=5$；
当$m=2,n=-3$时，$p=2+(-3)=-1$；
当$m=-2,n=3$时，$p=-2+3=1$。
所以非零整数$p$所有可能的值为$1,-1,5,-5$。
(1) 因为$x^2 -2x -8 = x^2 + (-4+2)x + (-4)×2$，
所以$x^2 -2x -8 = (x-4)(x+2)$。
(2) 先提取公因式$x$，得
$x^3 -8x^2 +12x = x(x^2 -8x +12)$，
又因为$x^2 -8x +12 = x^2 + (-6-2)x + (-6)×(-2)$，
所以$x^3 -8x^2 +12x = x(x-6)(x-2)$。
(3) 要将$x^2 +px -6$分解为两个一次因式的积，需找到整数$m,n$满足$m· n=-6$，且$p=m+n$：
当$m=1,n=-6$时，$p=1+(-6)=-5$；
当$m=-1,n=6$时，$p=-1+6=5$；
当$m=2,n=-3$时，$p=2+(-3)=-1$；
当$m=-2,n=3$时，$p=-2+3=1$。
所以非零整数$p$所有可能的值为$1,-1,5,-5$。
解析
【分析】
本题围绕二次项系数为1的十字相乘法因式分解展开，解题思路如下：
1. 第(1)问：根据材料给出的规律，要分解$x^2-2x-8$，只需找到两个整数，满足它们的乘积等于常数项-8，和等于一次项系数-2，代入公式即可完成分解。
2. 第(2)问：观察多项式各项有公因式$x$，先提取公因式，再对余下的二次三项式用十字相乘法分解，保证因式分解彻底。
3. 第(3)问：设$x^2+px-6=(x+m)(x+n)$，则$mn=-6$，$p=m+n$，枚举所有乘积为-6的整数对，计算每对整数的和即可得到所有符合要求的非零整数p。
【解析】
(1) 找到两个整数-4和2，满足和为-2，积为-8，因此：
$x^2 -2x -8 = x^2 + (-4+2)x + (-4)×2 = (x-4)(x+2)$
(2) 先提取公因式$x$，再分解剩余的二次三项式：
$x^3 -8x^2 +12x = x(x^2 -8x +12)$
找到两个整数-6和-2，满足和为-8，积为12，因此：
$x^2 -8x +12 = x^2 + (-6-2)x + (-6)×(-2) = (x-6)(x-2)$
故原式$=x(x-6)(x-2)$
(3) 设$x^2 +px -6=(x+m)(x+n)$，则$mn=-6$，$p=m+n$，枚举所有乘积为-6的整数组合：
① 当$m=1,n=-6$时，$p=1+(-6)=-5$；
② 当$m=-1,n=6$时，$p=-1+6=5$；
③ 当$m=2,n=-3$时，$p=2+(-3)=-1$；
④ 当$m=-2,n=3$时，$p=-2+3=1$。
上述p值均为非零整数，符合要求。
【答案】
(1) $(x-4)(x+2)$
(2) $x(x-6)(x-2)$
(3) $1,-1,5,-5$
【知识点】
提公因式法因式分解，十字相乘法因式分解，因式分解的应用
【点评】
本题属于因式分解的基础应用题型，核心是掌握二次项系数为1的十字相乘法的规律：将常数项拆分为两个整数的乘积，且两个整数的和等于一次项系数。解题时注意有公因式先提公因式，分解要彻底；涉及整数参数求解时要全面枚举所有可能的因数组合，避免漏解。
【难度系数】
0.7
本题围绕二次项系数为1的十字相乘法因式分解展开，解题思路如下：
1. 第(1)问：根据材料给出的规律，要分解$x^2-2x-8$，只需找到两个整数，满足它们的乘积等于常数项-8，和等于一次项系数-2，代入公式即可完成分解。
2. 第(2)问：观察多项式各项有公因式$x$，先提取公因式，再对余下的二次三项式用十字相乘法分解，保证因式分解彻底。
3. 第(3)问：设$x^2+px-6=(x+m)(x+n)$，则$mn=-6$，$p=m+n$，枚举所有乘积为-6的整数对，计算每对整数的和即可得到所有符合要求的非零整数p。
【解析】
(1) 找到两个整数-4和2，满足和为-2，积为-8，因此：
$x^2 -2x -8 = x^2 + (-4+2)x + (-4)×2 = (x-4)(x+2)$
(2) 先提取公因式$x$，再分解剩余的二次三项式：
$x^3 -8x^2 +12x = x(x^2 -8x +12)$
找到两个整数-6和-2，满足和为-8，积为12，因此：
$x^2 -8x +12 = x^2 + (-6-2)x + (-6)×(-2) = (x-6)(x-2)$
故原式$=x(x-6)(x-2)$
(3) 设$x^2 +px -6=(x+m)(x+n)$，则$mn=-6$，$p=m+n$，枚举所有乘积为-6的整数组合：
① 当$m=1,n=-6$时，$p=1+(-6)=-5$；
② 当$m=-1,n=6$时，$p=-1+6=5$；
③ 当$m=2,n=-3$时，$p=2+(-3)=-1$；
④ 当$m=-2,n=3$时，$p=-2+3=1$。
上述p值均为非零整数，符合要求。
【答案】
(1) $(x-4)(x+2)$
(2) $x(x-6)(x-2)$
(3) $1,-1,5,-5$
【知识点】
提公因式法因式分解，十字相乘法因式分解，因式分解的应用
【点评】
本题属于因式分解的基础应用题型，核心是掌握二次项系数为1的十字相乘法的规律：将常数项拆分为两个整数的乘积，且两个整数的和等于一次项系数。解题时注意有公因式先提公因式，分解要彻底；涉及整数参数求解时要全面枚举所有可能的因数组合，避免漏解。
【难度系数】
0.7
4*. 已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，且$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由。
答案
解：$△ ABC$是等边三角形，理由如下：
将等式$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$两边同时乘2，得：
$2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0$
分组配方可得：
$(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(a^2-2ac+c^2)=0$
即$(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0$
∵ 平方数具有非负性，
∴ $a-b=0$，$b-c=0$，$a-c=0$，
即$a=b$，$b=c$，$a=c$，
∴ $a=b=c$，
∴ $△ ABC$是等边三角形。
将等式$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$两边同时乘2，得：
$2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0$
分组配方可得：
$(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(a^2-2ac+c^2)=0$
即$(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0$
∵ 平方数具有非负性，
∴ $a-b=0$，$b-c=0$，$a-c=0$，
即$a=b$，$b=c$，$a=c$，
∴ $a=b=c$，
∴ $△ ABC$是等边三角形。
解析
【分析】
要判断△ABC的形状，需明确三边a、b、c的数量关系。观察已知等式的结构，含有平方项和两数乘积项，符合完全平方公式的项的特征，但完全平方公式中交叉项系数为2，因此先考虑将等式两边同时乘2，再分组配成完全平方的形式，最后利用平方的非负性推导三边的关系即可。
【解析】
△ABC是等边三角形，理由如下：
将等式$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$两边同时乘2，得：
$2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0$
分组整理可得：
$(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(a^2-2ac+c^2)=0$
根据完全平方公式因式分解，得：
$(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0$
∵ 平方数具有非负性，即$(a-b)^2≥0$，$(b-c)^2≥0$，$(a-c)^2≥0$，
∴ 只有当每个平方项都为0时，等式才成立，即$a-b=0$，$b-c=0$，$a-c=0$，
∴ $a=b$，$b=c$，$a=c$，即$a=b=c$，
∴ △ABC是等边三角形。
【答案】
△ABC是等边三角形
【知识点】
配方法因式分解；完全平方公式；非负数的性质
【点评】
本题是因式分解在几何判断中的典型应用，解题的关键是通过给等式乘2构造出完全平方公式的结构，再结合非负数的性质得到三边相等的关系，考查学生对公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要判断△ABC的形状，需明确三边a、b、c的数量关系。观察已知等式的结构，含有平方项和两数乘积项，符合完全平方公式的项的特征，但完全平方公式中交叉项系数为2，因此先考虑将等式两边同时乘2，再分组配成完全平方的形式，最后利用平方的非负性推导三边的关系即可。
【解析】
△ABC是等边三角形，理由如下：
将等式$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$两边同时乘2，得：
$2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0$
分组整理可得：
$(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(a^2-2ac+c^2)=0$
根据完全平方公式因式分解，得：
$(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0$
∵ 平方数具有非负性，即$(a-b)^2≥0$，$(b-c)^2≥0$，$(a-c)^2≥0$，
∴ 只有当每个平方项都为0时，等式才成立，即$a-b=0$，$b-c=0$，$a-c=0$，
∴ $a=b$，$b=c$，$a=c$，即$a=b=c$，
∴ △ABC是等边三角形。
【答案】
△ABC是等边三角形
【知识点】
配方法因式分解；完全平方公式；非负数的性质
【点评】
本题是因式分解在几何判断中的典型应用，解题的关键是通过给等式乘2构造出完全平方公式的结构，再结合非负数的性质得到三边相等的关系，考查学生对公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
