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13. 如图4-1-51，村庄A和B分别在路l的两侧，相距10 km，村庄A在村庄B北偏东60°的方向，村庄A到公路l的距离为3km。现有一辆客车在村庄A南偏西76°方向的C处，正沿公路由西向东以40 km/h的速度行驶，此时，小明以25 km/h的速度由村庄B出发，向北赶往公路l的D处搭乘这趟客车。求村庄B到公路l的距离，并说明小明能否搭乘上这趟客车。（参考数据：$\sqrt{3}\approx 1.73$，$\sin76°\approx0.97$，$\cos76°\approx0.24$，$\tan76°\approx4.01$）
图4-1-51
图4-1-51
答案
13. 提示:过点B作$BF // CE$交AE的延长线于点F. 则 $∠ ABF = 30°$,
$\therefore AF = \frac{1}{2}AB = 5(\mathrm{km})$,
$\therefore BD = EF = AF - AE = 5 - 3 = 2(\mathrm{km})$.
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，
$CE = AE · \tan76° \approx 3 × 4.01 = 12.03(\mathrm{km})$；
由(1)知 $DE = BF = 5\sqrt{3} \approx 8.65(\mathrm{km})$.
由于$(12.03 - 8.65)÷40 - 2÷25 = 0.0045(\mathrm{h})$,
$\therefore$ 小明能搭乘上这趟客车.
解析
【分析】
本题可分两步求解：第一步求村庄B到公路l的距离，已知A、B的位置关系、AB长度和A到公路的距离，先过B作BF平行于公路l，交AE的延长线于点F，可得到矩形BDEF和直角三角形ABF；结合A在B北偏东60°的方向，可推出∠ABF=30°，利用含30°角的直角三角形性质求出AF，即可得到B到公路的距离BD。第二步判断小明能否搭上客车，先在Rt△ACE中利用三角函数求出CE的长度，再求出DE的长度得到C到D的路程，分别计算客车行驶到D点的时间、小明从B到D的时间，比较两者大小即可判断。
【解析】
1. 求村庄B到公路l的距离：
过点B作$BF // CE$，交AE的延长线于点F。
∵ $BD ⊥ l$，$AE ⊥ l$，$BF // l$，
∴ 四边形BDEF是矩形，可得$BD=EF$，$DE=BF$，$∠ F=90°$。
∵ 村庄A在村庄B北偏东60°的方向，
∴ $∠ ABF = 90° - 60° = 30°$。
在$Rt△ ABF$中，$AB=10\mathrm{km}$，
∴ $AF = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 10 = 5(\mathrm{km})$。
已知A到公路l的距离$AE=3\mathrm{km}$，
∴ $BD = EF = AF - AE = 5 - 3 = 2(\mathrm{km})$。
2. 判断小明能否搭乘上客车：
在$Rt△ ACE$中，$∠ CAE=76°$，$AE=3\mathrm{km}$，
∴ $CE = AE · \tan76° \approx 3 × 4.01 = 12.03(\mathrm{km})$。
在$Rt△ ABF$中，$BF = AB · \cos30° = 10 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8.65(\mathrm{km})$，即$DE \approx 8.65\mathrm{km}$。
客车从C行驶到D的时间：$t_1=\frac{CE-DE}{40}=\frac{12.03-8.65}{40}=0.0845(\mathrm{h})$，
小明从B到D的时间：$t_2=\frac{BD}{25}=\frac{2}{25}=0.08(\mathrm{h})$。
因为$t_2＜t_1$，小明比客车更早到达D处，所以小明能搭乘上这趟客车。
（或：$(12.03 - 8.65)÷40 - 2÷25 = 0.0045(\mathrm{h})＞0$，说明小明用时更短，可搭乘上）
【答案】
村庄B到公路l的距离为2km，小明能搭乘上这趟客车。
【知识点】
解直角三角形，方向角，矩形的性质
【点评】
本题结合实际行程场景考查解直角三角形的应用，解题的核心是正确作辅助线构造直角三角形和矩形，结合方向角得到特殊角的度数，灵活运用三角函数、矩形性质和行程公式计算即可。
【难度系数】
0.6
本题可分两步求解：第一步求村庄B到公路l的距离，已知A、B的位置关系、AB长度和A到公路的距离，先过B作BF平行于公路l，交AE的延长线于点F，可得到矩形BDEF和直角三角形ABF；结合A在B北偏东60°的方向，可推出∠ABF=30°，利用含30°角的直角三角形性质求出AF，即可得到B到公路的距离BD。第二步判断小明能否搭上客车，先在Rt△ACE中利用三角函数求出CE的长度，再求出DE的长度得到C到D的路程，分别计算客车行驶到D点的时间、小明从B到D的时间，比较两者大小即可判断。
【解析】
1. 求村庄B到公路l的距离：
过点B作$BF // CE$，交AE的延长线于点F。
∵ $BD ⊥ l$，$AE ⊥ l$，$BF // l$，
∴ 四边形BDEF是矩形，可得$BD=EF$，$DE=BF$，$∠ F=90°$。
∵ 村庄A在村庄B北偏东60°的方向，
∴ $∠ ABF = 90° - 60° = 30°$。
在$Rt△ ABF$中，$AB=10\mathrm{km}$，
∴ $AF = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 10 = 5(\mathrm{km})$。
已知A到公路l的距离$AE=3\mathrm{km}$，
∴ $BD = EF = AF - AE = 5 - 3 = 2(\mathrm{km})$。
2. 判断小明能否搭乘上客车：
在$Rt△ ACE$中，$∠ CAE=76°$，$AE=3\mathrm{km}$，
∴ $CE = AE · \tan76° \approx 3 × 4.01 = 12.03(\mathrm{km})$。
在$Rt△ ABF$中，$BF = AB · \cos30° = 10 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8.65(\mathrm{km})$，即$DE \approx 8.65\mathrm{km}$。
客车从C行驶到D的时间：$t_1=\frac{CE-DE}{40}=\frac{12.03-8.65}{40}=0.0845(\mathrm{h})$，
小明从B到D的时间：$t_2=\frac{BD}{25}=\frac{2}{25}=0.08(\mathrm{h})$。
因为$t_2＜t_1$，小明比客车更早到达D处，所以小明能搭乘上这趟客车。
（或：$(12.03 - 8.65)÷40 - 2÷25 = 0.0045(\mathrm{h})＞0$，说明小明用时更短，可搭乘上）
【答案】
村庄B到公路l的距离为2km，小明能搭乘上这趟客车。
【知识点】
解直角三角形，方向角，矩形的性质
【点评】
本题结合实际行程场景考查解直角三角形的应用，解题的核心是正确作辅助线构造直角三角形和矩形，结合方向角得到特殊角的度数，灵活运用三角函数、矩形性质和行程公式计算即可。
【难度系数】
0.6
14. 如图4-1-52，A，B两幢楼房之间隔着一条河，要求从B楼的对岸测量B楼的高度，只能利用A楼顶部、窗口、底部可以看见B楼这个条件。现仅有的测量工具为皮尺和测角器。（皮尺可以测量长度，测角器可以测量仰角、俯角或两视线间的夹角）
（1）请你设计一个测量B楼高度的方案，要求写出测量步骤和必要的测量数据（用字母表示），并画出测量图形。
（2）用测量的数据，写出计算B楼高度的表达式。（测量数据可用字母表示）
图4-1-52
（1）请你设计一个测量B楼高度的方案，要求写出测量步骤和必要的测量数据（用字母表示），并画出测量图形。
（2）用测量的数据，写出计算B楼高度的表达式。（测量数据可用字母表示）
图4-1-52
答案
方案示意图如图.
① $a + \frac{a · \tanβ}{\tanα}$；
② $a + \frac{a · \tanβ}{\tanα}$；
③ $a + \frac{b · \tanα · \tanβ}{\tanβ - \tanα}$；
④ $a + \frac{a · \tanβ}{\tanα - \tanβ}$.
解析
【分析】
要测量不可到达的B楼高度，需利用可到达的A楼的相关测点构造直角三角形，借助仰角、俯角的三角函数关系，通过公共的水平距离作为中间量建立等式求解。具体思考路径：首先选择A楼上的1~2个观测点，测量观测点到地面的高度，再测量观测点看B楼顶部、底部的仰角或俯角，构造两个含公共水平边的直角三角形，分别用三角函数表示出公共水平边，联立即可求出B楼高度。我们以图①所示方案为例进行推导，其余方案推导思路类似。
【解析】
我们选择方案①进行解答：
测量步骤：
1. 用皮尺测量A楼的高度 $ AC = a $；
2. 站在A楼顶部A点，用测角器分别测量观测B楼顶部B的仰角 $ β $，观测B楼底部D的俯角 $ α $；
3. 过A作水平直线交BD于E，可知四边形ACDE是矩形，因此 $ ED = AC = a $，$ AE $ 为两楼之间的水平距离。
计算过程：
在 $ \mathrm{Rt}△ AED $ 中，$ ∠ EAD = α $，由正切定义：
$ \tanα = \frac{ED}{AE} $，可得 $ AE = \frac{ED}{\tanα} = \frac{a}{\tanα} $。
在 $ \mathrm{Rt}△ ABE $ 中，$ ∠ BAE = β $，由正切定义：
$ \tanβ = \frac{BE}{AE} $，可得 $ BE = AE · \tanβ = \frac{a · \tanβ}{\tanα} $。
因此B楼高度 $ BD = BE + ED = a + \frac{a · \tanβ}{\tanα} $。
其余3种方案的推导逻辑与上述一致，均通过构造直角三角形、利用公共边建立等量关系求出B楼高度。
【答案】
方案示意图如下：
对应4种方案的B楼高度表达式分别为：
① $ a + \frac{a · \tanβ}{\tanα} $；
② $ a + \frac{a · \tanβ}{\tanα} $；
③ $ a + \frac{b · \tanα · \tanβ}{\tanβ - \tanα} $；
④ $ a + \frac{a · \tanβ}{\tanα - \tanβ} $。
【知识点】
解直角三角形应用，仰角俯角，锐角三角函数
【点评】
本题属于开放性测量设计题，答案不唯一，合理即可。解题核心是结合实际场景构造直角三角形，利用锐角三角函数建立边长之间的关系，通过公共中间量推导未知高度，考查了知识的实际应用能力和方案设计能力。
【难度系数】
0.6
要测量不可到达的B楼高度，需利用可到达的A楼的相关测点构造直角三角形，借助仰角、俯角的三角函数关系，通过公共的水平距离作为中间量建立等式求解。具体思考路径：首先选择A楼上的1~2个观测点，测量观测点到地面的高度，再测量观测点看B楼顶部、底部的仰角或俯角，构造两个含公共水平边的直角三角形，分别用三角函数表示出公共水平边，联立即可求出B楼高度。我们以图①所示方案为例进行推导，其余方案推导思路类似。
【解析】
我们选择方案①进行解答：
测量步骤：
1. 用皮尺测量A楼的高度 $ AC = a $；
2. 站在A楼顶部A点，用测角器分别测量观测B楼顶部B的仰角 $ β $，观测B楼底部D的俯角 $ α $；
3. 过A作水平直线交BD于E，可知四边形ACDE是矩形，因此 $ ED = AC = a $，$ AE $ 为两楼之间的水平距离。
计算过程：
在 $ \mathrm{Rt}△ AED $ 中，$ ∠ EAD = α $，由正切定义：
$ \tanα = \frac{ED}{AE} $，可得 $ AE = \frac{ED}{\tanα} = \frac{a}{\tanα} $。
在 $ \mathrm{Rt}△ ABE $ 中，$ ∠ BAE = β $，由正切定义：
$ \tanβ = \frac{BE}{AE} $，可得 $ BE = AE · \tanβ = \frac{a · \tanβ}{\tanα} $。
因此B楼高度 $ BD = BE + ED = a + \frac{a · \tanβ}{\tanα} $。
其余3种方案的推导逻辑与上述一致，均通过构造直角三角形、利用公共边建立等量关系求出B楼高度。
【答案】
方案示意图如下：
对应4种方案的B楼高度表达式分别为：
① $ a + \frac{a · \tanβ}{\tanα} $；
② $ a + \frac{a · \tanβ}{\tanα} $；
③ $ a + \frac{b · \tanα · \tanβ}{\tanβ - \tanα} $；
④ $ a + \frac{a · \tanβ}{\tanα - \tanβ} $。
【知识点】
解直角三角形应用，仰角俯角，锐角三角函数
【点评】
本题属于开放性测量设计题，答案不唯一，合理即可。解题核心是结合实际场景构造直角三角形，利用锐角三角函数建立边长之间的关系，通过公共中间量推导未知高度，考查了知识的实际应用能力和方案设计能力。
【难度系数】
0.6
