1. 一经营者要把如图所示的区域分隔成三个面积相同的商铺出租.已知铺面两面靠墙,墙长分别为8 m和30 m,三间商铺都在沿街开一个1 m宽的门.经营者共用去板材45 m(不计损耗).
(1)若三间商铺总面积为180 m²,每间商铺的长和宽分别是多少?
(2)小王作为个体经商户,希望同时租下三间铺面开设不同的商铺,但要求在不增加板材的基础上,使这三间商铺的总面积达到最大.已知商铺的租金为每月200元/m²,请问:小王每月需要付给经营者多少租金?

(1) 设垂直于30米墙的一边长x m，则$GB = BD = DF = \frac{45+3-3x}{3}=(16-x)\mathrm{m}$。由题意，得$3x(16-x)=180$，整理得$x^2-16x+60=0$，解得$x_1=10,x_2=6$。由题意，得$\begin{cases}x≤8,\\16-x≤\frac{30}{3},\end{cases}$解得$6≤ x≤8$。$\therefore x=6,16-x=10$。故每间商铺的长为10 m，宽为6 m。
(2) 设三间商铺的总面积为y平方米，则$y=3x(16-x)=-3x^2+48x$，$\therefore$抛物线的开口向下，对称轴为直线$x=8$。$\because6≤ x≤8$，$\therefore$当$x=8$时，y最大，最大值为192，$\therefore$总的租金为$192×200=38400$（元）。故小王每月需要付给经营者38400元租金。

2. 如图,在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动,黑球在A处开始减速,此时白球在黑球前面70 cm处.
小聪测量黑球减速后的运动速度v(单位:cm/s)、运动距离y(单位:cm)随运动时间t(单位:s)变化的数据,整理得下表.

| 运动时间 t/s | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 运动速度 v(cm/s) | 109.5 | 9 | 8.5 | 8 |
| 运动距离 y/cm | 0 | 9.75 | 19 | 27.75 | 36 |
小聪探究发现,黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系,运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系.
(1)直接写出v关于t的函数表达式和y关于t的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围);
(2)当黑球减速后运动距离为64 cm时,求它此时的运动速度;
(3)若白球一直以2 cm/s的速度匀速运动,问:黑球在运动过程中会不会碰到白球?请说明理由.

(1) $v=-\frac{1}{2}t+10$，$y=-\frac{1}{4}t^2+10t$。
(2) 依题意得$-\frac{1}{4}t^2+10t=64$，$\therefore t^2-40t+256=0$，解得$t_1=8,t_2=32$。当$t_1=8$时，$v=6$；当$t_2=32$时，$v=-6$(舍去)。$\therefore$黑球减速后运动距离为64 cm时的速度为6 cm/s。
(3) 不会。理由：设黑、白两球的距离为w cm。依题意得$w=70+2t-y=\frac{1}{4}t^2-8t+70=\frac{1}{4}(t-16)^2+6$。$\because\frac{1}{4}＞0$，$\therefore$当$t=16$时，w的值最小，为6，$\therefore$黑、白两球的最小距离为6 cm。故黑球在运动过程中不会碰到白球。
另解1：当$w=0$时，$\frac{1}{4}t^2-8t+70=0$，判定方程无解。
另解2：当黑球的速度减小到2 cm/s时，如果黑球没有碰到白球，此后，速度低于白球速度，就不会碰到白球。先确定黑球速度为2 cm/s时，其运动时间为16 s，再判断黑、白两球的运动距离之差小于70 cm。