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8.如图4-1-47，某水库大坝的横断面为梯形ABCD，BC // AD，坝顶宽6m，坝高24m，斜坡AB的坡角为45°，斜坡CD的坡度i=1:2，则坝底AD等于 …………【 】
A.45m
B.$(30 + 24\sqrt{3})m$
C.78m
D.$(30 + 8\sqrt{3})m$
A.45m
B.$(30 + 24\sqrt{3})m$
C.78m
D.$(30 + 8\sqrt{3})m$
答案
8. C.
解析
【分析】
要解决梯形坝底长度的计算问题，我们可以通过作高将梯形转化为熟悉的矩形和直角三角形来求解：第一步，过梯形上底的两个端点向下底作垂线，得到一个矩形和两个直角三角形，其中矩形的长等于坝顶宽，高等于坝高；第二步，利用斜坡AB的坡角为45°，在左侧直角三角形中求出对应的水平边长；第三步，利用斜坡CD的坡度定义，在右侧直角三角形中求出对应的水平边长；最后将三段水平长度相加即可得到坝底AD的长度。
【解析】
过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F。
∵BC//AD，BE⊥AD，CF⊥AD，
∴四边形BEFC是矩形，
∴EF=BC=6m，BE=CF=24m。
在Rt△ABE中，∠A=45°，∠AEB=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=BE=24m。
在Rt△CFD中，斜坡CD的坡度i=CF:FD=1:2，
将CF=24m代入得：24:FD=1:2，
解得FD=48m。
∴AD=AE+EF+FD=24+6+48=78m。
【答案】
C
【知识点】
解直角三角形应用；坡度坡角定义；梯形辅助线作法
【点评】
本题是解直角三角形在实际工程问题中的常见题型，核心解题思路是通过作高将梯形问题转化为直角三角形和矩形问题，需要准确掌握坡度是垂直高度与水平宽度的比值，避免比例关系弄反，整体解题逻辑清晰，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
要解决梯形坝底长度的计算问题，我们可以通过作高将梯形转化为熟悉的矩形和直角三角形来求解：第一步，过梯形上底的两个端点向下底作垂线，得到一个矩形和两个直角三角形，其中矩形的长等于坝顶宽，高等于坝高；第二步，利用斜坡AB的坡角为45°，在左侧直角三角形中求出对应的水平边长；第三步，利用斜坡CD的坡度定义，在右侧直角三角形中求出对应的水平边长；最后将三段水平长度相加即可得到坝底AD的长度。
【解析】
过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F。
∵BC//AD，BE⊥AD，CF⊥AD，
∴四边形BEFC是矩形，
∴EF=BC=6m，BE=CF=24m。
在Rt△ABE中，∠A=45°，∠AEB=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=BE=24m。
在Rt△CFD中，斜坡CD的坡度i=CF:FD=1:2，
将CF=24m代入得：24:FD=1:2，
解得FD=48m。
∴AD=AE+EF+FD=24+6+48=78m。
【答案】
C
【知识点】
解直角三角形应用；坡度坡角定义；梯形辅助线作法
【点评】
本题是解直角三角形在实际工程问题中的常见题型，核心解题思路是通过作高将梯形问题转化为直角三角形和矩形问题，需要准确掌握坡度是垂直高度与水平宽度的比值，避免比例关系弄反，整体解题逻辑清晰，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
9.在高为60 m的小山上，测得山底一座建筑物顶端与底部的俯角分别是$30°$和$60°$，这个建筑物的高度是………………【 】
A.20 m
B.30 m
C.40 m
D.50 m
A.20 m
B.30 m
C.40 m
D.50 m
答案
9. C.
解析
【分析】
这是解直角三角形的实际应用类题目，解题思路如下：第一步先明确俯角的定义（视线与水平线向下的夹角），将实际场景转化为平面几何图形；第二步通过作垂直辅助线构造两个直角三角形，同时得到矩形，利用矩形对边相等的性质建立两条边的等量关系；第三步先利用60°俯角对应的直角三角形求出山和建筑物的水平距离；第四步再利用30°俯角对应的直角三角形求出山比建筑物高出的高度；最后用山的总高度减去高出的部分，即可得到建筑物的高度。
【解析】
解：设山的顶点为$A$，山底为$B$，建筑物为$CD$（$D$为底部、$C$为顶端），建筑物高度$CD=h\ \mathrm{m}$。过$C$作$CE⊥ AB$，垂足为$E$。
易知四边形$CEBD$是矩形，因此$CE=BD$，$BE=CD=h$。
根据俯角的性质（水平线与地面平行，内错角相等）：看建筑物底部的俯角为$60°$，则$∠ ADB=60°$；看建筑物顶部的俯角为$30°$，则$∠ ACE=30°$。
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AB=60\ \mathrm{m}$：
$\tan60°=\frac{AB}{BD}$，即$\sqrt{3}=\frac{60}{BD}$，解得$BD=\frac{60}{\sqrt{3}}=20\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，因此$CE=BD=20\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$AE=AB-BE=60-h$：
$\tan30°=\frac{AE}{CE}$，即$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{60-h}{20\sqrt{3}}$，交叉计算得$60-h=20$，解得$h=40\ \mathrm{m}$。
因此建筑物高度为$40\ \mathrm{m}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
解直角三角形的应用，俯角的定义，特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形的典型基础应用题，核心考查学生将实际问题转化为几何模型的能力，解题的关键是正确理解俯角的含义，合理构造直角三角形，结合特殊角的三角函数值建立等量关系求解。
【难度系数】
0.7
这是解直角三角形的实际应用类题目，解题思路如下：第一步先明确俯角的定义（视线与水平线向下的夹角），将实际场景转化为平面几何图形；第二步通过作垂直辅助线构造两个直角三角形，同时得到矩形，利用矩形对边相等的性质建立两条边的等量关系；第三步先利用60°俯角对应的直角三角形求出山和建筑物的水平距离；第四步再利用30°俯角对应的直角三角形求出山比建筑物高出的高度；最后用山的总高度减去高出的部分，即可得到建筑物的高度。
【解析】
解：设山的顶点为$A$，山底为$B$，建筑物为$CD$（$D$为底部、$C$为顶端），建筑物高度$CD=h\ \mathrm{m}$。过$C$作$CE⊥ AB$，垂足为$E$。
易知四边形$CEBD$是矩形，因此$CE=BD$，$BE=CD=h$。
根据俯角的性质（水平线与地面平行，内错角相等）：看建筑物底部的俯角为$60°$，则$∠ ADB=60°$；看建筑物顶部的俯角为$30°$，则$∠ ACE=30°$。
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AB=60\ \mathrm{m}$：
$\tan60°=\frac{AB}{BD}$，即$\sqrt{3}=\frac{60}{BD}$，解得$BD=\frac{60}{\sqrt{3}}=20\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，因此$CE=BD=20\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$AE=AB-BE=60-h$：
$\tan30°=\frac{AE}{CE}$，即$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{60-h}{20\sqrt{3}}$，交叉计算得$60-h=20$，解得$h=40\ \mathrm{m}$。
因此建筑物高度为$40\ \mathrm{m}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
解直角三角形的应用，俯角的定义，特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形的典型基础应用题，核心考查学生将实际问题转化为几何模型的能力，解题的关键是正确理解俯角的含义，合理构造直角三角形，结合特殊角的三角函数值建立等量关系求解。
【难度系数】
0.7
10.小明测量一棵树的高度，他发现树的影子落在地面和一个斜坡上，如图4-1-48，此时测得地面上的影长为8m，坡面上的影长为4m。已知斜坡的坡角为$30°$，同时一根长为1m、垂直地面放置的标杆在地面上的影长为2m，那么树的高度为 ………………【 】
A.$12\mathrm{m}$
B.$(6+\sqrt{3})\mathrm{m}$
C.$10\mathrm{m}$
D.$(4+2\sqrt{3})\mathrm{m}$
图4-1-48
A.$12\mathrm{m}$
B.$(6+\sqrt{3})\mathrm{m}$
C.$10\mathrm{m}$
D.$(4+2\sqrt{3})\mathrm{m}$
图4-1-48
答案
10. B.
解析
【分析】
这是一道解直角三角形与平行投影结合的应用题，解题思路如下：1. 先利用坡角和坡面影长，计算出坡面上影子端点的竖直高度和该点到坡脚的水平距离；2. 同一时刻平行投影下，垂直地面的物体高度与地面影长的比值是固定值，树顶到坡面影子端点的光线与标杆的光线平行，因此两者的竖直高度差与水平距离的比值等于标杆的物高与影长的比值；3. 代入数据列方程求解即可得到树高。
【解析】
设树的高度为$ H $ m。
1. 处理坡面影长：已知坡面影长为4m，坡角为$ 30° $，过坡面上影子的端点作地面的垂线，根据三角函数定义可得：
该点距离地面的竖直高度$ h = 4×\sin30° = 4×\frac{1}{2}=2\,\mathrm{m} $
该点到坡脚的水平距离$ l = 4×\cos30° = 4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\,\mathrm{m} $
2. 利用平行投影性质：同一时刻垂直地面的物体高度与地面影长的比值相等，已知1m标杆的地面影长为2m，因此该比值为$\frac{1}{2}$。
树顶与坡面影子端点的竖直高度差为$ (H-2) $ m，两者的水平距离为地面影长与坡上点到坡脚水平距离之和，即$ (8 + 2\sqrt{3}) $ m，根据光线斜率一致可列方程：
$\frac{H - 2}{8 + 2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$
3. 解方程：
两边同乘$ 8 + 2\sqrt{3} $得：$ H - 2 = \frac{8 + 2\sqrt{3}}{2} = 4 + \sqrt{3} $
移项得：$ H = 6 + \sqrt{3} $
即树高为$ (6+\sqrt{3})\,\mathrm{m} $。
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形的应用；平行投影的性质
【点评】
本题结合实际测量场景考查解直角三角形和平行投影的应用，解题关键是将坡面的影子转化为对应的竖直高度和水平投影长度，再结合平行投影下物高与影长成正比的性质列式计算，需要注意不要遗漏坡面上影子的水平投影长度。
【难度系数】
0.65
这是一道解直角三角形与平行投影结合的应用题，解题思路如下：1. 先利用坡角和坡面影长，计算出坡面上影子端点的竖直高度和该点到坡脚的水平距离；2. 同一时刻平行投影下，垂直地面的物体高度与地面影长的比值是固定值，树顶到坡面影子端点的光线与标杆的光线平行，因此两者的竖直高度差与水平距离的比值等于标杆的物高与影长的比值；3. 代入数据列方程求解即可得到树高。
【解析】
设树的高度为$ H $ m。
1. 处理坡面影长：已知坡面影长为4m，坡角为$ 30° $，过坡面上影子的端点作地面的垂线，根据三角函数定义可得：
该点距离地面的竖直高度$ h = 4×\sin30° = 4×\frac{1}{2}=2\,\mathrm{m} $
该点到坡脚的水平距离$ l = 4×\cos30° = 4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\,\mathrm{m} $
2. 利用平行投影性质：同一时刻垂直地面的物体高度与地面影长的比值相等，已知1m标杆的地面影长为2m，因此该比值为$\frac{1}{2}$。
树顶与坡面影子端点的竖直高度差为$ (H-2) $ m，两者的水平距离为地面影长与坡上点到坡脚水平距离之和，即$ (8 + 2\sqrt{3}) $ m，根据光线斜率一致可列方程：
$\frac{H - 2}{8 + 2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$
3. 解方程：
两边同乘$ 8 + 2\sqrt{3} $得：$ H - 2 = \frac{8 + 2\sqrt{3}}{2} = 4 + \sqrt{3} $
移项得：$ H = 6 + \sqrt{3} $
即树高为$ (6+\sqrt{3})\,\mathrm{m} $。
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形的应用；平行投影的性质
【点评】
本题结合实际测量场景考查解直角三角形和平行投影的应用，解题关键是将坡面的影子转化为对应的竖直高度和水平投影长度，再结合平行投影下物高与影长成正比的性质列式计算，需要注意不要遗漏坡面上影子的水平投影长度。
【难度系数】
0.65
11.如图4-1-49,在监测点B处望见一艘渔船在南偏西$15°$方向的A处,渔船沿北偏西$75°$方向以$40\ \mathrm{km/h}$的速度航行,航行半小时后到达C处,在C处观测到B在C的北偏东$60°$方向上,则B和C之间的距离为【 】
A.$20\ \mathrm{km}$
B.$10\sqrt{3}\ \mathrm{km}$
C.$20\sqrt{2}\ \mathrm{km}$
D.$30\ \mathrm{km}$
A.$20\ \mathrm{km}$
B.$10\sqrt{3}\ \mathrm{km}$
C.$20\sqrt{2}\ \mathrm{km}$
D.$30\ \mathrm{km}$
答案
11. C.
解析
【分析】
解题时先根据渔船的航行速度和时间计算出AC的长度，再结合方向角的定义，依次求出△ABC中∠CAB、∠ACB的度数，判断出△ABC为等腰直角三角形，最后利用勾股定理计算BC的长度即可。
【解析】
1. 计算AC的长度：
渔船航行速度为40 km/h，航行时间为半小时即0.5 h，因此$AC = 速度×时间 = 40×0.5 = 20\ \mathrm{km}$。
2. 计算△ABC的内角度数：
求∠CAB：由题意，A处看B为北偏东15°，A处看C为北偏西75°，因此$∠ CAB = 15°+75° = 90°$。
求∠ACB：C处看B为北偏东60°，C处看A为南偏东75°，因此$∠ ACB = 180°-60°-75° = 45°$。
由此可得△ABC中，$∠ B = 180°-90°-45° = 45°$，即△ABC为等腰直角三角形，$AC = AB = 20\ \mathrm{km}$。
3. 计算BC的长度：
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AC^2+AB^2} = \sqrt{20^2+20^2} = 20\sqrt{2}\ \mathrm{km}$。
【答案】
C
【知识点】
方向角识别，勾股定理，三角形内角和
【点评】
本题核心是正确理解方向角的含义，准确求出三角形内角是解题的关键，只要能理清各角的位置关系，结合特殊直角三角形的性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先根据渔船的航行速度和时间计算出AC的长度，再结合方向角的定义，依次求出△ABC中∠CAB、∠ACB的度数，判断出△ABC为等腰直角三角形，最后利用勾股定理计算BC的长度即可。
【解析】
1. 计算AC的长度：
渔船航行速度为40 km/h，航行时间为半小时即0.5 h，因此$AC = 速度×时间 = 40×0.5 = 20\ \mathrm{km}$。
2. 计算△ABC的内角度数：
求∠CAB：由题意，A处看B为北偏东15°，A处看C为北偏西75°，因此$∠ CAB = 15°+75° = 90°$。
求∠ACB：C处看B为北偏东60°，C处看A为南偏东75°，因此$∠ ACB = 180°-60°-75° = 45°$。
由此可得△ABC中，$∠ B = 180°-90°-45° = 45°$，即△ABC为等腰直角三角形，$AC = AB = 20\ \mathrm{km}$。
3. 计算BC的长度：
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AC^2+AB^2} = \sqrt{20^2+20^2} = 20\sqrt{2}\ \mathrm{km}$。
【答案】
C
【知识点】
方向角识别，勾股定理，三角形内角和
【点评】
本题核心是正确理解方向角的含义，准确求出三角形内角是解题的关键，只要能理清各角的位置关系，结合特殊直角三角形的性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
12.如图4-1-50,在一次演习中,一艘潜艇在海面以下600m的点A处测得仰角为$30°$正前方的海面上C处有一艘可疑军舰,潜艇在同一深度以$300\sqrt{3}$ m/min的速度向前航行20min到达点B处,测得该军舰在仰角为$60°$正前方的海面上D处,求军舰的平均速度.
(精确到1m.参考数据:$\sqrt{2}\approx1.414,\sqrt{3}\approx1.732,\sqrt{5}\approx2.236$)
图4-1-50
(精确到1m.参考数据:$\sqrt{2}\approx1.414,\sqrt{3}\approx1.732,\sqrt{5}\approx2.236$)
图4-1-50
答案
提示:如图,分别过点C,D作AB的垂线,垂足分别为E,F. 则 $CE = DF = 600\mathrm{m}$,
$AE = 600\sqrt{3}\mathrm{m}$, $BF = 200\sqrt{3}\mathrm{m}$.
$\therefore CD = EF = AB - AE + BF = 5600\sqrt{3}(\mathrm{m})$.
$\therefore$ 军舰的平均速度为
$5600\sqrt{3} ÷ 20 = 280\sqrt{3} \approx 485 (\mathrm{m/min})$.
解析
【分析】
本题属于解直角三角形的实际应用问题，解题思路如下：1. 首先作辅助线构造直角三角形与矩形：过C、D分别作AB所在直线的垂线，得到两个直角三角形Rt△ACE、Rt△BDF和矩形CEFD，利用矩形性质可知军舰航行的路程CD等于EF的长度；2. 先根据潜艇的速度和航行时间算出AB的长度；3. 分别在两个直角三角形中，利用锐角三角函数求出AE、BF的长度；4. 结合线段和差关系算出EF即CD的长度，最后根据“速度=路程÷时间”求出军舰的平均速度。
【解析】
解：分别过点C、D作AB所在直线的垂线，垂足分别为E、F，如图。
由题意可知，潜艇始终在海面下600m航行，因此$CE=DF=600\mathrm{m}$，且$CE// DF$，$CD// EF$，故四边形CEFD是矩形，可得$CD=EF$。
①计算潜艇航行的路程AB：
潜艇速度为$300\sqrt{3}\mathrm{m/min}$，航行时间为20min，因此
$AB=300\sqrt{3} × 20 = 6000\sqrt{3}\mathrm{m}$。
②在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ A=30°$，$CE=600\mathrm{m}$，
$\because \tan30°=\frac{CE}{AE}$，
$\therefore AE=\frac{CE}{\tan30°}=\frac{600}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=600\sqrt{3}\mathrm{m}$。
③在$\mathrm{Rt}△ BDF$中，$∠ DBF=60°$，$DF=600\mathrm{m}$，
$\because \tan60°=\frac{DF}{BF}$，
$\therefore BF=\frac{DF}{\tan60°}=\frac{600}{\sqrt{3}}=200\sqrt{3}\mathrm{m}$。
④计算CD的长度：
$CD=EF=AB - AE + BF=6000\sqrt{3} - 600\sqrt{3} + 200\sqrt{3}=5600\sqrt{3}\mathrm{m}$。
⑤计算军舰的平均速度：
军舰航行时间与潜艇相同，为20min，因此
$v=\frac{CD}{20}=\frac{5600\sqrt{3}}{20}=280\sqrt{3}\approx280×1.732\approx485(\mathrm{m/min})$。
【答案】
军舰的平均速度约为$\boxed{485\mathrm{m/min}}$。
【知识点】
解直角三角形的应用，锐角三角函数，矩形的性质
【点评】
本题结合航海场景考查解直角三角形的实际应用，解题的核心是通过作垂线构造直角三角形，将实际问题中的角度、长度条件转化为直角三角形的边角关系进行计算，同时要注意挖掘隐含的矩形性质简化线段长度的推导。
【难度系数】
0.7
本题属于解直角三角形的实际应用问题，解题思路如下：1. 首先作辅助线构造直角三角形与矩形：过C、D分别作AB所在直线的垂线，得到两个直角三角形Rt△ACE、Rt△BDF和矩形CEFD，利用矩形性质可知军舰航行的路程CD等于EF的长度；2. 先根据潜艇的速度和航行时间算出AB的长度；3. 分别在两个直角三角形中，利用锐角三角函数求出AE、BF的长度；4. 结合线段和差关系算出EF即CD的长度，最后根据“速度=路程÷时间”求出军舰的平均速度。
【解析】
解：分别过点C、D作AB所在直线的垂线，垂足分别为E、F，如图
。由题意可知，潜艇始终在海面下600m航行，因此$CE=DF=600\mathrm{m}$，且$CE// DF$，$CD// EF$，故四边形CEFD是矩形，可得$CD=EF$。
①计算潜艇航行的路程AB：
潜艇速度为$300\sqrt{3}\mathrm{m/min}$，航行时间为20min，因此
$AB=300\sqrt{3} × 20 = 6000\sqrt{3}\mathrm{m}$。
②在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ A=30°$，$CE=600\mathrm{m}$，
$\because \tan30°=\frac{CE}{AE}$，
$\therefore AE=\frac{CE}{\tan30°}=\frac{600}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=600\sqrt{3}\mathrm{m}$。
③在$\mathrm{Rt}△ BDF$中，$∠ DBF=60°$，$DF=600\mathrm{m}$，
$\because \tan60°=\frac{DF}{BF}$，
$\therefore BF=\frac{DF}{\tan60°}=\frac{600}{\sqrt{3}}=200\sqrt{3}\mathrm{m}$。
④计算CD的长度：
$CD=EF=AB - AE + BF=6000\sqrt{3} - 600\sqrt{3} + 200\sqrt{3}=5600\sqrt{3}\mathrm{m}$。
⑤计算军舰的平均速度：
军舰航行时间与潜艇相同，为20min，因此
$v=\frac{CD}{20}=\frac{5600\sqrt{3}}{20}=280\sqrt{3}\approx280×1.732\approx485(\mathrm{m/min})$。
【答案】
军舰的平均速度约为$\boxed{485\mathrm{m/min}}$。
【知识点】
解直角三角形的应用，锐角三角函数，矩形的性质
【点评】
本题结合航海场景考查解直角三角形的实际应用，解题的核心是通过作垂线构造直角三角形，将实际问题中的角度、长度条件转化为直角三角形的边角关系进行计算，同时要注意挖掘隐含的矩形性质简化线段长度的推导。
【难度系数】
0.7
