7. 如图，AB是$\odot O$的直径，M，N分别是AO，BO的中点，$CM⊥ AB$，$DN⊥ AB$。
求证：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。

7.证明:连接OC,OD,如答图.

∵AB是$\odot O$的直径,M,N分别是AO,BO的中点,
∴OM=ON.
∵$CM⊥AB,DN⊥AB$,
∴$∠OMC=∠OND=90°$.
在$Rt△OMC$和$Rt△OND$中,$\begin{cases} OM=ON, \\ OC=OD, \end{cases}$
∴$Rt△OMC≌Rt△OND(HL)$,
∴$∠COM=∠DON$,$\therefore\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$.

【分析】
要证明$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，根据同圆中相等的圆心角对应相等的弧的性质，可转化为证明两段弧对应的圆心角$∠ AOC$和$∠ BOD$相等。我们可以通过连接OC、OD构造直角三角形，结合已知的中点、垂直的条件，证明两个直角三角形全等，得到对应圆心角相等，即可推出弧相等。
【解析】
1. 作辅助线：连接OC、OD，OC、OD均为$\odot O$的半径，故$OC=OD$。
2. 推导$OM=ON$：因为AB是$\odot O$的直径，所以$OA=OB$，又M、N分别是AO、BO的中点，因此$OM=\frac{1}{2}OA$，$ON=\frac{1}{2}OB$，可得$OM=ON$。
3. 确定直角：由$CM⊥ AB$，$DN⊥ AB$，得$∠ OMC=∠ OND=90°$，$△ OMC$和$△ OND$都是直角三角形。
4. 证明三角形全等：在$Rt△ OMC$和$Rt△ OND$中，$\begin{cases} OM=ON \\ OC=OD \end{cases}$，根据HL判定定理，可得$Rt△ OMC≌ Rt△ OND$。
5. 推导弧相等：由全等得$∠ COM=∠ DON$，即两段弧对应的圆心角相等，根据同圆中圆心角相等则对应弧相等，可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
【答案】
证明:连接OC,OD,如答图.

∵AB是$\odot O$的直径,M,N分别是AO,BO的中点,
∴OM=ON.
∵$CM⊥AB,DN⊥AB$,
∴$∠OMC=∠OND=90°$.
在$Rt△OMC$和$Rt△OND$中,$\begin{cases} OM=ON, \\ OC=OD, \end{cases}$
∴$Rt△OMC≌Rt△OND(HL)$,
∴$∠COM=∠DON$,$\therefore\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$.
【知识点】
圆心角与弧的关系、HL判定全等、圆的半径性质
【点评】
本题属于圆的基础证明题型，解题核心是掌握同圆内圆心角和弧的对应关系，通过构造半径作为辅助线，结合直角三角形全等的判定即可完成证明，是对圆基础性质和全等判定的综合考察，解题思路清晰常规。
【难度系数】
0.75

8.(2025·苏州期末)如图,在△ABC中,AB=AC,以腰AB为直径作半圆O,分别交BC,AC于点D,E.
(1)求证:BD=DC;
(2)若∠BAC=40°,求$\overset{\frown}{DE}$所对的圆心角的度数.

8.(1)证明:如答图,连接AD,
∵AB是半圆O的直径,
∴$∠ADB=90°$,$\therefore AD⊥BC$.
又
∵AB=AC,
∴BD=DC.
(2)解:如答图,连接OD,OE,
∵AB=AC,$AD⊥BC$,$∠BAC=40°$,
∴$∠BAD=∠CAD=\frac{1}{2}∠BAC=20°$,
∴$∠DOE=2∠DAC=40°$,
$\therefore\overset{\frown}{DE}$所对的圆心角的度数为$40°$.

【分析】
（1）要证明BD=DC，已知△ABC中AB=AC，属于等腰三角形，可联想到等腰三角形“三线合一”的性质，只需证明底边BC上的高AD存在即可。已知AB是半圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，连接AD即可得到∠ADB=90°，即AD⊥BC，结合等腰三角形性质即可得证。
（2）要求$\overset{\frown}{DE}$所对的圆心角的度数，首先连接OD、OE得到圆心角∠DOE，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，只需先求出$\overset{\frown}{DE}$所对的圆周角∠DAE的度数。结合等腰三角形三线合一的性质，AD平分顶角∠BAC，代入已知∠BAC=40°即可算出∠DAE，进而求出圆心角的度数。
【解析】
(1) 证明：如答图，连接AD，
∵AB是半圆O的直径，
∴$∠ ADB=90°$，即$AD⊥ BC$。
又
∵AB=AC，△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴BD=DC。
(2) 解：如答图，连接OD，OE，
∵AB=AC，$AD⊥ BC$，$∠ BAC=40°$，
∴AD平分∠BAC，即$∠ BAD=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=20°$。
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$\overset{\frown}{DE}$所对的圆周角为∠DAC，
∴$∠ DOE=2∠ DAC=40°$，
即$\overset{\frown}{DE}$所对的圆心角的度数为$40°$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $\overset{\frown}{DE}$所对的圆心角的度数为$\boxed{40°}$。

【知识点】
直径所对圆周角性质、等腰三角形三线合一、圆周角定理
【点评】
本题是圆与等腰三角形性质的综合基础题，解题关键是根据已知条件和待求结论合理添加辅助线，利用圆周角相关性质完成角度和线段关系的转化，掌握基础定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

9. 如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，$∠ ABC＞90°$，$∠ BAC$处的外角$∠ EAC$的平分线交$\odot O$于点$D$，连接$DB$，$DC$，$DB$交$AC$于点$F$.
(1)若$∠ EAD=75°$，求$\overset{\frown}{BC}$的度数；
(2)求证：$DB=DC$；
(3)若$DA=DF$，$∠ ABC=α$，求$∠ DFC$的度数.(用含$α$的代数式表示)

9.(1)解:
∵$∠EAD=75°$,AD平分$∠EAC$,
∴$∠EAC=2∠EAD=150°$,
∴$∠BAC=180°-∠EAC=30°$,
$\therefore\overset{\frown}{BC}$的度数为$30°×2=60°$.
(2)证明:
∵四边形ABCD内接于$\odot O$,
∴$∠BCD+∠BAD=180°$.
∵$∠DAB+∠EAD=180°$,$\therefore∠EAD=∠BCD$.
∵AD平分$∠EAC$,$\therefore∠EAD=∠DAC$,$\therefore∠CAD=∠BCD$.
∵$∠CAD=∠CBD$,$\therefore∠BCD=∠CBD$,$\therefore DB=DC$.
(3)解:
∵$DA=DF$,$\therefore∠DAF=∠DFA$.
由(2)知$∠DBC=∠DCB$,
∴$∠DAF=∠DFA=∠CBD=∠BCD$,
∴$∠ADF=∠BDC$.
∵$∠ABC=α$,$\therefore∠ADC=180°-α$,
∴$∠ADF=\frac{1}{2}∠ADC=90°-\frac{α}{2}$,
∴$∠DAF=∠DFA=(180°-∠ADF)÷2=45°+\frac{α}{4}$,
∴$∠DFC=180°-∠DFA=135°-\frac{α}{4}$.

【分析】
(1) 要求$\overset{\frown}{BC}$的度数，根据圆周角定理，弧的度数等于其所对圆周角度数的2倍，因此先通过角平分线定义求出$∠ EAC$，再利用邻补角关系求出$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角$∠ BAC$，即可计算弧的度数。
(2) 要证$DB=DC$，只需证明$∠ DBC=∠ DCB$：先利用圆内接四边形的性质得$∠ EAD=∠ BCD$，结合角平分线得$∠ EAD=∠ DAC$，再根据同弧所对圆周角相等得$∠ DAC=∠ DBC$，等量代换即可得到等角，从而证得结论。
(3) 已知$DA=DF$，可得$∠ DAF=∠ DFA$，结合(2)的结论找到角的等量关系，推出$∠ ADF=∠ BDC$，再利用圆内接四边形对角互补求出$∠ ADC$，进而求出$∠ DFA$，最后根据邻补角关系计算$∠ DFC$即可。
【解析】
(1) 解：
$\because ∠ EAD=75°$，$AD$平分$∠ EAC$，
$\therefore ∠ EAC=2∠ EAD=150°$，
$\therefore ∠ BAC=180°-∠ EAC=30°$，
$\because$弧的度数是其所对圆周角的2倍，$∠ BAC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
$\therefore \overset{\frown}{BC}$的度数为$30°×2=60°$。
(2) 证明：
$\because$四边形$ABCD$内接于$\odot O$，
$\therefore ∠ BCD+∠ BAD=180°$，
$\because ∠ DAB+∠ EAD=180°$，
$\therefore ∠ EAD=∠ BCD$，
$\because AD$平分$∠ EAC$，
$\therefore ∠ EAD=∠ DAC$，
$\therefore ∠ CAD=∠ BCD$，
$\because ∠ CAD$和$∠ CBD$都是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，
$\therefore ∠ CAD=∠ CBD$，
$\therefore ∠ BCD=∠ CBD$，
$\therefore DB=DC$。
(3) 解：
$\because DA=DF$，
$\therefore ∠ DAF=∠ DFA$，
由(2)知$∠ DBC=∠ DCB$，
又$\because ∠ DAF=∠ CBD$，
$\therefore ∠ DAF=∠ DFA=∠ CBD=∠ BCD$，
$\therefore ∠ ADF=180°-2∠ DAF$，$∠ BDC=180°-2∠ BCD$，即$∠ ADF=∠ BDC$，
$\because$四边形$ABCD$内接于$\odot O$，$∠ ABC=α$，
$\therefore ∠ ADC=180°-∠ ABC=180°-α$，
$\therefore ∠ ADF=\frac{1}{2}∠ ADC=\frac{1}{2}(180°-α)=90°-\frac{α}{2}$，
在$△ ADF$中，$∠ DAF=∠ DFA=(180°-∠ ADF)÷2=(180°-90°+\frac{α}{2})÷2=45°+\frac{α}{4}$，
$\because ∠ DFC+∠ DFA=180°$，
$\therefore ∠ DFC=180°-(45°+\frac{α}{4})=135°-\frac{α}{4}$。
【答案】
(1) $\overset{\frown}{BC}$的度数为$\boxed{60°}$；
(2) 证明见解析；
(3) $∠ DFC$的度数为$\boxed{135°-\dfrac{α}{4}}$。
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的典型综合题，围绕圆中角的等量关系展开考查，解题核心是灵活运用圆周角定理、圆内接四边形性质完成角的等量代换，既有基础的角度计算，也有逻辑推导的综合应用，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.65