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一、选择题
1. 如果等腰三角形两边长是6 cm和3 cm，那么它的周长是()
A.9 cm
B.12 cm
C.15 cm或12 cm
D.15 cm
1. 如果等腰三角形两边长是6 cm和3 cm，那么它的周长是()
A.9 cm
B.12 cm
C.15 cm或12 cm
D.15 cm
答案
D
解析
【分析】
解决本题首先要明确等腰三角形两条腰长度相等的性质，由于题目没有明确说明给出的两条边哪个是腰、哪个是底，因此需要分两种情况分类讨论。同时要牢记三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，对每种情况先判断能否构成三角形，舍去不符合要求的情况，再计算符合要求的三角形周长即可。
【解析】
已知等腰三角形两边长为6cm和3cm，分两种情况讨论：
1. 若腰长为3cm，则三角形三边长为3cm、3cm、6cm
此时$3+3=6$，不满足三角形“两边之和大于第三边”的三边关系，无法构成三角形，该情况舍去；
2. 若腰长为6cm，则三角形三边长为6cm、6cm、3cm
此时$3+6＞6$，$6+6＞3$，满足三边关系，可构成三角形，周长为$6+6+3=15\mathrm{cm}$。
综上，该等腰三角形的周长为15cm。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形性质、三角形三边关系、分类讨论
【点评】
本题是等腰三角形周长计算的典型易错题，解题时很容易忽略验证三边是否能构成三角形，直接计算两种情况的周长从而错选。遇到已知等腰三角形两边求周长的题目时，一定要先分类讨论，再用三边关系验证合理性，最后计算周长。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确等腰三角形两条腰长度相等的性质，由于题目没有明确说明给出的两条边哪个是腰、哪个是底，因此需要分两种情况分类讨论。同时要牢记三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，对每种情况先判断能否构成三角形，舍去不符合要求的情况，再计算符合要求的三角形周长即可。
【解析】
已知等腰三角形两边长为6cm和3cm，分两种情况讨论：
1. 若腰长为3cm，则三角形三边长为3cm、3cm、6cm
此时$3+3=6$，不满足三角形“两边之和大于第三边”的三边关系，无法构成三角形，该情况舍去；
2. 若腰长为6cm，则三角形三边长为6cm、6cm、3cm
此时$3+6＞6$，$6+6＞3$，满足三边关系，可构成三角形，周长为$6+6+3=15\mathrm{cm}$。
综上，该等腰三角形的周长为15cm。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形性质、三角形三边关系、分类讨论
【点评】
本题是等腰三角形周长计算的典型易错题，解题时很容易忽略验证三边是否能构成三角形，直接计算两种情况的周长从而错选。遇到已知等腰三角形两边求周长的题目时，一定要先分类讨论，再用三边关系验证合理性，最后计算周长。
【难度系数】
0.7
2. 已知等腰三角形的一个内角为$50°$,则这个等腰三角形的顶角为()
A.$50°$
B.$80°$
C.$50°$或$80°$
D.$40°$或$65°$
A.$50°$
B.$80°$
C.$50°$或$80°$
D.$40°$或$65°$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先要明确等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和为180°。题目仅给出一个内角为50°，未明确该角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论，分别计算两种情况下的顶角度数，再验证是否符合三角形内角和要求即可得到答案。
【解析】
已知等腰三角形的一个内角为50°，分两种情况讨论：
1. 若该内角为等腰三角形的顶角：此时顶角直接为50°；
2. 若该内角为等腰三角形的底角：根据等腰三角形两底角相等的性质，另一个底角也为50°，结合三角形内角和为180°，可得顶角度数为$180° - 50° × 2 = 80°$。
两种情况均符合三角形内角和定理，因此这个等腰三角形的顶角为50°或80°。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用，易错点是忽略题目未明确给定内角的类型，漏算其中一种情况导致错选，解题时遇到此类未明确说明的条件，要主动分类讨论并验证结果是否合理。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和为180°。题目仅给出一个内角为50°，未明确该角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论，分别计算两种情况下的顶角度数，再验证是否符合三角形内角和要求即可得到答案。
【解析】
已知等腰三角形的一个内角为50°，分两种情况讨论：
1. 若该内角为等腰三角形的顶角：此时顶角直接为50°；
2. 若该内角为等腰三角形的底角：根据等腰三角形两底角相等的性质，另一个底角也为50°，结合三角形内角和为180°，可得顶角度数为$180° - 50° × 2 = 80°$。
两种情况均符合三角形内角和定理，因此这个等腰三角形的顶角为50°或80°。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用，易错点是忽略题目未明确给定内角的类型，漏算其中一种情况导致错选，解题时遇到此类未明确说明的条件，要主动分类讨论并验证结果是否合理。
【难度系数】
0.7
3*. 如图1,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,则下列结论不 一 定 成立的是()
A.AD=BD
B.BD=CD
C.∠BAD=∠CAD
D.∠B=∠C
A.AD=BD
B.BD=CD
C.∠BAD=∠CAD
D.∠B=∠C
答案
A
解析
【分析】
首先由AB=AC可判定△ABC是等腰三角形，结合AD⊥BC，我们可以调用等腰三角形的相关性质逐一判断选项：等腰三角形本身有两底角相等的性质，其次“三线合一”性质指出等腰三角形底边上的高同时是底边上的中线和顶角的角平分线，据此可先确定必然成立的选项，再判断剩余选项是否仅在特殊情况下成立即可。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可得∠B=∠C，故D选项一定成立；
又
∵AD⊥BC，即AD是等腰△ABC底边上的高，根据等腰三角形“三线合一”的性质：
AD是BC边上的中线，因此BD=CD，故B选项一定成立；
AD也是∠BAC的角平分线，因此∠BAD=∠CAD，故C选项一定成立；
只有当△ABC是等腰直角三角形时，才有AD=BD，普通等腰三角形不满足该结论，因此A选项不一定成立。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形性质，三线合一，等边对等角
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对等腰三角形通用性质的掌握，需要注意区分所有等腰三角形都具备的性质和仅特殊等腰三角形才具备的性质，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
首先由AB=AC可判定△ABC是等腰三角形，结合AD⊥BC，我们可以调用等腰三角形的相关性质逐一判断选项：等腰三角形本身有两底角相等的性质，其次“三线合一”性质指出等腰三角形底边上的高同时是底边上的中线和顶角的角平分线，据此可先确定必然成立的选项，再判断剩余选项是否仅在特殊情况下成立即可。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可得∠B=∠C，故D选项一定成立；
又
∵AD⊥BC，即AD是等腰△ABC底边上的高，根据等腰三角形“三线合一”的性质：
AD是BC边上的中线，因此BD=CD，故B选项一定成立；
AD也是∠BAC的角平分线，因此∠BAD=∠CAD，故C选项一定成立；
只有当△ABC是等腰直角三角形时，才有AD=BD，普通等腰三角形不满足该结论，因此A选项不一定成立。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形性质，三线合一，等边对等角
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对等腰三角形通用性质的掌握，需要注意区分所有等腰三角形都具备的性质和仅特殊等腰三角形才具备的性质，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
1. 等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么它的底边为.
答案
解：分两种情况讨论：
（1）当长为4的边为等腰三角形的腰时，
底边长为 $14 - 4×2 = 6$，
此时三边长为4，4，6，满足 $4+4＞6$，符合三角形三边关系；
（2）当长为4的边为等腰三角形的底边时，
腰长为 $\frac{14-4}{2}=5$，
此时三边长为5，5，4，满足 $5+4＞5$，符合三角形三边关系。
综上，它的底边为4或6。
（1）当长为4的边为等腰三角形的腰时，
底边长为 $14 - 4×2 = 6$，
此时三边长为4，4，6，满足 $4+4＞6$，符合三角形三边关系；
（2）当长为4的边为等腰三角形的底边时，
腰长为 $\frac{14-4}{2}=5$，
此时三边长为5，5，4，满足 $5+4＞5$，符合三角形三边关系。
综上，它的底边为4或6。
解析
【分析】
已知等腰三角形的周长和其中一边长，首先明确等腰三角形的边分为腰和底边两类，题目未说明边长为4的边是腰还是底边，因此需要分两种情况讨论。先分别假设4为腰、4为底边，计算出对应的底边长，再根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证计算结果是否符合构成三角形的条件，最终确定符合要求的底边长。
【解析】
解：分两种情况讨论：
（1）当长为4的边为等腰三角形的腰时，
底边长为 $14 - 4×2 = 6$，
此时三边长为4，4，6，满足 $4+4＞6$，符合三角形三边关系；
（2）当长为4的边为等腰三角形的底边时，
腰长为 $\frac{14-4}{2}=5$，
此时三边长为5，5，4，满足 $5+4＞5$，符合三角形三边关系。
综上，它的底边为4或6。
【答案】
4或6
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题重点考查分类讨论思想在等腰三角形边长计算中的应用，易错点是忽略对已知边长所属类型的分类，或计算后未验证三边是否满足三角形的构成条件，导致漏解或错解。
【难度系数】
0.7
已知等腰三角形的周长和其中一边长，首先明确等腰三角形的边分为腰和底边两类，题目未说明边长为4的边是腰还是底边，因此需要分两种情况讨论。先分别假设4为腰、4为底边，计算出对应的底边长，再根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证计算结果是否符合构成三角形的条件，最终确定符合要求的底边长。
【解析】
解：分两种情况讨论：
（1）当长为4的边为等腰三角形的腰时，
底边长为 $14 - 4×2 = 6$，
此时三边长为4，4，6，满足 $4+4＞6$，符合三角形三边关系；
（2）当长为4的边为等腰三角形的底边时，
腰长为 $\frac{14-4}{2}=5$，
此时三边长为5，5，4，满足 $5+4＞5$，符合三角形三边关系。
综上，它的底边为4或6。
【答案】
4或6
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题重点考查分类讨论思想在等腰三角形边长计算中的应用，易错点是忽略对已知边长所属类型的分类，或计算后未验证三边是否满足三角形的构成条件，导致漏解或错解。
【难度系数】
0.7
2. 如图2,在△ABC中,点D是BC上一点,∠BAD=80°,AB=AD=DC,则∠C=. 
答案
$\boldsymbol{25°}$
解析
【分析】
解题时先观察图形中的等腰三角形，由AB=AD可知△ABD为等腰三角形，先根据三角形内角和求出∠ADB的度数；再由AD=DC可知△ADC为等腰三角形，结合“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”的性质，建立∠ADB和∠C的数量关系，进而求出∠C的大小。
【解析】
解：
∵AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形，∠B=∠ADB。
在△ABD中，∠BAD=80°，根据三角形内角和为180°，
∴$∠ ADB=\frac{180°-∠ BAD}{2}=\frac{180°-80°}{2}=50°$。
∵AD=DC，
∴△ADC是等腰三角形，∠C=∠DAC。
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴$∠ ADB=∠ C+∠ DAC=2∠ C$，
∴$∠ C=\frac{∠ ADB}{2}=\frac{50°}{2}=25°$。
【答案】
$\boldsymbol{25°}$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质与三角形角度计算的综合题，解题的关键是准确识别等腰三角形，利用等边对等角的性质结合内角和、外角性质推导角度关系，是等腰三角形章节的基础典型题。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形中的等腰三角形，由AB=AD可知△ABD为等腰三角形，先根据三角形内角和求出∠ADB的度数；再由AD=DC可知△ADC为等腰三角形，结合“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”的性质，建立∠ADB和∠C的数量关系，进而求出∠C的大小。
【解析】
解：
∵AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形，∠B=∠ADB。
在△ABD中，∠BAD=80°，根据三角形内角和为180°，
∴$∠ ADB=\frac{180°-∠ BAD}{2}=\frac{180°-80°}{2}=50°$。
∵AD=DC，
∴△ADC是等腰三角形，∠C=∠DAC。
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴$∠ ADB=∠ C+∠ DAC=2∠ C$，
∴$∠ C=\frac{∠ ADB}{2}=\frac{50°}{2}=25°$。
【答案】
$\boldsymbol{25°}$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质与三角形角度计算的综合题，解题的关键是准确识别等腰三角形，利用等边对等角的性质结合内角和、外角性质推导角度关系，是等腰三角形章节的基础典型题。
【难度系数】
0.7
3*.如图3,已知等边三角形ABC中,BD=CE,AD与BE交于点P,则∠APE的度数是.
答案
$\boldsymbol{60°}$
解析
【分析】
首先回忆等边三角形的性质：等边三角形三边相等，三个内角均为60°。结合已知条件BD=CE，可先证明△ABD和△BCE全等，得到对应角相等；再利用对顶角相等和三角形外角的性质，将所求的∠APE转化为等边三角形的内角，即可求出角度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
在△ABD和△BCE中：
$\begin{cases}AB=BC \\∠ ABD=∠ C \\BD=CE\end{cases}$
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE。
∵∠APE与∠BPD是对顶角，
∴∠APE=∠BPD。
又
∵∠BPD是△ABP的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠BPD=∠BAD+∠ABE，
将∠BAD替换为∠CBE，可得：
∠BPD=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°，
∴∠APE=60°。
【答案】
$\boldsymbol{60°}$
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形结合的典型题型，解题的核心是通过全等三角形实现角的等量代换，再结合外角性质将未知角转化为已知的等边三角形内角，整体解题思路清晰，注重基础性质的综合运用。
【难度系数】
0.7
首先回忆等边三角形的性质：等边三角形三边相等，三个内角均为60°。结合已知条件BD=CE，可先证明△ABD和△BCE全等，得到对应角相等；再利用对顶角相等和三角形外角的性质，将所求的∠APE转化为等边三角形的内角，即可求出角度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
在△ABD和△BCE中：
$\begin{cases}AB=BC \\∠ ABD=∠ C \\BD=CE\end{cases}$
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE。
∵∠APE与∠BPD是对顶角，
∴∠APE=∠BPD。
又
∵∠BPD是△ABP的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠BPD=∠BAD+∠ABE，
将∠BAD替换为∠CBE，可得：
∠BPD=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°，
∴∠APE=60°。
【答案】
$\boldsymbol{60°}$
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形结合的典型题型，解题的核心是通过全等三角形实现角的等量代换，再结合外角性质将未知角转化为已知的等边三角形内角，整体解题思路清晰，注重基础性质的综合运用。
【难度系数】
0.7
三、解答题
1. 如图4,已知AB=AC,AD=AE. 求证:BD=CE.
1. 如图4,已知AB=AC,AD=AE. 求证:BD=CE.
答案
证明：
过点A作AF⊥BC，垂足为点F。
∵ AB=AC，AF⊥BC，
∴ BF=CF（等腰三角形底边上的高平分底边）。
∵ AD=AE，AF⊥DE，
∴ DF=EF（等腰三角形底边上的高平分底边）。
∴ BF - DF = CF - EF，
即 BD=CE。
过点A作AF⊥BC，垂足为点F。
∵ AB=AC，AF⊥BC，
∴ BF=CF（等腰三角形底边上的高平分底边）。
∵ AD=AE，AF⊥DE，
∴ DF=EF（等腰三角形底边上的高平分底边）。
∴ BF - DF = CF - EF，
即 BD=CE。
解析
【分析】
要证明BD=CE，观察图形可得BD=BF-DF，CE=CF-EF，只需证得BF=CF且DF=EF，将两式相减即可得到结论。已知AB=AC、AD=AE，说明△ABC和△ADE均为等腰三角形，结合等腰三角形“三线合一”的性质，可过点A作BC的垂线AF，该垂线同时是两个等腰三角形底边上的中线，即可得到BF=CF、DF=EF，进而推导得到BD=CE。
【解析】
证明：过点A作AF⊥BC，垂足为点F。
∵ AB=AC，AF⊥BC，
∴ BF=CF（等腰三角形底边上的高平分底边）。
∵ AD=AE，AF⊥DE，
∴ DF=EF（等腰三角形底边上的高平分底边）。
∴ BF - DF = CF - EF，
即 BD=CE。
【答案】
BD=CE
【知识点】
等腰三角形三线合一；等式的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，通过构造底边上的高作为辅助线，利用三线合一得到相等线段，再结合等式的运算即可得出结论，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质并灵活运用辅助线简化证明过程。
【难度系数】
0.8
要证明BD=CE，观察图形可得BD=BF-DF，CE=CF-EF，只需证得BF=CF且DF=EF，将两式相减即可得到结论。已知AB=AC、AD=AE，说明△ABC和△ADE均为等腰三角形，结合等腰三角形“三线合一”的性质，可过点A作BC的垂线AF，该垂线同时是两个等腰三角形底边上的中线，即可得到BF=CF、DF=EF，进而推导得到BD=CE。
【解析】
证明：过点A作AF⊥BC，垂足为点F。
∵ AB=AC，AF⊥BC，
∴ BF=CF（等腰三角形底边上的高平分底边）。
∵ AD=AE，AF⊥DE，
∴ DF=EF（等腰三角形底边上的高平分底边）。
∴ BF - DF = CF - EF，
即 BD=CE。
【答案】
BD=CE
【知识点】
等腰三角形三线合一；等式的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，通过构造底边上的高作为辅助线，利用三线合一得到相等线段，再结合等式的运算即可得出结论，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质并灵活运用辅助线简化证明过程。
【难度系数】
0.8
