三、解答题
1. 如图8，$AB// FC$，D是AB上一点，DF交AC于点E，$DE=FE$，分别延长FD和CB交于点G。
求证:$AD=CF$.

证明：
∵ $AB// FC$，
∴ $∠ ADE = ∠ F$，
在$△ ADE$和$△ CFE$中，
$\begin{cases}∠ ADE = ∠ F \\DE = FE \\∠ AED = ∠ CEF\end{cases}$
∴ $△ ADE ≌ △ CFE$（ASA），
∴ $AD = CF$。

【分析】
要证明两条线段相等，常用方法是证明这两条线段所在的三角形全等。本题中AD属于△ADE，CF属于△CFE，我们只需证明这两个三角形全等即可。首先由AB平行FC，可得到一组内错角相等；题目已经给出DE=FE，再加上一组对顶角相等，刚好满足角边角（ASA）的全等判定条件，证完全等后根据全等三角形对应边相等就能得到AD=CF。
【解析】
证明：
∵ $AB// FC$，
∴ $∠ ADE = ∠ F$（两直线平行，内错角相等），
在$△ ADE$和$△ CFE$中，
$\begin{cases}∠ ADE = ∠ F \\DE = FE \\∠ AED = ∠ CEF（对顶角相等）\end{cases}$
∴ $△ ADE ≌ △ CFE$（ASA），
∴ $AD = CF$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
证明：
∵ $AB// FC$，
∴ $∠ ADE = ∠ F$，
在$△ ADE$和$△ CFE$中，
$\begin{cases}∠ ADE = ∠ F \\DE = FE \\∠ AED = ∠ CEF\end{cases}$
∴ $△ ADE ≌ △ CFE$（ASA），
∴ $AD = CF$。
【知识点】
平行线的性质；ASA判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题属于三角形全等的基础应用类题目，核心考察全等判定条件的掌握和应用能力，解题时要先明确待证边对应的三角形，再逐一梳理全等所需的条件即可完成证明。
【难度系数】
0.8

2. 学习“全等三角形的判定”后，同学们对以下基本尺规作图进行梳理和应用.
(1)作一条线段等于已知线段.
(2)作已知角的平分线.
(3)作一个角等于已知角.
(4)过直线外一点作这条直线的垂线.
(5)作已知线段的垂直平分线.
【作法回顾】“过直线外一点作这条直线的垂线”的作法如图9,请在横线上填上合适的内容.
已知:直线AB及AB外一点C.
求作:过点C作直线AB的垂线.
作法:(1)以点C为圆心、适当长(大于点C到的距离)为半径作弧,交直线AB于M、N两点;
(2)分别以点M、N为圆心,相同长(大于长的一半)为半径作弧,两弧相交于点P;
(3)作直线CP.
直线CP就是所求作的垂线.
【推理验证】根据上述尺规作图的作法,证明直线$CP⊥ AB$.
【创新应用】农历三月三是海南黎族、苗族的传统节日,是国家级非物质文化遗产,承载着祭祀先祖、祈福纳祥、歌颂爱情、民族团结文化内涵.请结合“海南三月三文化元素”(如黎锦纹样、大力神图腾、船型屋等),从五种基本作图中选择合适的作图,构造一幅三月三主题几何图案.

【作法回顾】
(1) $\boldsymbol{直线AB}$
(2) $\boldsymbol{线段MN}$
---
【推理验证】
证明：连接$CM$、$CN$、$PM$、$PN$，设直线$CP$交$AB$于点$O$。
由作图作法可知：$CM=CN$，$PM=PN$。
在$△ CMP$和$△ CNP$中，
$\begin{cases}CM = CN \\PM = PN \\CP = CP\end{cases}$
$\therefore △ CMP ≌ △ CNP \ (\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ MCP = ∠ NCP$
在$△ CMO$和$△ CNO$中，
$\begin{cases}CM = CN \\∠ MCO = ∠ NCO \\CO = CO\end{cases}$
$\therefore △ CMO ≌ △ CNO \ (\mathrm{SAS})$
$\therefore ∠ COM = ∠ CON$
又$\because ∠ COM + ∠ CON = 180°$
$\therefore ∠ COM = ∠ CON = 90°$
即$CP ⊥ AB$。
---
【创新应用】
构造示例：选用作已知线段的垂直平分线、作一个角等于已知角的基本作图。先作水平线段$AB$，作线段$AB$的垂直平分线，在垂直平分线上取点$E$，连接$AE$、$BE$得到等腰三角形，作为船型屋的屋顶轮廓；再在等腰三角形内部，以$AE$、$BE$为边分别作多组对称的相等小角，组成对称的黎锦纹样，最终得到融合船型屋与黎锦元素的三月三主题几何图案。

【分析】
1. 作法回顾部分思路：① 要让以点C为圆心的弧和直线AB有两个交点M、N，半径必须大于点C到直线AB的距离，否则弧和AB没有交点或只有1个交点；② 要让分别以M、N为圆心的两弧存在交点P，选取的半径必须大于线段MN长度的一半，否则两弧无法相交。
2. 推理验证部分思路：要证明CP⊥AB，本质是证CP和AB的夹角为90°。首先根据作图过程得到相等的边，先用SSS判定△CMP和△CNP全等，得到CP是∠MCN的角平分线，再用SAS判定△CMO和△CNO全等，推出∠COM=∠CON，结合这两个角是邻补角，和为180°，即可推出每个角为90°，得到垂直关系。
3. 创新应用为开放题型，结合三月三的文化元素，合理选用题干给出的5种基本作图构造主题图案即可。
【解析】
作法回顾
(1) 要使弧与AB有两个交点，半径需大于点C到直线AB的距离；
(2) 要使分别以M、N为圆心的两弧相交，半径需大于线段MN长的一半。
推理验证
证明：连接$CM$、$CN$、$PM$、$PN$，设直线$CP$交$AB$于点$O$。
由作图作法可知：$CM=CN$，$PM=PN$。
在$△ CMP$和$△ CNP$中，
$\begin{cases}CM = CN \\PM = PN \\CP = CP\end{cases}$
$\therefore △ CMP ≌ △ CNP \ (\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ MCP = ∠ NCP$
在$△ CMO$和$△ CNO$中，
$\begin{cases}CM = CN \\∠ MCO = ∠ NCO \\CO = CO\end{cases}$
$\therefore △ CMO ≌ △ CNO \ (\mathrm{SAS})$
$\therefore ∠ COM = ∠ CON$
又$\because ∠ COM + ∠ CON = 180°$
$\therefore ∠ COM = ∠ CON = 90°$
即$CP ⊥ AB$。
创新应用
构造示例：选用作已知线段的垂直平分线、作一个角等于已知角的基本作图。先作水平线段$AB$，作线段$AB$的垂直平分线，在垂直平分线上取点$E$，连接$AE$、$BE$得到等腰三角形，作为船型屋的屋顶轮廓；再在等腰三角形内部，以$AE$、$BE$为边分别作多组对称的相等小角，组成对称的黎锦纹样，最终得到融合船型屋与黎锦元素的三月三主题几何图案。（合理即可）
【答案】
【作法回顾】(1) $\boldsymbol{直线AB}$；(2) $\boldsymbol{线段MN}$
【推理验证】证明过程见上述解析，可证$CP⊥AB$
【创新应用】上述构造示例（答案不唯一，符合要求即可）
【知识点】
尺规作图；全等三角形判定与性质；垂直的判定
【点评】
本题结合传统文化场景，同时考查了尺规作图的操作原理、全等三角形的证明逻辑，以及开放创新设计能力，既落实了基础知识点的考查，又贴合生活文化实际，兼顾知识性与趣味性。
【难度系数】
0.7