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7.(河南)如图4-2-6,小东在教学楼距地面9m高的窗口C处,测得正前方旗杆顶部A点的仰角为$37°$,旗杆底部B点的俯角为$45°$.升旗时,国旗上端悬挂在距地面2.25m处,若国旗随国歌声冉冉升起,并在国歌播放45s结束时到达旗杆顶端,则国旗匀速上升的速度是多少?(参考数据:$\sin37° \approx 0.60,\cos37° \approx 0.80,\tan37° \approx 0.75$)
答案
7. 解:过点$C$作$CD ⊥ AB$,垂足为$D$.
$\mathrm{Rt}△ BCD$ 中,$∠ BCD = 45°$,$BD = CD = 9\ \mathrm{m}$;
$\mathrm{Rt}△ ACD$ 中,$CD = 9\ \mathrm{m}$,$∠ ACD = 37°$,
$\therefore AD = CD · \tan37° \approx 9 × 0.75 = 6.75(\mathrm{m})$.
$\therefore AB = AD + BD \approx 6.75 + 9 = 15.75(\mathrm{m})$.
$\therefore (15.75 - 2.25) ÷ 45 = 0.3(\mathrm{m/s})$.
答:国旗应以$0.3\ \mathrm{m/s}$的速度匀速上升.
$\mathrm{Rt}△ BCD$ 中,$∠ BCD = 45°$,$BD = CD = 9\ \mathrm{m}$;
$\mathrm{Rt}△ ACD$ 中,$CD = 9\ \mathrm{m}$,$∠ ACD = 37°$,
$\therefore AD = CD · \tan37° \approx 9 × 0.75 = 6.75(\mathrm{m})$.
$\therefore AB = AD + BD \approx 6.75 + 9 = 15.75(\mathrm{m})$.
$\therefore (15.75 - 2.25) ÷ 45 = 0.3(\mathrm{m/s})$.
答:国旗应以$0.3\ \mathrm{m/s}$的速度匀速上升.
解析
【分析】
要解决该问题，需通过作辅助线构造直角三角形，利用仰角、俯角的性质结合三角函数求出旗杆总高度，再计算国旗上升高度，最终根据速度公式求匀速上升的速度。具体思路：1. 过点C作CD⊥AB，将问题转化为两个直角三角形的计算；2. 在Rt△BCD中，由俯角45°和已知的BD=9m，求出CD的长度；3. 在Rt△ACD中，由仰角37°和CD的长度，用正切函数求出AD的长度；4. 计算旗杆AB的总高度，减去国旗初始高度得到上升高度；5. 用上升高度除以时间得到速度。
【解析】
过点C作CD⊥AB，垂足为D。
在Rt△BCD中，∠BCD=45°，BD=9m，
因为tan45°=1，所以CD=BD=9m。
在Rt△ACD中，∠ACD=37°，CD=9m，
根据正切函数定义，tan∠ACD=AD/CD，
则AD=CD·tan37°≈9×0.75=6.75(m)。
因此，旗杆AB的高度为AB=AD+BD≈6.75+9=15.75(m)。
国旗需上升的高度为15.75 - 2.25=13.5(m)，
国歌播放时间为45s，所以国旗匀速上升的速度为13.5÷45=0.3(m/s)。
【答案】
0.3 m/s
【知识点】
解直角三角形的应用、仰角俯角问题、三角函数
【点评】
本题是解直角三角形在实际场景的典型应用，通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数关系求解线段长度，进而解决速度计算问题，注重基础知识的实际应用，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决该问题，需通过作辅助线构造直角三角形，利用仰角、俯角的性质结合三角函数求出旗杆总高度，再计算国旗上升高度，最终根据速度公式求匀速上升的速度。具体思路：1. 过点C作CD⊥AB，将问题转化为两个直角三角形的计算；2. 在Rt△BCD中，由俯角45°和已知的BD=9m，求出CD的长度；3. 在Rt△ACD中，由仰角37°和CD的长度，用正切函数求出AD的长度；4. 计算旗杆AB的总高度，减去国旗初始高度得到上升高度；5. 用上升高度除以时间得到速度。
【解析】
过点C作CD⊥AB，垂足为D。
在Rt△BCD中，∠BCD=45°，BD=9m，
因为tan45°=1，所以CD=BD=9m。
在Rt△ACD中，∠ACD=37°，CD=9m，
根据正切函数定义，tan∠ACD=AD/CD，
则AD=CD·tan37°≈9×0.75=6.75(m)。
因此，旗杆AB的高度为AB=AD+BD≈6.75+9=15.75(m)。
国旗需上升的高度为15.75 - 2.25=13.5(m)，
国歌播放时间为45s，所以国旗匀速上升的速度为13.5÷45=0.3(m/s)。
【答案】
0.3 m/s
【知识点】
解直角三角形的应用、仰角俯角问题、三角函数
【点评】
本题是解直角三角形在实际场景的典型应用，通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数关系求解线段长度，进而解决速度计算问题，注重基础知识的实际应用，难度适中。
【难度系数】
0.6
8.(台州)如图4-2-7,某翼装飞行员从离水平地面高$AC=500\mathrm{m}$的A处出发,沿俯角为$15°$的方向,直线滑行$1600\mathrm{m}$到达D处,然后打开降落伞以$75°$的俯角降落到地面上的B处.求他飞行的水平距离BC.(结果精确到1m.参考数据:$\sin15°\approx0.26,\cos15°\approx0.97,\tan15°\approx0.27$)
图4-2-7
图4-2-7
答案
8. 提示:过点$D$分别作$DE ⊥ AC$,$DF ⊥ BC$,垂足分别是$E,F$.可得$AE = AD · \sin15° \approx 416(\mathrm{m})$,
$DE = AD · \cos15° \approx 1552(\mathrm{m})$,
$CE = AC - AE = 84(\mathrm{m})$,
$\therefore BF = DF · \tan15° \approx 22.7(\mathrm{m})$.
$\therefore BC = BF + CF = BF + DE \approx 1575(\mathrm{m})$.
$DE = AD · \cos15° \approx 1552(\mathrm{m})$,
$CE = AC - AE = 84(\mathrm{m})$,
$\therefore BF = DF · \tan15° \approx 22.7(\mathrm{m})$.
$\therefore BC = BF + CF = BF + DE \approx 1575(\mathrm{m})$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将实际问题转化为直角三角形的边长计算。具体思路：过点D作DE⊥AC、DF⊥BC，构造矩形DECF，利用俯角定义和三角函数，先在Rt△ADE中求出AE、DE，再结合AC的长度得到CE（即DF），最后在Rt△DFB中求出BF，通过BC=BF+DE计算结果。
【解析】
解：过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F。
∵ DE⊥AC，DF⊥BC，AC⊥BC，
∴ 四边形DECF是矩形，因此CF=DE，CE=DF。
在Rt△ADE中，∠DAE=15°，AD=1600m，
∴ AE = AD·sin15° ≈ 1600×0.26 = 416(m)，
DE = AD·cos15° ≈ 1600×0.97 = 1552(m)。
已知AC=500m，故CE = AC - AE = 500 - 416 = 84(m)，即DF=CE=84(m)。
在Rt△DFB中，由D处俯角为75°，得∠BDF=15°，因此BF = DF·tan15° ≈ 84×0.27 ≈ 22.7(m)。
∴ BC = BF + CF = BF + DE ≈ 22.7 + 1552 ≈ 1575(m)。
【答案】
1575m
【知识点】
解直角三角形的应用，俯角，矩形的性质
【点评】
本题考查解直角三角形在实际场景的应用，核心是通过辅助线转化图形，利用三角函数关系求解边长，需学生具备转化思想和运算能力，属于中等难度的实际应用题。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将实际问题转化为直角三角形的边长计算。具体思路：过点D作DE⊥AC、DF⊥BC，构造矩形DECF，利用俯角定义和三角函数，先在Rt△ADE中求出AE、DE，再结合AC的长度得到CE（即DF），最后在Rt△DFB中求出BF，通过BC=BF+DE计算结果。
【解析】
解：过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F。
∵ DE⊥AC，DF⊥BC，AC⊥BC，
∴ 四边形DECF是矩形，因此CF=DE，CE=DF。
在Rt△ADE中，∠DAE=15°，AD=1600m，
∴ AE = AD·sin15° ≈ 1600×0.26 = 416(m)，
DE = AD·cos15° ≈ 1600×0.97 = 1552(m)。
已知AC=500m，故CE = AC - AE = 500 - 416 = 84(m)，即DF=CE=84(m)。
在Rt△DFB中，由D处俯角为75°，得∠BDF=15°，因此BF = DF·tan15° ≈ 84×0.27 ≈ 22.7(m)。
∴ BC = BF + CF = BF + DE ≈ 22.7 + 1552 ≈ 1575(m)。
【答案】
1575m
【知识点】
解直角三角形的应用，俯角，矩形的性质
【点评】
本题考查解直角三角形在实际场景的应用，核心是通过辅助线转化图形，利用三角函数关系求解边长，需学生具备转化思想和运算能力，属于中等难度的实际应用题。
【难度系数】
0.5
