典例1 某铅球运动员在一次训练中，铅球的行进高度$y$(单位:m)与它距出手点的水平距离$x$(单位:m)之间的函数关系如图所示，铅球经过的路径可以近似看成一条抛物线.已知铅球在距离地面$\frac{5}{3}$ m的A处出手，在距离出手点A水平距离9.5 m处(即$OB=9.5$ m)达到最高点，这次训练的成绩是20 m(即$OD=20$ m).
(1)求这次训练中，铅球经过路径对应的函数解析式；
(2)求这次训练中，铅球距离地面的最大高度；
(3)这次训练中，铅球掷出的水平距离多大时，铅球离地面的高度为9 m？

举一反三 某学生在练习投篮时，篮球被抛出后，距离地面的高度$h$(单位:m)和飞行时间$t$(单位:s)满足函数关系式：$h=-\frac{1}{2}t^2 + 2t + 2$，则篮球距离地面的最大高度是().
A. 8 m B. 6 m C. 4 m D. 2 m

1. (1) 根据题意,铅球落地点D的坐标为$(20,0)$,点A的坐标为$(0,\frac{5}{3})$,抛物线关于直线$x=9.5$对称,
∴设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-9.5)^2 +k$.根据题意,得$\begin{cases}9.5^2 a +k=\frac{5}{3}, \\10.5^2 a +k=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{12}, \\k=\frac{147}{16}.\end{cases}$
∴$y=-\frac{1}{12}(x-9.5)^2 +\frac{147}{16}$,即$y=-\frac{1}{12}x^2 +\frac{19}{12}x +\frac{5}{3}(0≤x≤20)$.
(2) 由(1)得$y=-\frac{1}{12}(x-\frac{19}{2})^2 +\frac{147}{16}$,
∵$-\frac{1}{12}＜0$,
∴当$x=\frac{19}{2}$时,$y$有最大值,最大值为$\frac{147}{16}$,
∴这次训练中,铅球距离地面的最大高度为$\frac{147}{16}$ m.
(3) 当$y=9$时,$-\frac{1}{12}x^2 +\frac{19}{12}x +\frac{5}{3}=9$,解得$x_1=8,x_2=11$,
∴当铅球离地面的高度为9 m时,铅球掷出的水平距离是8 m或11 m.
举一反三 C

典例2 如图，用长为60 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为20 m)，围成中间隔有一道篱笆(垂直于墙)的矩形花圃ABCD(EF//AB).
(1)如果要围成面积为225 m²的花圃，AB的长是多少？
(2)能围成比225 m²更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由.

举一反三 如图，在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$AB = 10\ \mathrm{cm}$，$BC = 8\ \mathrm{cm}$，点$P$从点$A$出发，沿$AC$方向以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$C$运动，同时点$Q$从点$C$出发，

典例解析

1. (1) 设AB的长为$x$ m,根据题意,得$x(60-3x)=225$.解得$x_1=5,x_2=15$.当$x=5$时,$BC=60-3x=45$ m$＞20$ m,不符合题意,舍去;当$x=15$时,$BC=60-3x=15$ m$＜20$ m,符合题意.因此,AB的长是15 m.
(2) 能.设AB的长为$a$ m,则$BC=(60-3a)$m,由题意,得$0＜60-3a≤20$,即$\frac{40}{3}≤a＜20$.
∵矩形花圃的面积$S=a(60-3a)=-3(a-10)^2 +300$,
∴当$\frac{40}{3}≤a＜20$时,$S$随$a$的增大而减小,
∴当$a=\frac{40}{3}$时,花圃有最大面积,最大面积为$\frac{40}{3}×(60-3×\frac{40}{3})=\frac{800}{3}(\mathrm{m}^2).\frac{800}{3}＞225$,
∴能围成比$225\ \mathrm{m}^2$更大的花圃,最大面积为$\frac{800}{3}\ \mathrm{m}^2$.