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1. 计算:
(1)$\frac{2x}{x+1}+\frac{1-x}{x+1}=$ ;
(2)$\frac{x^2+2x+1}{x+1}-\frac{x^2+x}{x}=$ .
(1)$\frac{2x}{x+1}+\frac{1-x}{x+1}=$ ;
(2)$\frac{x^2+2x+1}{x+1}-\frac{x^2+x}{x}=$ .
答案
解：
(1) 原式$=\frac{2x + 1 - x}{x+1}$
$=\frac{x+1}{x+1}$
$=1$
(2) 原式$=\frac{(x+1)^2}{x+1} - \frac{x(x+1)}{x}$
$=(x+1) - (x+1)$
$=0$
(1) 原式$=\frac{2x + 1 - x}{x+1}$
$=\frac{x+1}{x+1}$
$=1$
(2) 原式$=\frac{(x+1)^2}{x+1} - \frac{x(x+1)}{x}$
$=(x+1) - (x+1)$
$=0$
解析
【分析】
(1) 本题考查同分母分式的加法运算，按照同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减，先合并分子，再约分即可得到结果。
(2) 先观察两个分式的特点，分子均可因式分解，先对分子因式分解后约分，将分式转化为整式再做减法，可简化计算过程，无需通分。
【解析】
(1) 原式根据同分母分式加法法则计算：
$=\frac{2x + 1 - x}{x+1}$
$=\frac{x+1}{x+1}$
$=1$
(2) 先因式分解分子再约分计算：
$=\frac{(x+1)^2}{x+1} - \frac{x(x+1)}{x}$
$=(x+1) - (x+1)$
$=0$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{0}$
【知识点】
同分母分式加减法，分式约分，因式分解
【点评】
本题是分式加减的基础题型，解题时优先判断分式是否可约分，能约分的先约分可降低计算难度，计算最终结果需化为最简分式或整式，熟练掌握分式运算规则和因式分解方法是解题的核心。
【难度系数】
0.85
(1) 本题考查同分母分式的加法运算，按照同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减，先合并分子，再约分即可得到结果。
(2) 先观察两个分式的特点，分子均可因式分解，先对分子因式分解后约分，将分式转化为整式再做减法，可简化计算过程，无需通分。
【解析】
(1) 原式根据同分母分式加法法则计算：
$=\frac{2x + 1 - x}{x+1}$
$=\frac{x+1}{x+1}$
$=1$
(2) 先因式分解分子再约分计算：
$=\frac{(x+1)^2}{x+1} - \frac{x(x+1)}{x}$
$=(x+1) - (x+1)$
$=0$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{0}$
【知识点】
同分母分式加减法，分式约分，因式分解
【点评】
本题是分式加减的基础题型，解题时优先判断分式是否可约分，能约分的先约分可降低计算难度，计算最终结果需化为最简分式或整式，熟练掌握分式运算规则和因式分解方法是解题的核心。
【难度系数】
0.85
2. 计算：$\frac{1}{x^2 yz} - \frac{2}{xy^2 z} + \frac{3}{xyz^2} = \_\_\_\_\_\_$。
答案
解：
最简公分母为$x^2y^2z^2$，
$\begin{aligned}原式&=\frac{yz}{x^2y^2z^2} - \frac{2xz}{x^2y^2z^2} + \frac{3xy}{x^2y^2z^2}\\&=\frac{yz - 2xz + 3xy}{x^2y^2z^2}\end{aligned}$
最终结果：$\frac{3xy + yz - 2xz}{x^2y^2z^2}$
最简公分母为$x^2y^2z^2$，
$\begin{aligned}原式&=\frac{yz}{x^2y^2z^2} - \frac{2xz}{x^2y^2z^2} + \frac{3xy}{x^2y^2z^2}\\&=\frac{yz - 2xz + 3xy}{x^2y^2z^2}\end{aligned}$
最终结果：$\frac{3xy + yz - 2xz}{x^2y^2z^2}$
解析
【分析】这是异分母分式的加减运算，解题思路如下：首先观察三个分式的分母$x^2yz$、$xy^2z$、$xyz^2$，取各分母所含字母的最高次幂相乘，确定最简公分母为$x^2y^2z^2$；再将三个分式通分为分母是$x^2y^2z^2$的同分母分式；最后按照同分母分式加减法法则，分母不变，分子相加减，检查结果无公因式可约即为最终结果。
【解析】首先确定最简公分母为$x^2y^2z^2$，对原式通分计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1· yz}{x^2yz· yz} - \frac{2· xz}{xy^2z· xz} + \frac{3· xy}{xyz^2· xy}\\&=\frac{yz}{x^2y^2z^2} - \frac{2xz}{x^2y^2z^2} + \frac{3xy}{x^2y^2z^2}\\&=\frac{yz - 2xz + 3xy}{x^2y^2z^2}\end{aligned}$
【答案】$\frac{3xy + yz - 2xz}{x^2y^2z^2}$
【知识点】异分母分式加减，通分，最简公分母
【点评】本题是分式加减运算的基础题，重点考察最简公分母的确定方法和通分规则，计算时需注意分子的对应运算和符号，避免粗心出错。
【难度系数】0.8
【解析】首先确定最简公分母为$x^2y^2z^2$，对原式通分计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1· yz}{x^2yz· yz} - \frac{2· xz}{xy^2z· xz} + \frac{3· xy}{xyz^2· xy}\\&=\frac{yz}{x^2y^2z^2} - \frac{2xz}{x^2y^2z^2} + \frac{3xy}{x^2y^2z^2}\\&=\frac{yz - 2xz + 3xy}{x^2y^2z^2}\end{aligned}$
【答案】$\frac{3xy + yz - 2xz}{x^2y^2z^2}$
【知识点】异分母分式加减，通分，最简公分母
【点评】本题是分式加减运算的基础题，重点考察最简公分母的确定方法和通分规则，计算时需注意分子的对应运算和符号，避免粗心出错。
【难度系数】0.8
3. 已知$\frac{4}{x(x^2+4)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+4}$，则$A=$，$B=$，$C=$。
答案
$\boldsymbol{A=1}$，$\boldsymbol{B=-1}$，$\boldsymbol{C=0}$
解析
【分析】
这是分式恒等变形类题目，解题思路如下：首先将等式右侧的两个分式通分，使通分后的分母和左侧分式的分母一致；根据两个分母相同的分式相等时分子一定相等的性质，将右侧分子展开并合并同类项；再令右侧分子和左侧分子的同类项系数对应相等，列出关于A、B、C的方程，依次求解即可得到三个参数的值。
【解析】
解：对等式右侧的两个分式通分，可得：
$\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+4}=\frac{A(x^2+4)+(Bx+C)· x}{x(x^2+4)}$
已知等式左右两边分式相等，且分母均为$x(x^2+4)$，因此分子相等，即：
$A(x^2+4)+(Bx+C)x=4$
将左侧式子展开并合并同类项：
$Ax^2+4A+Bx^2+Cx=4$
整理得：$(A+B)x^2 + Cx + 4A = 0x^2 + 0x + 4$
根据多项式相等时同类项系数对应相等，可列方程组：
$\begin{cases}4A=4 \\C=0 \\A+B=0\end{cases}$
解$4A=4$，得$A=1$；
将$A=1$代入$A+B=0$，得$1+B=0$，解得$B=-1$；
直接得$C=0$。
【答案】
$A=1$，$B=-1$，$C=0$
【知识点】
分式通分运算，多项式相等的条件，解一元一次方程
【点评】
本题是分式运算的基础典型题，解题核心是将分式相等的问题转化为多项式恒等问题，通过对应系数相等建立方程求解参数，能够很好地考查学生对分式加减运算和多项式性质的掌握情况。
【难度系数】
0.7
这是分式恒等变形类题目，解题思路如下：首先将等式右侧的两个分式通分，使通分后的分母和左侧分式的分母一致；根据两个分母相同的分式相等时分子一定相等的性质，将右侧分子展开并合并同类项；再令右侧分子和左侧分子的同类项系数对应相等，列出关于A、B、C的方程，依次求解即可得到三个参数的值。
【解析】
解：对等式右侧的两个分式通分，可得：
$\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+4}=\frac{A(x^2+4)+(Bx+C)· x}{x(x^2+4)}$
已知等式左右两边分式相等，且分母均为$x(x^2+4)$，因此分子相等，即：
$A(x^2+4)+(Bx+C)x=4$
将左侧式子展开并合并同类项：
$Ax^2+4A+Bx^2+Cx=4$
整理得：$(A+B)x^2 + Cx + 4A = 0x^2 + 0x + 4$
根据多项式相等时同类项系数对应相等，可列方程组：
$\begin{cases}4A=4 \\C=0 \\A+B=0\end{cases}$
解$4A=4$，得$A=1$；
将$A=1$代入$A+B=0$，得$1+B=0$，解得$B=-1$；
直接得$C=0$。
【答案】
$A=1$，$B=-1$，$C=0$
【知识点】
分式通分运算，多项式相等的条件，解一元一次方程
【点评】
本题是分式运算的基础典型题，解题核心是将分式相等的问题转化为多项式恒等问题，通过对应系数相等建立方程求解参数，能够很好地考查学生对分式加减运算和多项式性质的掌握情况。
【难度系数】
0.7
4.若$a^2 +5ab -b^2=0$，则$\frac{a}{b}-\frac{b}{a}$的值为。
答案
$\boldsymbol{-5}$
解析
【分析】
解题时先观察所求代数式的形式，它是两个分式的差，第一步优先对其通分化简，可得到分子为$a^2-b^2$、分母为$ab$的形式；再结合已知等式$a^2 +5ab -b^2=0$，通过移项就能得到$a^2-b^2$的表达式，将其整体代入化简后的代数式，约分后即可算出结果，注意本题隐含$a≠0$、$b≠0$的条件，否则分式无意义。
【解析】
解：由分式有意义的条件可得$a≠0$，$b≠0$，因此$ab≠0$。
先化简所求代数式：
$\frac{a}{b}-\frac{b}{a}=\frac{a^2}{ab}-\frac{b^2}{ab}=\frac{a^2 - b^2}{ab}$
已知$a^2 +5ab -b^2=0$，移项得：$a^2 - b^2 = -5ab$
将$a^2 - b^2 = -5ab$代入化简后的式子：
$\frac{a^2 - b^2}{ab}=\frac{-5ab}{ab}=-5$
【答案】
$\boldsymbol{-5}$
【知识点】
分式的加减运算、整体代入求值、等式的基本性质
【点评】
本题不需要单独求解$a$、$b$的具体值，解题关键是先对所求分式通分化简，再变形已知等式得到和所求式子相关的表达式，利用整体代入的思想简化计算，避免了复杂的求值步骤。
【难度系数】
0.7
解题时先观察所求代数式的形式，它是两个分式的差，第一步优先对其通分化简，可得到分子为$a^2-b^2$、分母为$ab$的形式；再结合已知等式$a^2 +5ab -b^2=0$，通过移项就能得到$a^2-b^2$的表达式，将其整体代入化简后的代数式，约分后即可算出结果，注意本题隐含$a≠0$、$b≠0$的条件，否则分式无意义。
【解析】
解：由分式有意义的条件可得$a≠0$，$b≠0$，因此$ab≠0$。
先化简所求代数式：
$\frac{a}{b}-\frac{b}{a}=\frac{a^2}{ab}-\frac{b^2}{ab}=\frac{a^2 - b^2}{ab}$
已知$a^2 +5ab -b^2=0$，移项得：$a^2 - b^2 = -5ab$
将$a^2 - b^2 = -5ab$代入化简后的式子：
$\frac{a^2 - b^2}{ab}=\frac{-5ab}{ab}=-5$
【答案】
$\boldsymbol{-5}$
【知识点】
分式的加减运算、整体代入求值、等式的基本性质
【点评】
本题不需要单独求解$a$、$b$的具体值，解题关键是先对所求分式通分化简，再变形已知等式得到和所求式子相关的表达式，利用整体代入的思想简化计算，避免了复杂的求值步骤。
【难度系数】
0.7
5.已知$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1$，且$a≠-b$，则$\frac{ab - a}{a + b}$的值为。
答案
解：
由$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1$，通分得：
$\frac{b + 2a}{ab}=1$
两边同乘$ab$，得：
$2a + b = ab$
将$ab=2a+b$代入$\frac{ab - a}{a + b}$：
$\frac{ab - a}{a + b}=\frac{2a + b - a}{a + b}=\frac{a + b}{a + b}$
因为$a≠ -b$，所以$a+b≠0$，约分可得原式$=1$。
由$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1$，通分得：
$\frac{b + 2a}{ab}=1$
两边同乘$ab$，得：
$2a + b = ab$
将$ab=2a+b$代入$\frac{ab - a}{a + b}$：
$\frac{ab - a}{a + b}=\frac{2a + b - a}{a + b}=\frac{a + b}{a + b}$
因为$a≠ -b$，所以$a+b≠0$，约分可得原式$=1$。
解析
【分析】
解题时先从已知的分式等式入手，利用分式通分的方法将等式变形，得到ab与a、b的数量关系，再将这个关系整体代入待求的分式中，对分子进行化简，最后结合题目给出的a≠-b的条件，确认分母不为0后约分即可得到结果。
【解析】
已知$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1$，先对左边通分：
$\frac{b + 2a}{ab}=1$
因为原式中a、b均为分母，所以$ab≠0$，两边同乘$ab$得：
$2a + b = ab$
将$ab=2a+b$代入$\frac{ab - a}{a + b}$中：
$\frac{ab - a}{a + b}=\frac{2a + b - a}{a + b}=\frac{a + b}{a + b}$
又因为$a≠ -b$，所以$a+b≠0$，约分可得原式$=1$。
【答案】
$1$
【知识点】
分式的基本性质；分式的加减运算；整体代入求值
【点评】
本题重点考查分式的相关运算及整体代入的数学思想，解题的核心是通过变形已知等式得到ab的表达式，再代入目标式化简，要注意分式约分的前提是分母不为0，题目给出的$a≠-b$是约分的重要依据。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的分式等式入手，利用分式通分的方法将等式变形，得到ab与a、b的数量关系，再将这个关系整体代入待求的分式中，对分子进行化简，最后结合题目给出的a≠-b的条件，确认分母不为0后约分即可得到结果。
【解析】
已知$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1$，先对左边通分：
$\frac{b + 2a}{ab}=1$
因为原式中a、b均为分母，所以$ab≠0$，两边同乘$ab$得：
$2a + b = ab$
将$ab=2a+b$代入$\frac{ab - a}{a + b}$中：
$\frac{ab - a}{a + b}=\frac{2a + b - a}{a + b}=\frac{a + b}{a + b}$
又因为$a≠ -b$，所以$a+b≠0$，约分可得原式$=1$。
【答案】
$1$
【知识点】
分式的基本性质；分式的加减运算；整体代入求值
【点评】
本题重点考查分式的相关运算及整体代入的数学思想，解题的核心是通过变形已知等式得到ab的表达式，再代入目标式化简，要注意分式约分的前提是分母不为0，题目给出的$a≠-b$是约分的重要依据。
【难度系数】
0.7
6.化简$\frac{a^2}{a - b} - \frac{b^2}{a - b}$的结果是（）
A.$a^2 - b^2$
B.$a + b$
C.$a - b$
D.1
A.$a^2 - b^2$
B.$a + b$
C.$a - b$
D.1
答案
B
解析
【分析】
本题是同分母分式的减法运算，解题思路如下：第一步，先观察两个分式的分母，发现分母均为$a-b$，符合同分母分式减法的运算条件；第二步，按照同分母分式减法法则：分母不变，分子相减，得到分子为$a^2 - b^2$；第三步，利用平方差公式对分子因式分解，再约去分子和分母的公因式，即可得到最简结果。
【解析】
解：两个分式为同分母分式，根据同分母分式减法法则计算：
$\frac{a^2}{a - b} - \frac{b^2}{a - b} = \frac{a^2 - b^2}{a - b}$
利用平方差公式分解分子：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，代入上式得：
原式$=\frac{(a + b)(a - b)}{a - b}$
由分式有意义的条件可知$a - b ≠ 0$，约去公因式$a - b$，得：
原式$=a + b$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.同分母分式加减法
2.平方差公式
3.分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查对同分母分式加减法则的掌握，以及运用平方差公式因式分解进行约分的能力，计算时注意结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.8
本题是同分母分式的减法运算，解题思路如下：第一步，先观察两个分式的分母，发现分母均为$a-b$，符合同分母分式减法的运算条件；第二步，按照同分母分式减法法则：分母不变，分子相减，得到分子为$a^2 - b^2$；第三步，利用平方差公式对分子因式分解，再约去分子和分母的公因式，即可得到最简结果。
【解析】
解：两个分式为同分母分式，根据同分母分式减法法则计算：
$\frac{a^2}{a - b} - \frac{b^2}{a - b} = \frac{a^2 - b^2}{a - b}$
利用平方差公式分解分子：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，代入上式得：
原式$=\frac{(a + b)(a - b)}{a - b}$
由分式有意义的条件可知$a - b ≠ 0$，约去公因式$a - b$，得：
原式$=a + b$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.同分母分式加减法
2.平方差公式
3.分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查对同分母分式加减法则的掌握，以及运用平方差公式因式分解进行约分的能力，计算时注意结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.8
7. 下列各题计算正确的是()
A.$\frac{1}{5x} + \frac{1}{5y} = \frac{1}{5(x+y)}$
B.$\frac{z}{x-y} + \frac{z}{y-x} = 0$
C.$\frac{x}{y} - \frac{x+1}{y} = \frac{1}{y}$
D.$\frac{x}{(x-y)^2} + \frac{x}{(y-x)^2} = 0$
A.$\frac{1}{5x} + \frac{1}{5y} = \frac{1}{5(x+y)}$
B.$\frac{z}{x-y} + \frac{z}{y-x} = 0$
C.$\frac{x}{y} - \frac{x+1}{y} = \frac{1}{y}$
D.$\frac{x}{(x-y)^2} + \frac{x}{(y-x)^2} = 0$
答案
B
解析
【分析】
本题考查分式的加减法运算，解题思路如下：首先回忆分式加减法的运算法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分变为同分母分式，再按同分母法则计算。其次注意分母互为相反数的情况，可通过变号将分母转化为相同的形式，其中偶次幂的互为相反数的式子（如$(x-y)^2$和$(y-x)^2$）是相等的。最后逐个计算四个选项的运算结果，和选项给出的结果对比，选出计算正确的选项。
【解析】
我们对每个选项逐一计算验证：
选项A：$\frac{1}{5x}+\frac{1}{5y}$是异分母分式相加，先通分，公分母为$5xy$，
原式$=\frac{y}{5xy}+\frac{x}{5xy}=\frac{x+y}{5xy}$，显然$\frac{x+y}{5xy}≠\frac{1}{5(x+y)}$，故A错误。
选项B：两个分式的分母$x-y$和$y-x$互为相反数，可变形得$\frac{z}{y-x}=\frac{z}{-(x-y)}=-\frac{z}{x-y}$，
原式$=\frac{z}{x-y}-\frac{z}{x-y}=\frac{z-z}{x-y}=0$，故B正确。
选项C：是同分母分式相减，分母不变，分子相减，
原式$=\frac{x-(x+1)}{y}=\frac{x-x-1}{y}=-\frac{1}{y}≠\frac{1}{y}$，故C错误。
选项D：因为平方运算的结果非负，所以$(y-x)^2=(x-y)^2$，属于同分母分式相加，
原式$=\frac{x}{(x-y)^2}+\frac{x}{(x-y)^2}=\frac{2x}{(x-y)^2}$，只有当$x=0$时结果为0，不是恒等于0，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
分式加减运算，分式符号法则，平方的性质
【点评】
本题是分式加减的基础题，易错点在于处理互为相反数的分母时符号出错，尤其是遇到偶次幂的分母时，要注意偶次幂会抵消负号，计算分子加减时要记得给后面的分子加括号，避免符号运算错误。
【难度系数】
0.7
本题考查分式的加减法运算，解题思路如下：首先回忆分式加减法的运算法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分变为同分母分式，再按同分母法则计算。其次注意分母互为相反数的情况，可通过变号将分母转化为相同的形式，其中偶次幂的互为相反数的式子（如$(x-y)^2$和$(y-x)^2$）是相等的。最后逐个计算四个选项的运算结果，和选项给出的结果对比，选出计算正确的选项。
【解析】
我们对每个选项逐一计算验证：
选项A：$\frac{1}{5x}+\frac{1}{5y}$是异分母分式相加，先通分，公分母为$5xy$，
原式$=\frac{y}{5xy}+\frac{x}{5xy}=\frac{x+y}{5xy}$，显然$\frac{x+y}{5xy}≠\frac{1}{5(x+y)}$，故A错误。
选项B：两个分式的分母$x-y$和$y-x$互为相反数，可变形得$\frac{z}{y-x}=\frac{z}{-(x-y)}=-\frac{z}{x-y}$，
原式$=\frac{z}{x-y}-\frac{z}{x-y}=\frac{z-z}{x-y}=0$，故B正确。
选项C：是同分母分式相减，分母不变，分子相减，
原式$=\frac{x-(x+1)}{y}=\frac{x-x-1}{y}=-\frac{1}{y}≠\frac{1}{y}$，故C错误。
选项D：因为平方运算的结果非负，所以$(y-x)^2=(x-y)^2$，属于同分母分式相加，
原式$=\frac{x}{(x-y)^2}+\frac{x}{(x-y)^2}=\frac{2x}{(x-y)^2}$，只有当$x=0$时结果为0，不是恒等于0，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
分式加减运算，分式符号法则，平方的性质
【点评】
本题是分式加减的基础题，易错点在于处理互为相反数的分母时符号出错，尤其是遇到偶次幂的分母时，要注意偶次幂会抵消负号，计算分子加减时要记得给后面的分子加括号，避免符号运算错误。
【难度系数】
0.7
8.化简$\frac{4}{x+2} + x - 2$的结果是（）
A.1
B.$\frac{x^2}{x^2 -4}$
C.$\frac{x}{x+2}$
D.$\frac{x^2}{x+2}$
A.1
B.$\frac{x^2}{x^2 -4}$
C.$\frac{x}{x+2}$
D.$\frac{x^2}{x+2}$
答案
D
解析
【分析】
这是一道分式与整式的加减化简题，解题思路如下：第一步，明确异分母分式加减的核心是先通分，把整式看作分母为1的“分式”，确定最简公分母是x+2；第二步，将整式x-2通分，转化为分母是x+2的分式；第三步，根据同分母分式加减法法则，分母不变，分子相加，再利用平方差公式化简分子，最后得到最简结果对应选项即可。
【解析】
解：原式 = $\frac{4}{x+2} + \frac{x-2}{1}$
通分后可得：
= $\frac{4}{x+2} + \frac{(x-2)(x+2)}{x+2}$
利用平方差公式展开分子第二项：$(x-2)(x+2)=x^2 - 4$，代入得：
= $\frac{4 + x^2 - 4}{x+2}$
化简分子：$4-4=0$，分子剩余$x^2$
= $\frac{x^2}{x+2}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
分式的加减法，平方差公式，通分
【点评】
本题是分式加减的基础题型，解题的关键是掌握整式和分式相加减时的通分方法，计算过程中要注意平方差公式的正确运用，避免展开时符号出错。
【难度系数】
0.8
这是一道分式与整式的加减化简题，解题思路如下：第一步，明确异分母分式加减的核心是先通分，把整式看作分母为1的“分式”，确定最简公分母是x+2；第二步，将整式x-2通分，转化为分母是x+2的分式；第三步，根据同分母分式加减法法则，分母不变，分子相加，再利用平方差公式化简分子，最后得到最简结果对应选项即可。
【解析】
解：原式 = $\frac{4}{x+2} + \frac{x-2}{1}$
通分后可得：
= $\frac{4}{x+2} + \frac{(x-2)(x+2)}{x+2}$
利用平方差公式展开分子第二项：$(x-2)(x+2)=x^2 - 4$，代入得：
= $\frac{4 + x^2 - 4}{x+2}$
化简分子：$4-4=0$，分子剩余$x^2$
= $\frac{x^2}{x+2}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
分式的加减法，平方差公式，通分
【点评】
本题是分式加减的基础题型，解题的关键是掌握整式和分式相加减时的通分方法，计算过程中要注意平方差公式的正确运用，避免展开时符号出错。
【难度系数】
0.8
9. 小刚在化简$\frac{2a}{a^2 - b^2} - \frac{1}{M}$时，整式$M$看不清楚了，通过查看答案，发现化简结果是$\frac{1}{a - b}$，则整式$M$是()
A.$\frac{1}{a + b}$
B.$a + b$
C.$a - b$
D.$\frac{1}{a - b}$
A.$\frac{1}{a + b}$
B.$a + b$
C.$a - b$
D.$\frac{1}{a - b}$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先根据减法运算中各部分的关系：减数=被减数-差，把含M的式子单独列出来，得到$\frac{1}{M}=\frac{2a}{a^2 - b^2}-\frac{1}{a - b}$。接下来先利用平方差公式分解$a^2-b^2$，找到两个分式的最简公分母，通分后计算分子，再约分得到$\frac{1}{M}$的最简形式，最后求倒数即可得到M的值。
【解析】
根据题意可得：
$\frac{2a}{a^2 - b^2} - \frac{1}{M} = \frac{1}{a - b}$
移项得：
$\frac{1}{M} = \frac{2a}{a^2 - b^2} - \frac{1}{a - b}$
先利用平方差公式因式分解分母：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，确定最简公分母为$(a+b)(a-b)$，对第二个分式通分：
$\frac{1}{M} = \frac{2a}{(a+b)(a-b)} - \frac{a+b}{(a+b)(a-b)}$
分母不变，分子相减：
$\frac{1}{M} = \frac{2a - (a+b)}{(a+b)(a-b)} = \frac{2a - a - b}{(a+b)(a-b)} = \frac{a - b}{(a+b)(a-b)}$
根据分式有意义的条件$a≠ b$，约去分子分母的公因式$a-b$：
$\frac{1}{M} = \frac{1}{a + b}$
因此$M = a + b$。
【答案】
B
【知识点】
分式的加减运算；平方差公式因式分解；分式的约分
【点评】
本题考查分式运算的逆用，解题的核心是先通过减法各部分关系表示出含M的代数式，再正确进行分式的通分、约分计算，计算前先对分母因式分解，能更快速找到最简公分母，降低计算错误率。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据减法运算中各部分的关系：减数=被减数-差，把含M的式子单独列出来，得到$\frac{1}{M}=\frac{2a}{a^2 - b^2}-\frac{1}{a - b}$。接下来先利用平方差公式分解$a^2-b^2$，找到两个分式的最简公分母，通分后计算分子，再约分得到$\frac{1}{M}$的最简形式，最后求倒数即可得到M的值。
【解析】
根据题意可得：
$\frac{2a}{a^2 - b^2} - \frac{1}{M} = \frac{1}{a - b}$
移项得：
$\frac{1}{M} = \frac{2a}{a^2 - b^2} - \frac{1}{a - b}$
先利用平方差公式因式分解分母：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，确定最简公分母为$(a+b)(a-b)$，对第二个分式通分：
$\frac{1}{M} = \frac{2a}{(a+b)(a-b)} - \frac{a+b}{(a+b)(a-b)}$
分母不变，分子相减：
$\frac{1}{M} = \frac{2a - (a+b)}{(a+b)(a-b)} = \frac{2a - a - b}{(a+b)(a-b)} = \frac{a - b}{(a+b)(a-b)}$
根据分式有意义的条件$a≠ b$，约去分子分母的公因式$a-b$：
$\frac{1}{M} = \frac{1}{a + b}$
因此$M = a + b$。
【答案】
B
【知识点】
分式的加减运算；平方差公式因式分解；分式的约分
【点评】
本题考查分式运算的逆用，解题的核心是先通过减法各部分关系表示出含M的代数式，再正确进行分式的通分、约分计算，计算前先对分母因式分解，能更快速找到最简公分母，降低计算错误率。
【难度系数】
0.7
10.若$x=-1,y=2$,则$\frac{2x}{x^2 -64y^2} - \frac{1}{x-8y}$的值为()
A.$-\frac{1}{17}$
B.$\frac{1}{17}$
C.$\frac{1}{16}$
D.$\frac{1}{15}$
A.$-\frac{1}{17}$
B.$\frac{1}{17}$
C.$\frac{1}{16}$
D.$\frac{1}{15}$
答案
D
解析
【分析】
本题是分式化简求值题，解题思路为：第一步先利用平方差公式对第一个分式的分母因式分解，确定两个分式的最简公分母；第二步将异分母分式通分化为同分母分式，按照同分母分式减法法则计算，分子化简后约分得到最简结果；最后代入x、y的数值计算即可得到答案，先化简再求值可减少计算量，避免出错。
【解析】
解：先对原式化简：
1. 因式分解分母：$x^2 -64y^2 = x^2 - (8y)^2 = (x+8y)(x-8y)$
2. 通分计算：
$\frac{2x}{x^2 -64y^2} - \frac{1}{x-8y} = \frac{2x}{(x+8y)(x-8y)} - \frac{x+8y}{(x+8y)(x-8y)}$
3. 合并分子，分母不变：
$=\frac{2x - (x+8y)}{(x+8y)(x-8y)} = \frac{2x -x -8y}{(x+8y)(x-8y)} = \frac{x -8y}{(x+8y)(x-8y)}$
4. 约分得最简形式：
$=\frac{1}{x+8y}$（$x-8y≠0$）
5. 代入$x=-1,y=2$计算：
$x+8y = -1 + 8×2 = 15$，故原式$=\frac{1}{15}$
【答案】
D
【知识点】
1. 分式的加减运算
2. 平方差公式
3. 分式化简求值
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查异分母分式的减法计算规则，解题时先分解因式找最简公分母，化简后再代入求值能大幅降低计算难度，计算过程中需注意去括号时的符号变化，以及约分的前提是分母不为0。
【难度系数】
0.7
本题是分式化简求值题，解题思路为：第一步先利用平方差公式对第一个分式的分母因式分解，确定两个分式的最简公分母；第二步将异分母分式通分化为同分母分式，按照同分母分式减法法则计算，分子化简后约分得到最简结果；最后代入x、y的数值计算即可得到答案，先化简再求值可减少计算量，避免出错。
【解析】
解：先对原式化简：
1. 因式分解分母：$x^2 -64y^2 = x^2 - (8y)^2 = (x+8y)(x-8y)$
2. 通分计算：
$\frac{2x}{x^2 -64y^2} - \frac{1}{x-8y} = \frac{2x}{(x+8y)(x-8y)} - \frac{x+8y}{(x+8y)(x-8y)}$
3. 合并分子，分母不变：
$=\frac{2x - (x+8y)}{(x+8y)(x-8y)} = \frac{2x -x -8y}{(x+8y)(x-8y)} = \frac{x -8y}{(x+8y)(x-8y)}$
4. 约分得最简形式：
$=\frac{1}{x+8y}$（$x-8y≠0$）
5. 代入$x=-1,y=2$计算：
$x+8y = -1 + 8×2 = 15$，故原式$=\frac{1}{15}$
【答案】
D
【知识点】
1. 分式的加减运算
2. 平方差公式
3. 分式化简求值
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查异分母分式的减法计算规则，解题时先分解因式找最简公分母，化简后再代入求值能大幅降低计算难度，计算过程中需注意去括号时的符号变化，以及约分的前提是分母不为0。
【难度系数】
0.7
11.若等式$\dfrac{3x-5}{(x-3)(x+1)}=\dfrac{a}{x-3}+\dfrac{b}{x+1}$恒成立，则$a^2 + b^2 - 2ab -8a +8b +17$的值为（）
A.50
B.37
C.29
D.26
A.50
B.37
C.29
D.26
答案
D
解析
【分析】
要解决本题，首先利用分式恒成立的性质：等式左右两边分母相同的情况下，分子对应相等。第一步先将等式右侧的两个分式通分化简，得到分子关于x的一次多项式，再根据两个多项式相等时同类项系数对应相等，列出二元一次方程组求出a、b的值；第二步先将所求代数式利用完全平方公式化简，再代入a、b的值计算即可得到结果。
【解析】
1. 化简等式右侧的分式和：
对$\dfrac{a}{x-3}+\dfrac{b}{x+1}$通分，公分母为$(x-3)(x+1)$，得：
$\dfrac{a(x+1)+b(x-3)}{(x-3)(x+1)}=\dfrac{(a+b)x + (a-3b)}{(x-3)(x+1)}$
2. 利用恒等性质列方程组：
因为等式$\dfrac{3x-5}{(x-3)(x+1)}=\dfrac{(a+b)x + (a-3b)}{(x-3)(x+1)}$恒成立，且分母相同，所以分子对应相等：
$3x - 5 = (a+b)x + (a-3b)$
根据同类项系数相等，可得：
$\begin{cases}a + b = 3\\a - 3b = -5\end{cases}$
3. 解方程组求a、b：
由第一个方程得$a = 3 - b$，代入第二个方程：
$3 - b - 3b = -5$
$3 - 4b = -5$
解得$b=2$，则$a=3-2=1$。
4. 化简并计算所求代数式：
先对$a^2 + b^2 - 2ab -8a +8b +17$化简：
前三项结合得$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$，后两项提取公因式得$-8(a-b)$，因此：
原式$=(a-b)^2 - 8(a-b) +17$
将$a=1$，$b=2$代入，得$a-b=1-2=-1$：
原式$=(-1)^2 - 8×(-1) +17 = 1 + 8 +17 = 26$
【答案】
D
【知识点】
分式的加减运算，二元一次方程组的解法，代数式化简求值
【点评】
本题核心考查分式恒等变形的性质，解题时先通过通分建立系数关系求出参数，再对所求代数式因式分解简化计算，能有效提升解题效率，减少计算错误。
【难度系数】
0.65
要解决本题，首先利用分式恒成立的性质：等式左右两边分母相同的情况下，分子对应相等。第一步先将等式右侧的两个分式通分化简，得到分子关于x的一次多项式，再根据两个多项式相等时同类项系数对应相等，列出二元一次方程组求出a、b的值；第二步先将所求代数式利用完全平方公式化简，再代入a、b的值计算即可得到结果。
【解析】
1. 化简等式右侧的分式和：
对$\dfrac{a}{x-3}+\dfrac{b}{x+1}$通分，公分母为$(x-3)(x+1)$，得：
$\dfrac{a(x+1)+b(x-3)}{(x-3)(x+1)}=\dfrac{(a+b)x + (a-3b)}{(x-3)(x+1)}$
2. 利用恒等性质列方程组：
因为等式$\dfrac{3x-5}{(x-3)(x+1)}=\dfrac{(a+b)x + (a-3b)}{(x-3)(x+1)}$恒成立，且分母相同，所以分子对应相等：
$3x - 5 = (a+b)x + (a-3b)$
根据同类项系数相等，可得：
$\begin{cases}a + b = 3\\a - 3b = -5\end{cases}$
3. 解方程组求a、b：
由第一个方程得$a = 3 - b$，代入第二个方程：
$3 - b - 3b = -5$
$3 - 4b = -5$
解得$b=2$，则$a=3-2=1$。
4. 化简并计算所求代数式：
先对$a^2 + b^2 - 2ab -8a +8b +17$化简：
前三项结合得$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$，后两项提取公因式得$-8(a-b)$，因此：
原式$=(a-b)^2 - 8(a-b) +17$
将$a=1$，$b=2$代入，得$a-b=1-2=-1$：
原式$=(-1)^2 - 8×(-1) +17 = 1 + 8 +17 = 26$
【答案】
D
【知识点】
分式的加减运算，二元一次方程组的解法，代数式化简求值
【点评】
本题核心考查分式恒等变形的性质，解题时先通过通分建立系数关系求出参数，再对所求代数式因式分解简化计算，能有效提升解题效率，减少计算错误。
【难度系数】
0.65
12.某企业购电$m$千瓦时，计划用$a$天，由于采用了节约用电的措施，所以这些电实际比原计划多用了5天，则实际比原计划每天节约用电（）
A.$\frac{5m}{a(a+5)}$千瓦时
B.$\frac{5m}{a(a-5)}$千瓦时
C.$\frac{m}{a+5}$千瓦时
D.$\frac{m}{a}$千瓦时
A.$\frac{5m}{a(a+5)}$千瓦时
B.$\frac{5m}{a(a-5)}$千瓦时
C.$\frac{m}{a+5}$千瓦时
D.$\frac{m}{a}$千瓦时
答案
A
解析
【分析】
要计算实际比原计划每天节约的用电量，核心思路是先分别求出原计划、实际每天的用电量，再求两者的差值即可。第一步根据“总用电量÷用电天数=日均用电量”，先写出原计划日均用电量；第二步求出实际用电总天数，再写出实际日均用电量；第三步对两个日均用电量作差，通过分式通分运算得出最终结果。
【解析】
解：①计算原计划日均用电量：
总购电量为$m$千瓦时，计划用$a$天，因此原计划每天用电量为 $\frac{m}{a}$ 千瓦时。
②计算实际日均用电量：
实际比原计划多用5天，实际用电总天数为$(a+5)$天，因此实际每天用电量为 $\frac{m}{a+5}$ 千瓦时。
③计算每天节约的用电量：
节约的日均用电量=原计划日均用电量-实际日均用电量，即：
$\frac{m}{a} - \frac{m}{a+5}$
对该式通分，最简公分母为$a(a+5)$：
$\frac{m(a+5)}{a(a+5)} - \frac{ma}{a(a+5)} = \frac{m(a+5) - ma}{a(a+5)} = \frac{ma +5m - ma}{a(a+5)} = \frac{5m}{a(a+5)}$ 千瓦时。
【答案】
A
【知识点】
列代数式，分式减法运算，分式通分
【点评】
本题是典型的分式实际应用题，解题关键是理清数量关系，正确表示不同场景下的日均用电量，再按照分式减法规则计算即可，运算时注意通分后分子的化简不要出错。
【难度系数】
0.7
要计算实际比原计划每天节约的用电量，核心思路是先分别求出原计划、实际每天的用电量，再求两者的差值即可。第一步根据“总用电量÷用电天数=日均用电量”，先写出原计划日均用电量；第二步求出实际用电总天数，再写出实际日均用电量；第三步对两个日均用电量作差，通过分式通分运算得出最终结果。
【解析】
解：①计算原计划日均用电量：
总购电量为$m$千瓦时，计划用$a$天，因此原计划每天用电量为 $\frac{m}{a}$ 千瓦时。
②计算实际日均用电量：
实际比原计划多用5天，实际用电总天数为$(a+5)$天，因此实际每天用电量为 $\frac{m}{a+5}$ 千瓦时。
③计算每天节约的用电量：
节约的日均用电量=原计划日均用电量-实际日均用电量，即：
$\frac{m}{a} - \frac{m}{a+5}$
对该式通分，最简公分母为$a(a+5)$：
$\frac{m(a+5)}{a(a+5)} - \frac{ma}{a(a+5)} = \frac{m(a+5) - ma}{a(a+5)} = \frac{ma +5m - ma}{a(a+5)} = \frac{5m}{a(a+5)}$ 千瓦时。
【答案】
A
【知识点】
列代数式，分式减法运算，分式通分
【点评】
本题是典型的分式实际应用题，解题关键是理清数量关系，正确表示不同场景下的日均用电量，再按照分式减法规则计算即可，运算时注意通分后分子的化简不要出错。
【难度系数】
0.7
