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例1 计算:(1)$\frac{5x+3y}{x^2-y^2}-\frac{2x}{x^2-y^2}$；
(2)$\frac{x+3y}{x^2-y^2}-\frac{x+2y}{x^2-y^2}+\frac{2x-3y}{x^2-y^2}$。
【思路导析】1. 分母不变,分子相加减.
2. 最后结果必须是最简形式.
【请你解答】
(2)$\frac{x+3y}{x^2-y^2}-\frac{x+2y}{x^2-y^2}+\frac{2x-3y}{x^2-y^2}$。
【思路导析】1. 分母不变,分子相加减.
2. 最后结果必须是最简形式.
【请你解答】
答案
解：
(1) 原式$=\frac{(5x+3y)-2x}{x^2-y^2}$
$=\frac{3x+3y}{x^2-y^2}$
$=\frac{3(x+y)}{(x+y)(x-y)}$
$=\frac{3}{x-y}$
(2) 原式$=\frac{(x+3y)-(x+2y)+(2x-3y)}{x^2-y^2}$
$=\frac{x+3y-x-2y+2x-3y}{x^2-y^2}$
$=\frac{2x-2y}{x^2-y^2}$
$=\frac{2(x-y)}{(x+y)(x-y)}$
$=\frac{2}{x+y}$
(1) 原式$=\frac{(5x+3y)-2x}{x^2-y^2}$
$=\frac{3x+3y}{x^2-y^2}$
$=\frac{3(x+y)}{(x+y)(x-y)}$
$=\frac{3}{x-y}$
(2) 原式$=\frac{(x+3y)-(x+2y)+(2x-3y)}{x^2-y^2}$
$=\frac{x+3y-x-2y+2x-3y}{x^2-y^2}$
$=\frac{2x-2y}{x^2-y^2}$
$=\frac{2(x-y)}{(x+y)(x-y)}$
$=\frac{2}{x+y}$
解析
【分析】
这两道题均为同分母分式的加减运算，解题思路如下：①依据同分母分式加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，先将各分式的分子合并到同一个分式的分子中，注意减法运算中去括号的符号变化；②对合并后的分子、分母分别进行因式分解；③约去分子分母的公因式，将最终结果化为最简分式。
【解析】
(1) 原式$=\frac{(5x+3y)-2x}{x^2-y^2}$
$=\frac{3x+3y}{x^2-y^2}$
对分子提取公因式、分母用平方差公式因式分解，得：
$=\frac{3(x+y)}{(x+y)(x-y)}$
约去公因式$x+y$，得：
$=\frac{3}{x-y}$
(2) 原式$=\frac{(x+3y)-(x+2y)+(2x-3y)}{x^2-y^2}$
去括号合并同类项，得：
$=\frac{x+3y-x-2y+2x-3y}{x^2-y^2}$
$=\frac{2x-2y}{x^2-y^2}$
对分子提取公因式、分母用平方差公式因式分解，得：
$=\frac{2(x-y)}{(x+y)(x-y)}$
约去公因式$x-y$，得：
$=\frac{2}{x+y}$
【答案】
(1)$\frac{3}{x-y}$；(2)$\frac{2}{x+y}$
【知识点】
同分母分式加减法、因式分解、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查同分母分式的加减运算规则，运算过程中要注意去括号时的符号处理，因式分解要彻底，最终结果必须化为最简分式，熟练掌握因式分解的方法是快速准确解题的关键。
【难度系数】
0.8
这两道题均为同分母分式的加减运算，解题思路如下：①依据同分母分式加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，先将各分式的分子合并到同一个分式的分子中，注意减法运算中去括号的符号变化；②对合并后的分子、分母分别进行因式分解；③约去分子分母的公因式，将最终结果化为最简分式。
【解析】
(1) 原式$=\frac{(5x+3y)-2x}{x^2-y^2}$
$=\frac{3x+3y}{x^2-y^2}$
对分子提取公因式、分母用平方差公式因式分解，得：
$=\frac{3(x+y)}{(x+y)(x-y)}$
约去公因式$x+y$，得：
$=\frac{3}{x-y}$
(2) 原式$=\frac{(x+3y)-(x+2y)+(2x-3y)}{x^2-y^2}$
去括号合并同类项，得：
$=\frac{x+3y-x-2y+2x-3y}{x^2-y^2}$
$=\frac{2x-2y}{x^2-y^2}$
对分子提取公因式、分母用平方差公式因式分解，得：
$=\frac{2(x-y)}{(x+y)(x-y)}$
约去公因式$x-y$，得：
$=\frac{2}{x+y}$
【答案】
(1)$\frac{3}{x-y}$；(2)$\frac{2}{x+y}$
【知识点】
同分母分式加减法、因式分解、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查同分母分式的加减运算规则，运算过程中要注意去括号时的符号处理，因式分解要彻底，最终结果必须化为最简分式，熟练掌握因式分解的方法是快速准确解题的关键。
【难度系数】
0.8
例2 计算：
(1) $\frac{1}{2p+3q} - \frac{1}{2p-3q}$；
(2) $\frac{1}{x-3} + \frac{1-x}{6+2x} - \frac{6}{x^2 -9}$。
【思路导析】先通分，化成同分母分式，再加减。
【请你解答】
(1) $\frac{1}{2p+3q} - \frac{1}{2p-3q}$；
(2) $\frac{1}{x-3} + \frac{1-x}{6+2x} - \frac{6}{x^2 -9}$。
【思路导析】先通分，化成同分母分式，再加减。
【请你解答】
答案
解：
(1) 最简公分母为$(2p+3q)(2p-3q)$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{2p-3q}{(2p+3q)(2p-3q)} - \frac{2p+3q}{(2p+3q)(2p-3q)}\\&=\frac{(2p-3q)-(2p+3q)}{(2p+3q)(2p-3q)}\\&=\frac{2p-3q-2p-3q}{4p^2-9q^2}\\&=-\frac{6q}{4p^2-9q^2}\end{aligned}$
(2) 先因式分解分母：$6+2x=2(x+3)$，$x^2-9=(x+3)(x-3)$，最简公分母为$2(x+3)(x-3)$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{2(x+3)}{2(x+3)(x-3)} + \frac{(1-x)(x-3)}{2(x+3)(x-3)} - \frac{12}{2(x+3)(x-3)}\\&=\frac{2(x+3)+(1-x)(x-3)-12}{2(x+3)(x-3)}\\&=\frac{2x+6+x-3-x^2+3x-12}{2(x+3)(x-3)}\\&=\frac{-x^2+6x-9}{2(x+3)(x-3)}\\&=\frac{-(x-3)^2}{2(x+3)(x-3)}\\&=\frac{3-x}{2(x+3)}\\&=\frac{3-x}{2x+6}\end{aligned}$
(1) 最简公分母为$(2p+3q)(2p-3q)$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{2p-3q}{(2p+3q)(2p-3q)} - \frac{2p+3q}{(2p+3q)(2p-3q)}\\&=\frac{(2p-3q)-(2p+3q)}{(2p+3q)(2p-3q)}\\&=\frac{2p-3q-2p-3q}{4p^2-9q^2}\\&=-\frac{6q}{4p^2-9q^2}\end{aligned}$
(2) 先因式分解分母：$6+2x=2(x+3)$，$x^2-9=(x+3)(x-3)$，最简公分母为$2(x+3)(x-3)$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{2(x+3)}{2(x+3)(x-3)} + \frac{(1-x)(x-3)}{2(x+3)(x-3)} - \frac{12}{2(x+3)(x-3)}\\&=\frac{2(x+3)+(1-x)(x-3)-12}{2(x+3)(x-3)}\\&=\frac{2x+6+x-3-x^2+3x-12}{2(x+3)(x-3)}\\&=\frac{-x^2+6x-9}{2(x+3)(x-3)}\\&=\frac{-(x-3)^2}{2(x+3)(x-3)}\\&=\frac{3-x}{2(x+3)}\\&=\frac{3-x}{2x+6}\end{aligned}$
解析
【分析】
这两道题都是异分母分式的加减运算，解题遵循异分母分式加减法的通用步骤：第一步先对各分母因式分解，找到最简公分母；第二步利用分式的基本性质将各分式通分，转化为同分母分式；第三步按照同分母分式加减法法则，分母不变，分子相加减；第四步对分子合并化简后，若分子分母存在公因式，要约分化为最简分式。第(1)题的两个分母是构成平方差的两个因式，可直接确定最简公分母为两个分母的乘积；第(2)题需要先将各分母因式分解再确定最简公分母，计算时要注意去括号的符号变化，最后约分得到最简结果。
【解析】
(1) 最简公分母为$(2p+3q)(2p-3q)$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{2p-3q}{(2p+3q)(2p-3q)} - \frac{2p+3q}{(2p+3q)(2p-3q)}\\&=\frac{(2p-3q)-(2p+3q)}{(2p+3q)(2p-3q)}\\&=\frac{2p-3q-2p-3q}{4p^2-9q^2}\\&=-\frac{6q}{4p^2-9q^2}\end{aligned}$
(2) 先因式分解分母：$6+2x=2(x+3)$，$x^2-9=(x+3)(x-3)$，最简公分母为$2(x+3)(x-3)$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{2(x+3)}{2(x+3)(x-3)} + \frac{(1-x)(x-3)}{2(x+3)(x-3)} - \frac{12}{2(x+3)(x-3)}\\&=\frac{2(x+3)+(1-x)(x-3)-12}{2(x+3)(x-3)}\\&=\frac{2x+6+x-3-x^2+3x-12}{2(x+3)(x-3)}\\&=\frac{-x^2+6x-9}{2(x+3)(x-3)}\\&=\frac{-(x-3)^2}{2(x+3)(x-3)}\\&=\frac{3-x}{2(x+3)}\\&=\frac{3-x}{2x+6}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-\dfrac{6q}{4p^2-9q^2}}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{3-x}{2x+6}}$
【知识点】
分式的加减运算，通分与约分，因式分解
【点评】
本题是异分母分式加减的常规基础题型，核心考查异分母分式加减的运算流程，解题的关键是准确找到最简公分母，通分、去括号时要格外注意符号变化，最终计算结果需化为最简分式，运算时需细心避免因展开错误或符号问题失分。
【难度系数】
0.7
这两道题都是异分母分式的加减运算，解题遵循异分母分式加减法的通用步骤：第一步先对各分母因式分解，找到最简公分母；第二步利用分式的基本性质将各分式通分，转化为同分母分式；第三步按照同分母分式加减法法则，分母不变，分子相加减；第四步对分子合并化简后，若分子分母存在公因式，要约分化为最简分式。第(1)题的两个分母是构成平方差的两个因式，可直接确定最简公分母为两个分母的乘积；第(2)题需要先将各分母因式分解再确定最简公分母，计算时要注意去括号的符号变化，最后约分得到最简结果。
【解析】
(1) 最简公分母为$(2p+3q)(2p-3q)$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{2p-3q}{(2p+3q)(2p-3q)} - \frac{2p+3q}{(2p+3q)(2p-3q)}\\&=\frac{(2p-3q)-(2p+3q)}{(2p+3q)(2p-3q)}\\&=\frac{2p-3q-2p-3q}{4p^2-9q^2}\\&=-\frac{6q}{4p^2-9q^2}\end{aligned}$
(2) 先因式分解分母：$6+2x=2(x+3)$，$x^2-9=(x+3)(x-3)$，最简公分母为$2(x+3)(x-3)$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{2(x+3)}{2(x+3)(x-3)} + \frac{(1-x)(x-3)}{2(x+3)(x-3)} - \frac{12}{2(x+3)(x-3)}\\&=\frac{2(x+3)+(1-x)(x-3)-12}{2(x+3)(x-3)}\\&=\frac{2x+6+x-3-x^2+3x-12}{2(x+3)(x-3)}\\&=\frac{-x^2+6x-9}{2(x+3)(x-3)}\\&=\frac{-(x-3)^2}{2(x+3)(x-3)}\\&=\frac{3-x}{2(x+3)}\\&=\frac{3-x}{2x+6}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-\dfrac{6q}{4p^2-9q^2}}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{3-x}{2x+6}}$
【知识点】
分式的加减运算，通分与约分，因式分解
【点评】
本题是异分母分式加减的常规基础题型，核心考查异分母分式加减的运算流程，解题的关键是准确找到最简公分母，通分、去括号时要格外注意符号变化，最终计算结果需化为最简分式，运算时需细心避免因展开错误或符号问题失分。
【难度系数】
0.7
例3 甲、乙两位采购员两次同去购买
饲料.两次饲料的价格有变化,分别为 m 元/千克和 n 元/千克(m,n 是正数,且 m≠n),两位采购员的购货方式也不同,其中甲每次购买1 000 千克,乙每次用去 1 000 元.
(1)甲、乙所购饲料的平均单价各是多少?
(2)谁的购货方式更合算?
【思路导析】根据题意列出两人所购饲料的平均单价,利用作差法进行比较.
【示范解答】(1)根据题意,得
甲所购饲料的平均单价是$\frac{1000m + 1000n}{1000 + 1000} = \frac{m + n}{2}$(元/千克),
乙所购饲料的平均单价是$\frac{$
$}{} = \frac{2mn}{m + n}$(元/千克).
(2)$\frac{m + n}{2} - \frac{2mn}{m + n} = \frac{(m + n)^2 - 4mn}{2(m + n)} = \frac{(m - n)^2}{2(m + n)}$.
因为 m,n 是正数,且 m≠n,
所以$m + n ＞ 0,(m - n)^2 ＞ 0$,
所以$\frac{m + n}{2} - \frac{2mn}{m + n} ＞ 0$,即$\frac{m + n}{2} ＞ \frac{2mn}{m + n}$.
所以乙的购买方式更合算.
饲料.两次饲料的价格有变化,分别为 m 元/千克和 n 元/千克(m,n 是正数,且 m≠n),两位采购员的购货方式也不同,其中甲每次购买1 000 千克,乙每次用去 1 000 元.
(1)甲、乙所购饲料的平均单价各是多少?
(2)谁的购货方式更合算?
【思路导析】根据题意列出两人所购饲料的平均单价,利用作差法进行比较.
【示范解答】(1)根据题意,得
甲所购饲料的平均单价是$\frac{1000m + 1000n}{1000 + 1000} = \frac{m + n}{2}$(元/千克),
乙所购饲料的平均单价是$\frac{$
$}{} = \frac{2mn}{m + n}$(元/千克).(2)$\frac{m + n}{2} - \frac{2mn}{m + n} = \frac{(m + n)^2 - 4mn}{2(m + n)} = \frac{(m - n)^2}{2(m + n)}$.
因为 m,n 是正数,且 m≠n,
所以$m + n ＞ 0,(m - n)^2 ＞ 0$,
所以$\frac{m + n}{2} - \frac{2mn}{m + n} ＞ 0$,即$\frac{m + n}{2} ＞ \frac{2mn}{m + n}$.
所以乙的购买方式更合算.
答案
解：
(1) 根据题意，得
甲所购饲料的平均单价是：
$\frac{1000m + 1000n}{1000 + 1000} = \frac{m + n}{2} \mathrm{（元/千克）}$
乙所购饲料的平均单价是：
$\frac{2000}{\frac{1000}{m} + \frac{1000}{n}} = \frac{2000}{\frac{1000(m + n)}{mn}} = \frac{2mn}{m + n} \mathrm{（元/千克）}$
(2) 作差比较两个平均单价：
$\frac{m + n}{2} - \frac{2mn}{m + n} = \frac{(m + n)^2 - 4mn}{2(m + n)} = \frac{(m - n)^2}{2(m + n)}$
因为$m,n$是正数，且$m ≠ n$，
所以$m + n ＞ 0$，$(m - n)^2 ＞ 0$，
因此$\frac{(m - n)^2}{2(m + n)} ＞ 0$，即$\frac{m + n}{2} ＞ \frac{2mn}{m + n}$。
所以乙的购货方式更合算。
(1) 根据题意，得
甲所购饲料的平均单价是：
$\frac{1000m + 1000n}{1000 + 1000} = \frac{m + n}{2} \mathrm{（元/千克）}$
乙所购饲料的平均单价是：
$\frac{2000}{\frac{1000}{m} + \frac{1000}{n}} = \frac{2000}{\frac{1000(m + n)}{mn}} = \frac{2mn}{m + n} \mathrm{（元/千克）}$
(2) 作差比较两个平均单价：
$\frac{m + n}{2} - \frac{2mn}{m + n} = \frac{(m + n)^2 - 4mn}{2(m + n)} = \frac{(m - n)^2}{2(m + n)}$
因为$m,n$是正数，且$m ≠ n$，
所以$m + n ＞ 0$，$(m - n)^2 ＞ 0$，
因此$\frac{(m - n)^2}{2(m + n)} ＞ 0$，即$\frac{m + n}{2} ＞ \frac{2mn}{m + n}$。
所以乙的购货方式更合算。
解析
【分析】
要解决本题，首先明确平均单价的计算公式：平均单价=购货总费用÷购货总重量。
对于第(1)问：①计算甲的平均单价：甲两次各购买1000千克，总重量为2000千克，两次的总花费为(1000m+1000n)元，代入公式即可求出甲的平均单价；②计算乙的平均单价：乙两次各花费1000元，总花费为2000元，两次购买的重量分别为$\frac{1000}{m}$千克、$\frac{1000}{n}$千克，总重量为$\frac{1000}{m}+\frac{1000}{n}$千克，代入公式即可求出乙的平均单价。
对于第(2)问：要判断谁的购货方式更合算，只需比较两人的平均单价大小即可，采用作差法：将甲的平均单价减去乙的平均单价，通分后利用完全平方公式化简，结合m、n是正数且不相等的条件，判断差的正负，即可得到两个单价的大小关系，平均单价更低的购货方式更合算。
【解析】
(1) 根据平均单价的计算公式：
甲两次购货总费用为$1000m + 1000n$元，总重量为$1000+1000=2000$千克，
因此甲所购饲料的平均单价为：
$\frac{1000m + 1000n}{1000 + 1000} = \frac{m + n}{2}$（元/千克）。
乙两次购货总费用为$1000+1000=2000$元，总重量为$\frac{1000}{m}+\frac{1000}{n}$千克，
因此乙所购饲料的平均单价为：
$\frac{2000}{\frac{1000}{m} + \frac{1000}{n}} = \frac{2000}{\frac{1000n + 1000m}{mn}} = \frac{2mn}{m + n}$（元/千克）。
(2) 用作差法比较两个平均单价的大小：
$\frac{m + n}{2} - \frac{2mn}{m + n}$
通分可得：$= \frac{(m + n)^2}{2(m + n)} - \frac{4mn}{2(m + n)} = \frac{(m + n)^2 - 4mn}{2(m + n)}$
利用完全平方公式化简分子：$= \frac{m^2 + 2mn + n^2 - 4mn}{2(m + n)} = \frac{(m - n)^2}{2(m + n)}$
已知m、n是正数，且$m≠n$，因此$m + n ＞ 0$，$(m - n)^2 ＞ 0$，
可得$\frac{(m - n)^2}{2(m + n)} ＞ 0$，即$\frac{m + n}{2} ＞ \frac{2mn}{m + n}$，说明乙的平均单价更低。
所以乙的购货方式更合算。
【答案】
(1) 甲的平均单价为$\boldsymbol{\frac{m+n}{2}}$元/千克，乙的平均单价为$\boldsymbol{\frac{2mn}{m+n}}$元/千克；
(2) $\boldsymbol{乙}$的购货方式更合算。
【知识点】
分式的运算，作差法比较大小，完全平方公式
【点评】
本题结合生活采购场景考察分式的实际应用，解题的关键是理清平均单价的计算逻辑，通过作差法将大小比较问题转化为代数式正负判断问题，既要求熟练掌握分式通分化简的规则，也需要灵活运用完全平方公式变形，是一道兼顾基础和应用的典型题目。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先明确平均单价的计算公式：平均单价=购货总费用÷购货总重量。
对于第(1)问：①计算甲的平均单价：甲两次各购买1000千克，总重量为2000千克，两次的总花费为(1000m+1000n)元，代入公式即可求出甲的平均单价；②计算乙的平均单价：乙两次各花费1000元，总花费为2000元，两次购买的重量分别为$\frac{1000}{m}$千克、$\frac{1000}{n}$千克，总重量为$\frac{1000}{m}+\frac{1000}{n}$千克，代入公式即可求出乙的平均单价。
对于第(2)问：要判断谁的购货方式更合算，只需比较两人的平均单价大小即可，采用作差法：将甲的平均单价减去乙的平均单价，通分后利用完全平方公式化简，结合m、n是正数且不相等的条件，判断差的正负，即可得到两个单价的大小关系，平均单价更低的购货方式更合算。
【解析】
(1) 根据平均单价的计算公式：
甲两次购货总费用为$1000m + 1000n$元，总重量为$1000+1000=2000$千克，
因此甲所购饲料的平均单价为：
$\frac{1000m + 1000n}{1000 + 1000} = \frac{m + n}{2}$（元/千克）。
乙两次购货总费用为$1000+1000=2000$元，总重量为$\frac{1000}{m}+\frac{1000}{n}$千克，
因此乙所购饲料的平均单价为：
$\frac{2000}{\frac{1000}{m} + \frac{1000}{n}} = \frac{2000}{\frac{1000n + 1000m}{mn}} = \frac{2mn}{m + n}$（元/千克）。
(2) 用作差法比较两个平均单价的大小：
$\frac{m + n}{2} - \frac{2mn}{m + n}$
通分可得：$= \frac{(m + n)^2}{2(m + n)} - \frac{4mn}{2(m + n)} = \frac{(m + n)^2 - 4mn}{2(m + n)}$
利用完全平方公式化简分子：$= \frac{m^2 + 2mn + n^2 - 4mn}{2(m + n)} = \frac{(m - n)^2}{2(m + n)}$
已知m、n是正数，且$m≠n$，因此$m + n ＞ 0$，$(m - n)^2 ＞ 0$，
可得$\frac{(m - n)^2}{2(m + n)} ＞ 0$，即$\frac{m + n}{2} ＞ \frac{2mn}{m + n}$，说明乙的平均单价更低。
所以乙的购货方式更合算。
【答案】
(1) 甲的平均单价为$\boldsymbol{\frac{m+n}{2}}$元/千克，乙的平均单价为$\boldsymbol{\frac{2mn}{m+n}}$元/千克；
(2) $\boldsymbol{乙}$的购货方式更合算。
【知识点】
分式的运算，作差法比较大小，完全平方公式
【点评】
本题结合生活采购场景考察分式的实际应用，解题的关键是理清平均单价的计算逻辑，通过作差法将大小比较问题转化为代数式正负判断问题，既要求熟练掌握分式通分化简的规则，也需要灵活运用完全平方公式变形，是一道兼顾基础和应用的典型题目。
【难度系数】
0.7
如图，在数轴上，A，B两点分别表示$-\dfrac{2}{1+a}$，$\dfrac{a^2}{a^2+a}$，若$a$表示正整数，则AB的长为.
答案
解：由数轴可知，AB的长为点B表示的数减去点A表示的数：
$\begin{aligned}AB&=\frac{a^2}{a^2+a}-(-\frac{2}{1+a})\\&=\frac{a^2}{a(a+1)}+\frac{2}{a+1}\\&=\frac{a}{a+1}+\frac{2}{a+1}\\&=\frac{a+2}{a+1}\end{aligned}$
$\frac{a+2}{a+1}$
$\begin{aligned}AB&=\frac{a^2}{a^2+a}-(-\frac{2}{1+a})\\&=\frac{a^2}{a(a+1)}+\frac{2}{a+1}\\&=\frac{a}{a+1}+\frac{2}{a+1}\\&=\frac{a+2}{a+1}\end{aligned}$
$\frac{a+2}{a+1}$
解析
【分析】
首先明确数轴上两点间的距离等于右侧点表示的数减去左侧点表示的数，本题中点B在点A右侧，因此AB的长为B对应的数减去A对应的数。接下来先对两个分式化简：先对$\frac{a^2}{a^2+a}$的分母提取公因式因式分解，再约去分子分母的公因式，此时两个分式为同分母分式，按照同分母分式加法规则，分母不变、分子相加即可得到结果，其中a是正整数，保证了分式分母不为0，运算合法。
【解析】
由数轴可知，点B在点A右侧，因此AB的长为点B表示的数减去点A表示的数：
$\begin{aligned}AB&=\frac{a^2}{a^2+a}-(-\frac{2}{1+a})\\&=\frac{a^2}{a(a+1)}+\frac{2}{a+1}\\&=\frac{a}{a+1}+\frac{2}{a+1}\\&=\frac{a+2}{a+1}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{a+2}{a+1}$
【知识点】
数轴两点距离计算、分式约分、分式加减法
【点评】
本题结合数轴性质和分式运算考查基础运算能力，解题的核心是掌握数轴上两点距离的计算方法，同时熟练运用分式约分、同分母分式加减的运算规则，运算时需注意保证分式分母不为0，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
首先明确数轴上两点间的距离等于右侧点表示的数减去左侧点表示的数，本题中点B在点A右侧，因此AB的长为B对应的数减去A对应的数。接下来先对两个分式化简：先对$\frac{a^2}{a^2+a}$的分母提取公因式因式分解，再约去分子分母的公因式，此时两个分式为同分母分式，按照同分母分式加法规则，分母不变、分子相加即可得到结果，其中a是正整数，保证了分式分母不为0，运算合法。
【解析】
由数轴可知，点B在点A右侧，因此AB的长为点B表示的数减去点A表示的数：
$\begin{aligned}AB&=\frac{a^2}{a^2+a}-(-\frac{2}{1+a})\\&=\frac{a^2}{a(a+1)}+\frac{2}{a+1}\\&=\frac{a}{a+1}+\frac{2}{a+1}\\&=\frac{a+2}{a+1}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{a+2}{a+1}$
【知识点】
数轴两点距离计算、分式约分、分式加减法
【点评】
本题结合数轴性质和分式运算考查基础运算能力，解题的核心是掌握数轴上两点距离的计算方法，同时熟练运用分式约分、同分母分式加减的运算规则，运算时需注意保证分式分母不为0，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
