5. ，二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与y轴的交点为$(0,3)$，它的对称轴为直线$x=1$，有下列结论：①$c=3$；②$2a+b=0$；③$a-b+c＞0$；④方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一个根在2,3之间。其中正确的有（）。

A.①②
B.①②③
C.①②④
D.①②③④

5. C 解析
∵二次函数的图象与y轴的交点为$(0,3)$，
∴$c=3$，故①正确。
∵该二次函数图象的对称轴为直线$x=1$，
∴$-\frac{b}{2a}=1$，
∴$2a+b=0$，
故②正确。
由图象可知，当$x=-1$时，$y＜0$，
∴$a-b+c＜0$，故③错误。
由条件可知抛物线与$x$轴的另一个交点在2,3之间，
∴方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一个根在2,3之间，故④正确。故选C。

6.若抛物线$y=ax^2+bx+c(a＞0)$经过点$(1,-1)$,则关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的根的情况是().

A.有两个大于1的不相等的实数根
B.有两个小于1的不相等的实数根
C.有两个实数根,其中一个大于1,另一个小于1
D.没有实数根

6. C 解析
∵$a＞0$，
∴抛物线开口向上。又抛物线经过点$(1,-1)$，
∴抛物线的顶点在$x$轴的下方，
∴抛物线与$x$轴一定有两个交点，这两个交点分别在点$(1,0)$的左右两边，
∴关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$有两个实数根，其中一个大于1，另一个小于1。故选C。

7. 一元二次方程 $x^2 + 7x + 9 = 1$ 的根与二次函数 $y = x^2 + 7x + 9$ 的图象有什么关系？试利用图象求该方程的根的近似值。（结果保留小数点后一位）

7. 解 一元二次方程$x^2+7x+9=1$的根是二次函数$y=x^2+7x+9$的图象与直线$y=1$交点的横坐标。
作出二次函数$y=x^2+7x+9$的图象与直线$y=1$，如图所示。由图可以看出，$x≈-5.6$，或$x≈-1.4$，
∴一元二次方程$x^2+7x+9=1$的实数根为$x_1≈-5.6$，$x_2≈-1.4$。

8. 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象过点 $ A(2,0) $，且与函数 $ y = -\frac{3}{4}x + 3 $ 的图象相交于 $ B,C $ 两点，点 $ B $ 在 $ x $ 轴上，点 $ C $ 在 $ y $ 轴上.
(1) 求该二次函数的解析式.
(2) 如果 $ P(x,y) $ 是线段 $ BC $ 上的动点，$ O $ 为坐标原点，试求 $ △ AOP $ 的面积 $ S_{△ AOP} $ 关于 $ x $ 的函数解析式，并求自变量 $ x $ 的取值范围.
(3) 线段 $ BC $ 上是否存在点 $ P $，使得 $ PO = AO $？若存在，求出点 $ P $ 的坐标；若不存在，请说明理由.

8. 解 (1)由题意可知，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象过点$C(0,3)$，所以$c=3$。
把点$A(2,0)$，$B(4,0)$的坐标代入$y=ax^2+bx+3$，
得$\begin{cases}4a+2b+3=0,\\16a+4b+3=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{3}{8},\\b=-\frac{9}{4}.\end{cases}$
所以该二次函数的解析式为$y=\frac{3}{8}x^2-\frac{9}{4}x+3$。
(2)如图，$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}OA· y=\frac{1}{2}×2· y=y= -\frac{3}{4}x+3\ (0 ≤ x＜4)$。
(3)不存在点$P$，使得$PO=AO$。理由如下：
设存在点$P(x_0,y_0)$，满足$PO=AO$，则$PO=2$。
如图，$PO=\sqrt{x_0^2+y_0^2}$，所以$x_0^2+y_0^2=4$。
又因为$y_0=-\frac{3}{4}x_0+3$，
所以$25x_0^2-72x_0+80=0$。
因为$\Delta=(-72)^2-4×25×80=-2\ 816＜0$，所以此一元二次方程无解。
故不存在点$P$，使得$PO=AO$。