登录
1.(无锡)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=10$，$\sin A=\dfrac{2}{5}$，那么$BC$的长为
4
.答案
1. 4
解析
【分析】
首先回忆直角三角形中锐角正弦的定义：锐角的正弦值等于该角的对边长度与斜边长度的比值。本题中BC是∠A的对边，AB是直角三角形的斜边，已知AB的长度和∠A的正弦值，直接代入正弦的定义公式列等式即可求出BC的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正弦的定义可得：
$\sin A=\dfrac{∠ A的对边}{斜边}=\dfrac{BC}{AB}$
将$AB=10$，$\sin A=\dfrac{2}{5}$代入上式：
$\dfrac{2}{5}=\dfrac{BC}{10}$
解得$BC=\dfrac{2}{5}×10=4$
【答案】
4
【知识点】
1. 正弦的定义 2. 解直角三角形
【点评】
本题属于基础题，主要考查锐角三角函数的基本概念，牢记各三角函数对应的边的比例关系即可快速求解。
【难度系数】
0.9
首先回忆直角三角形中锐角正弦的定义：锐角的正弦值等于该角的对边长度与斜边长度的比值。本题中BC是∠A的对边，AB是直角三角形的斜边，已知AB的长度和∠A的正弦值，直接代入正弦的定义公式列等式即可求出BC的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正弦的定义可得：
$\sin A=\dfrac{∠ A的对边}{斜边}=\dfrac{BC}{AB}$
将$AB=10$，$\sin A=\dfrac{2}{5}$代入上式：
$\dfrac{2}{5}=\dfrac{BC}{10}$
解得$BC=\dfrac{2}{5}×10=4$
【答案】
4
【知识点】
1. 正弦的定义 2. 解直角三角形
【点评】
本题属于基础题，主要考查锐角三角函数的基本概念，牢记各三角函数对应的边的比例关系即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2.(天水)如图4-2-1,方格图中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,每个小正方形的顶点叫格点.$△ ABC$的顶点都在方格的格点上,则$\cos A =$
$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
.答案
2. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
解析
【分析】
要求$\cos A$的值，首先回忆锐角余弦的定义：锐角的余弦值等于该角所在直角三角形中邻边与斜边的比值。因此我们需要先构造出包含$∠ A$的直角三角形，再通过格点的边长特征，结合勾股定理计算出直角三角形中邻边和斜边的长度，最后代入定义计算即可。
【解析】
设每个小方格的边长为1，过点$C$作$CD⊥ AB$，交$AB$的延长线于点$D$。
由格点可得：$AD=4$，$CD=2$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，根据勾股定理：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
根据锐角余弦的定义：
$\cos A=\frac{∠ A的邻边}{斜边}=\frac{AD}{AC}=\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$
【答案】
$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，二次根式化简
【点评】
本题是格点背景下的锐角三角函数求值问题，解题核心是合理构造包含目标角的直角三角形，再结合勾股定理计算对应边长，代入定义求解即可，解题时注意二次根式要化为最简形式。
【难度系数】
0.7
要求$\cos A$的值，首先回忆锐角余弦的定义：锐角的余弦值等于该角所在直角三角形中邻边与斜边的比值。因此我们需要先构造出包含$∠ A$的直角三角形，再通过格点的边长特征，结合勾股定理计算出直角三角形中邻边和斜边的长度，最后代入定义计算即可。
【解析】
设每个小方格的边长为1，过点$C$作$CD⊥ AB$，交$AB$的延长线于点$D$。
由格点可得：$AD=4$，$CD=2$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，根据勾股定理：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
根据锐角余弦的定义：
$\cos A=\frac{∠ A的邻边}{斜边}=\frac{AD}{AC}=\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$
【答案】
$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，二次根式化简
【点评】
本题是格点背景下的锐角三角函数求值问题，解题核心是合理构造包含目标角的直角三角形，再结合勾股定理计算对应边长，代入定义求解即可，解题时注意二次根式要化为最简形式。
【难度系数】
0.7
3.(黔南州)如图4-2-2,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=2,CD=8,连结AC,AC⊥CD.若$\sin∠ ACB=\frac{1}{3}$,则AD=
10
.答案
3. 10
解析
【分析】
解题时先观察图形特征，图中存在两个直角三角形Rt△ABC和Rt△ACD，两个三角形的公共边AC是解题的中间量。首先在Rt△ABC中，利用正弦三角函数的定义，结合已知的$\sin∠ ACB$和AB的长度，求出AC的长；再在Rt△ACD中，利用勾股定理即可求出AD的长度。
【解析】
解：在Rt△ABC中，$∠ B=90°$，
根据正弦函数的定义：$\sin∠ ACB=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AB}{AC}$，
已知$\sin∠ ACB=\frac{1}{3}$，$AB=2$，代入得：$\frac{2}{AC}=\frac{1}{3}$，
解得：$AC=6$。
∵$AC⊥ CD$，
∴$∠ ACD=90°$，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$AD^2=AC^2+CD^2$，
将$AC=6$，$CD=8$代入得：
$AD^2=6^2+8^2=36+64=100$，
∵AD为线段长度，取正，
∴$AD=\sqrt{100}=10$。
【答案】
10
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题是几何基础计算题，解题关键是找到两个直角三角形的公共边AC作为过渡量，先利用三角函数求AC，再用勾股定理计算目标线段长度，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征，图中存在两个直角三角形Rt△ABC和Rt△ACD，两个三角形的公共边AC是解题的中间量。首先在Rt△ABC中，利用正弦三角函数的定义，结合已知的$\sin∠ ACB$和AB的长度，求出AC的长；再在Rt△ACD中，利用勾股定理即可求出AD的长度。
【解析】
解：在Rt△ABC中，$∠ B=90°$，
根据正弦函数的定义：$\sin∠ ACB=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AB}{AC}$，
已知$\sin∠ ACB=\frac{1}{3}$，$AB=2$，代入得：$\frac{2}{AC}=\frac{1}{3}$，
解得：$AC=6$。
∵$AC⊥ CD$，
∴$∠ ACD=90°$，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$AD^2=AC^2+CD^2$，
将$AC=6$，$CD=8$代入得：
$AD^2=6^2+8^2=36+64=100$，
∵AD为线段长度，取正，
∴$AD=\sqrt{100}=10$。
【答案】
10
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题是几何基础计算题，解题关键是找到两个直角三角形的公共边AC作为过渡量，先利用三角函数求AC，再用勾股定理计算目标线段长度，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
4.(荆州)如图4-2-3,在高度是21m的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为$30°$,底部D处的俯角为$45°$,则这个建筑物的高度CD =
$21+7\sqrt{3}$
m.(结果保留根号)答案
4. $(21+7\sqrt{3})$
解析
【分析】
遇到仰角、俯角相关的解直角三角形问题，首先通过作辅助线构造直角三角形，将待求线段拆分求解：先过点A作AE⊥CD于点E，可得四边形ABDE是矩形，先利用45°俯角求出AE、DE的长度，再利用30°仰角在直角三角形中求出CE的长度，最后将CE和DE相加即可得到建筑物的高度CD。
【解析】
解：过点A作AE⊥CD于点E。
由题意得AB⊥DB，CD⊥DB，因此四边形ABDE是矩形，
∴DE=AB=21m，AE=BD。
∵在A处测得D处的俯角为45°，
∴∠EAD=45°，
在Rt△AED中，∠AED=90°，∠EAD=45°，
∴AE=DE=21m。
∵在A处测得C处的仰角为30°，
∴∠CAE=30°，
在Rt△AEC中，∠AEC=90°，$\tan∠ CAE=\frac{CE}{AE}$，
∴$CE=AE·\tan30°=21×\frac{\sqrt{3}}{3}=7\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
∴$CD=CE+DE=21+7\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$(21+7\sqrt{3})$
【知识点】
仰角俯角问题，解直角三角形，矩形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的典型实际应用题，解题核心是通过作高构造直角三角形，将实际场景中的角度、长度关系转化为直角三角形的边角关系计算，需注意准确区分仰角和俯角的定义。
【难度系数】
0.7
遇到仰角、俯角相关的解直角三角形问题，首先通过作辅助线构造直角三角形，将待求线段拆分求解：先过点A作AE⊥CD于点E，可得四边形ABDE是矩形，先利用45°俯角求出AE、DE的长度，再利用30°仰角在直角三角形中求出CE的长度，最后将CE和DE相加即可得到建筑物的高度CD。
【解析】
解：过点A作AE⊥CD于点E。
由题意得AB⊥DB，CD⊥DB，因此四边形ABDE是矩形，
∴DE=AB=21m，AE=BD。
∵在A处测得D处的俯角为45°，
∴∠EAD=45°，
在Rt△AED中，∠AED=90°，∠EAD=45°，
∴AE=DE=21m。
∵在A处测得C处的仰角为30°，
∴∠CAE=30°，
在Rt△AEC中，∠AEC=90°，$\tan∠ CAE=\frac{CE}{AE}$，
∴$CE=AE·\tan30°=21×\frac{\sqrt{3}}{3}=7\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
∴$CD=CE+DE=21+7\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$(21+7\sqrt{3})$
【知识点】
仰角俯角问题，解直角三角形，矩形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的典型实际应用题，解题核心是通过作高构造直角三角形，将实际场景中的角度、长度关系转化为直角三角形的边角关系计算，需注意准确区分仰角和俯角的定义。
【难度系数】
0.7
5.(十堰)如图4-2-4,轮船在A处观测灯塔C位于北偏西$70°$方向上,轮船从A处以每小时20km的速度沿南偏西$50°$方向匀速航行,1h后到达码头B处,此时,观测灯塔C位于北偏西$25°$方向上,那么灯塔C与码头B的距离是
24
km.(结果精确到个位.参考数据:$\sqrt{2}≈1.4,\sqrt{3}≈1.7,\sqrt{6}≈2.4)$答案
5. 24
解析
【分析】
首先根据路程公式求出AB的长度；再结合方向角的定义，计算出△ABC的三个内角度数：先求∠CAB=180°-70°-50°=60°，再求∠ABC=25°+50°=75°，最后用三角形内角和得∠ACB=45°；接下来过B作AC的垂线，将斜三角形拆分为两个直角三角形，利用特殊角的三角函数值分别计算高BD和边BC的长度，最后代入参考数据得到结果。
【解析】
解：由题意可知，轮船航行速度为20km/h，航行时间为1h，
∴ $AB = 20 × 1 = 20\ \mathrm{km}$。
根据方向角的性质：
$∠ CAB = 180° - 70° - 50° = 60°$，
A在B的北偏东50°方向，因此$∠ ABC = 25° + 50° = 75°$，
由三角形内角和为180°，得：
$∠ ACB = 180° - 60° - 75° = 45°$。
过点B作$BD ⊥ AC$，垂足为D：
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ BAD=60°$，$AB=20\ \mathrm{km}$，
∴ $BD = AB · \sin60° = 20 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\ \mathrm{km}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ BCD=45°$，$\sin45° = \frac{BD}{BC}$，
∴ $BC = \frac{BD}{\sin45°} = \frac{10\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 10\sqrt{6}$。
代入参考数据$\sqrt{6}\approx2.4$，得$BC \approx 10 × 2.4 = 24\ \mathrm{km}$。
【答案】
24
【知识点】
方向角的识别，解直角三角形，三角形内角和
【点评】
本题结合航行实际场景考查解直角三角形的应用，解题关键是准确理解方向角的含义，求出三角形内角度数后通过作辅助线将斜三角形转化为直角三角形求解，需要熟练掌握特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.6
首先根据路程公式求出AB的长度；再结合方向角的定义，计算出△ABC的三个内角度数：先求∠CAB=180°-70°-50°=60°，再求∠ABC=25°+50°=75°，最后用三角形内角和得∠ACB=45°；接下来过B作AC的垂线，将斜三角形拆分为两个直角三角形，利用特殊角的三角函数值分别计算高BD和边BC的长度，最后代入参考数据得到结果。
【解析】
解：由题意可知，轮船航行速度为20km/h，航行时间为1h，
∴ $AB = 20 × 1 = 20\ \mathrm{km}$。
根据方向角的性质：
$∠ CAB = 180° - 70° - 50° = 60°$，
A在B的北偏东50°方向，因此$∠ ABC = 25° + 50° = 75°$，
由三角形内角和为180°，得：
$∠ ACB = 180° - 60° - 75° = 45°$。
过点B作$BD ⊥ AC$，垂足为D：
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ BAD=60°$，$AB=20\ \mathrm{km}$，
∴ $BD = AB · \sin60° = 20 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\ \mathrm{km}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ BCD=45°$，$\sin45° = \frac{BD}{BC}$，
∴ $BC = \frac{BD}{\sin45°} = \frac{10\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 10\sqrt{6}$。
代入参考数据$\sqrt{6}\approx2.4$，得$BC \approx 10 × 2.4 = 24\ \mathrm{km}$。
【答案】
24
【知识点】
方向角的识别，解直角三角形，三角形内角和
【点评】
本题结合航行实际场景考查解直角三角形的应用，解题关键是准确理解方向角的含义，求出三角形内角度数后通过作辅助线将斜三角形转化为直角三角形求解，需要熟练掌握特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.6
6.(遵义)如图4-2-5,一幢楼房AB后有一座假山,其坡度为$i=1:\sqrt{3}$,山坡坡面上E点处有一间亭子,测得假山坡脚C与楼房水平距离$BC=25m$,与亭子距离$CE=20m$,小丽从楼房顶测得E点的俯角为$45°$,求楼房AB的高.(注:坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)
图4-2-5
图4-2-5
答案
6. 楼房$AB$的高为$(35+10\sqrt{3})\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
这是一道解直角三角形的实际应用题，解题思路如下：1. 明确已知条件：$BC=25\mathrm{m}$，$CE=20\mathrm{m}$，坡面$CD$的坡度$i=1:\sqrt{3}$，从$A$看$E$的俯角为$45°$，目标是求$AB$的高度。2. 遇到坡度、俯角相关问题，需通过作辅助线构造直角三角形和矩形转化线段：过$E$作$EF$垂直$BC$的延长线于$F$，作$EG$垂直$AB$于$G$，可将$AB$拆分为$AG$和$BG$两段，其中$BG=EF$，$GE=BF$。3. 先利用坡度和$CE$的长度求出$EF$、$CF$的长度，再利用俯角$45°$判断$△ AGE$为等腰直角三角形，得到$AG=GE$，最后将$AG$和$BG$相加即可得到$AB$的高度。
【解析】
解：过点$E$作$EF ⊥ BC$，交$BC$的延长线于点$F$，作$EG ⊥ AB$于点$G$，则四边形$BGEF$是矩形，
$\therefore BG=EF$，$GE=BF$。
$\because$ 坡面$CD$的坡度$i=1:\sqrt{3}$，即$\frac{EF}{CF}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
$\therefore ∠ ECF=30°$。
在$Rt△ CEF$中，$CE=20\ \mathrm{m}$，
$\therefore EF=CE· \sin30°=20×\frac{1}{2}=10\ \mathrm{m}$，
$CF=CE· \cos30°=20×\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$\therefore BF=BC+CF=25+10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，即$GE=25+10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
$\because$ 从楼顶$A$测得$E$点的俯角为$45°$，
$\therefore ∠ AEG=45°$，$△ AGE$为等腰直角三角形，
$\therefore AG=GE=25+10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
$\therefore AB=AG+BG=AG+EF=(25+10\sqrt{3})+10=35+10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
楼房$AB$的高为$(35+10\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
【知识点】
解直角三角形的应用，坡度的定义，俯角的定义
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类题型，解题的关键是合理添加辅助线构造直角三角形和矩形，将分散的已知条件集中到直角三角形中，同时准确理解坡度、俯角的概念，理清各线段之间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
这是一道解直角三角形的实际应用题，解题思路如下：1. 明确已知条件：$BC=25\mathrm{m}$，$CE=20\mathrm{m}$，坡面$CD$的坡度$i=1:\sqrt{3}$，从$A$看$E$的俯角为$45°$，目标是求$AB$的高度。2. 遇到坡度、俯角相关问题，需通过作辅助线构造直角三角形和矩形转化线段：过$E$作$EF$垂直$BC$的延长线于$F$，作$EG$垂直$AB$于$G$，可将$AB$拆分为$AG$和$BG$两段，其中$BG=EF$，$GE=BF$。3. 先利用坡度和$CE$的长度求出$EF$、$CF$的长度，再利用俯角$45°$判断$△ AGE$为等腰直角三角形，得到$AG=GE$，最后将$AG$和$BG$相加即可得到$AB$的高度。
【解析】
解：过点$E$作$EF ⊥ BC$，交$BC$的延长线于点$F$，作$EG ⊥ AB$于点$G$，则四边形$BGEF$是矩形，
$\therefore BG=EF$，$GE=BF$。
$\because$ 坡面$CD$的坡度$i=1:\sqrt{3}$，即$\frac{EF}{CF}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
$\therefore ∠ ECF=30°$。
在$Rt△ CEF$中，$CE=20\ \mathrm{m}$，
$\therefore EF=CE· \sin30°=20×\frac{1}{2}=10\ \mathrm{m}$，
$CF=CE· \cos30°=20×\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$\therefore BF=BC+CF=25+10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，即$GE=25+10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
$\because$ 从楼顶$A$测得$E$点的俯角为$45°$，
$\therefore ∠ AEG=45°$，$△ AGE$为等腰直角三角形，
$\therefore AG=GE=25+10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
$\therefore AB=AG+BG=AG+EF=(25+10\sqrt{3})+10=35+10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
楼房$AB$的高为$(35+10\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
【知识点】
解直角三角形的应用，坡度的定义，俯角的定义
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类题型，解题的关键是合理添加辅助线构造直角三角形和矩形，将分散的已知条件集中到直角三角形中，同时准确理解坡度、俯角的概念，理清各线段之间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
