13. 计算：
(1) $\frac{3a+2b}{5a^2b} + \frac{a+b}{5a^2b} - \frac{b-a}{5a^2b}$；
(2) $\frac{m+2n}{n-m} - \frac{n}{m-n} + \frac{2m}{n-m}$；
(3) $\frac{x^2 -4x +4}{x^2 -4} + \frac{x-2}{x^2 +2x} + \frac{1}{x}$；
(4) $m-1 + \frac{2m-6}{m^2 -9} + \frac{2m+2}{m+3}$；
(5) $\frac{x^2}{x+1} -x +1$。

解：
(1) 原式 $= \frac{(3a+2b)+(a+b)-(b-a)}{5a^2b}$
$= \frac{3a+2b+a+b-b+a}{5a^2b}$
$= \frac{5a+2b}{5a^2b}$
(2) 原式 $= \frac{m+2n}{n-m} + \frac{n}{n-m} + \frac{2m}{n-m}$
$= \frac{m+2n +n +2m}{n-m}$
$= \frac{3m+3n}{n-m}$
$= \frac{3(m+n)}{n-m}$
(3) 原式 $= \frac{(x-2)^2}{(x+2)(x-2)} + \frac{x-2}{x(x+2)} + \frac{1}{x}$
$= \frac{x-2}{x+2} + \frac{x-2}{x(x+2)} + \frac{1}{x}$
$= \frac{x(x-2) + (x-2) + (x+2)}{x(x+2)}$
$= \frac{x^2 -2x +x -2 +x +2}{x(x+2)}$
$= \frac{x^2}{x(x+2)}$
$= \frac{x}{x+2}$
(4) 原式 $= m-1 + \frac{2(m-3)}{(m+3)(m-3)} + \frac{2m+2}{m+3}$
$= m-1 + \frac{2}{m+3} + \frac{2m+2}{m+3}$
$= m-1 + \frac{2 + 2m + 2}{m+3}$
$= \frac{(m-1)(m+3)}{m+3} + \frac{2m+4}{m+3}$
$= \frac{m^2 + 2m -3 + 2m +4}{m+3}$
$= \frac{m^2 +4m +1}{m+3}$
(5) 原式 $= \frac{x^2}{x+1} - \frac{(x-1)(x+1)}{x+1}$
$= \frac{x^2 - (x^2 -1)}{x+1}$
$= \frac{x^2 -x^2 +1}{x+1}$
$= \frac{1}{x+1}$

【分析】
这组题均为分式加减运算题，解题思路如下：①先判断分式分母特点：同分母分式直接按“分母不变，分子相加减”计算；若分母互为相反数，先统一分母，注意对应分子同步变号；若为异分母分式，先对分子、分母因式分解，能约分的先约分，再找最简公分母通分，转化为同分母分式计算。②分子加减时，要将每个分子作为整体加括号运算，整式可看作分母为1的分式参与通分。③运算完成后将结果约分为最简分式或整式。
【解析】
(1) 原式 $= \frac{(3a+2b)+(a+b)-(b-a)}{5a^2b}$
$= \frac{3a+2b+a+b-b+a}{5a^2b}$
$= \frac{5a+2b}{5a^2b}$
(2) 原式 $= \frac{m+2n}{n-m} + \frac{n}{n-m} + \frac{2m}{n-m}$
$= \frac{m+2n +n +2m}{n-m}$
$= \frac{3m+3n}{n-m}$
$= \frac{3(m+n)}{n-m}$
(3) 原式 $= \frac{(x-2)^2}{(x+2)(x-2)} + \frac{x-2}{x(x+2)} + \frac{1}{x}$
$= \frac{x-2}{x+2} + \frac{x-2}{x(x+2)} + \frac{1}{x}$
$= \frac{x(x-2) + (x-2) + (x+2)}{x(x+2)}$
$= \frac{x^2 -2x +x -2 +x +2}{x(x+2)}$
$= \frac{x^2}{x(x+2)}$
$= \frac{x}{x+2}$
(4) 原式 $= m-1 + \frac{2(m-3)}{(m+3)(m-3)} + \frac{2m+2}{m+3}$
$= m-1 + \frac{2}{m+3} + \frac{2m+2}{m+3}$
$= m-1 + \frac{2 + 2m + 2}{m+3}$
$= \frac{(m-1)(m+3)}{m+3} + \frac{2m+4}{m+3}$
$= \frac{m^2 + 2m -3 + 2m +4}{m+3}$
$= \frac{m^2 +4m +1}{m+3}$
(5) 原式 $= \frac{x^2}{x+1} - \frac{(x-1)(x+1)}{x+1}$
$= \frac{x^2 - (x^2 -1)}{x+1}$
$= \frac{x^2 -x^2 +1}{x+1}$
$= \frac{1}{x+1}$
【答案】
(1) $\frac{5a+2b}{5a^2b}$；(2) $\frac{3(m+n)}{n-m}$；(3) $\frac{x}{x+2}$；(4) $\frac{m^2+4m+1}{m+3}$；(5) $\frac{1}{x+1}$
【知识点】
分式的加减法、因式分解、分式约分
【点评】
本题组覆盖了分式加减运算的各类基础题型，从同分母运算、异分母运算到整式与分式的混合运算，重点考查符号处理、因式分解的应用以及结果化简的意识，运算时需注意分子整体的符号变化，熟练掌握因式分解是快速准确解题的关键。
【难度系数】
0.7

14.我们知道,假分数可以化为整数与真分数的和的形式,例如:$\frac{3}{2}=1+\frac{1}{2}$.
在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数高于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”;当分子的次数低于分母的次数时,我们称之为“真分式”,例如:像$\frac{x+1}{x-1},\frac{x^2}{x-2}$这样的分式是假分式,像$\frac{4}{x-2},\frac{2x}{x^2+1}$这样的分式是真分式.类似地,假分式也可以化为整式与真分式的和的形式.
例如:$\frac{x+1}{x-1}=\frac{(x-1)+2}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}+\frac{2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$;
$\frac{x^2}{x-2}=\frac{x^2-4+4}{x-2}=\frac{(x+2)(x-2)+4}{x-2}=x+2+\frac{4}{x-2}$.
(1)分式$\frac{8}{x+2}$是分式(填“真”或“假”);
(2)将分式$\frac{x-1}{x+2}$化为整式与真分式的和的形式;
(3)如果分式$\frac{3x^2 -1}{x-1}$的值为整数,求$x$的整数值.

解：
(1) 真
(2)
$\begin{aligned}\frac{x-1}{x+2}&=\frac{(x+2)-3}{x+2}\\&=\frac{x+2}{x+2}-\frac{3}{x+2}\\&=1-\frac{3}{x+2}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}\frac{3x^2 -1}{x-1}&=\frac{3x^2 -3 + 2}{x-1}\\&=\frac{3(x^2 -1)+2}{x-1}\\&=\frac{3(x-1)(x+1)+2}{x-1}\\&=3(x+1)+\frac{2}{x-1}\end{aligned}$
∵分式的值为整数，x为整数，
∴$\frac{2}{x-1}$为整数，即$x-1$是2的整数因数，
可得$x-1=\pm1,\pm2$，
解得$x=2,0,3,-1$，
又∵$x-1≠0$，即$x≠1$，上述取值均符合要求，
∴x的整数值为2、0、3、-1。

【分析】
(1) 依据题中真分式、假分式的定义判断：分子次数低于分母次数的分式为真分式。$\frac{8}{x+2}$的分子是常数（次数为0），分母是一次多项式，分子次数低于分母次数，即可确定类型。
(2) 假分式化为整式与真分式的和，核心是将分子凑成含分母的整式加余项的形式：把分子$x-1$改写为$(x+2)-3$，再拆分分式即可。
(3) 先仿照前面的拆分方法，将$\frac{3x^2-1}{x-1}$拆分为整式加真分式的形式；整式部分$3(x+1)$在x为整数时必然是整数，因此只需真分式$\frac{2}{x-1}$为整数即可，即$x-1$是2的整数因数，同时要注意分式有意义时分母不为0，排除不符合的取值，最终得到x的整数值。
【解析】
(1) 分式$\frac{8}{x+2}$的分子次数为0，分母次数为1，分子次数低于分母次数，因此是真分式。
(2)
$\begin{aligned}\frac{x-1}{x+2}&=\frac{(x+2)-3}{x+2}\\&=\frac{x+2}{x+2}-\frac{3}{x+2}\\&=1-\frac{3}{x+2}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}\frac{3x^2 -1}{x-1}&=\frac{3x^2 -3 + 2}{x-1}\\&=\frac{3(x^2 -1)+2}{x-1}\\&=\frac{3(x-1)(x+1)+2}{x-1}\\&=3(x+1)+\frac{2}{x-1}\end{aligned}$
∵分式的值为整数，x为整数，
∴$\frac{2}{x-1}$为整数，即$x-1$是2的整数因数，
可得$x-1=\pm1,\pm2$，
解得$x=2,0,3,-1$，
又
∵分式有意义时$x-1≠0$，即$x≠1$，上述取值均符合要求，
∴x的整数值为2、0、3、-1。
【答案】
(1) 真；(2) $1-\frac{3}{x+2}$；(3) $2、0、3、-1$
【知识点】
分式的分类，分式的拆分，分式有意义的条件
【点评】
本题属于新定义类题型，需要先准确理解真、假分式的概念，掌握假分式拆分的方法，第三问求解时要注意分式分母不为0的隐藏限制条件，重点考察知识迁移应用能力和运算的严谨性。
【难度系数】
0.7