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一、选择题
1. 方程$x^2 -4=0$的解是(
A.$x=2$
B.$x=-2$
C.$x_1=2,x_2=-2$
D.$x=4$
1. 方程$x^2 -4=0$的解是(
C
)A.$x=2$
B.$x=-2$
C.$x_1=2,x_2=-2$
D.$x=4$
答案
1. C
解析
【分析】
拿到该题首先观察方程结构：方程$x^2 -4=0$缺少一次项，适合用直接开平方法或因式分解法求解。首先可以用直接开平方法的思路：先将常数项移到等号右侧，得到$x^2=4$，根据平方根的性质，正数的平方根有两个且互为相反数，因此方程有两个不相等的实数根，可直接排除仅给出单个解的A、B选项，D选项明显不符合计算结果，即可锁定正确答案；也可通过因式分解法，将左侧用平方差公式分解后，根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”求解，验证答案。
【解析】
方法一：直接开平方法
解：移项，得$x^2=4$，
两边同时开平方，得$x=\pm\sqrt{4}=\pm2$，
即$x_1=2$，$x_2=-2$。
方法二：因式分解法
解：原方程利用平方差公式变形，得$(x-2)(x+2)=0$，
则$x-2=0$或$x+2=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=-2$。
由此可知，选择C。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考察对直接开平方法、因式分解法这两种基础解法的掌握，解题时需注意正数开平方有两个互为相反数的根，避免漏解。
【难度系数】
0.9
拿到该题首先观察方程结构：方程$x^2 -4=0$缺少一次项，适合用直接开平方法或因式分解法求解。首先可以用直接开平方法的思路：先将常数项移到等号右侧，得到$x^2=4$，根据平方根的性质，正数的平方根有两个且互为相反数，因此方程有两个不相等的实数根，可直接排除仅给出单个解的A、B选项，D选项明显不符合计算结果，即可锁定正确答案；也可通过因式分解法，将左侧用平方差公式分解后，根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”求解，验证答案。
【解析】
方法一：直接开平方法
解：移项，得$x^2=4$，
两边同时开平方，得$x=\pm\sqrt{4}=\pm2$，
即$x_1=2$，$x_2=-2$。
方法二：因式分解法
解：原方程利用平方差公式变形，得$(x-2)(x+2)=0$，
则$x-2=0$或$x+2=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=-2$。
由此可知，选择C。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考察对直接开平方法、因式分解法这两种基础解法的掌握，解题时需注意正数开平方有两个互为相反数的根，避免漏解。
【难度系数】
0.9
2. 方程$3x^2=75$的解是(
A.5
B.-5
C.25
D.5或-5
D
)A.5
B.-5
C.25
D.5或-5
答案
2. D
解析
【分析】
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：首先观察方程形式，属于$ax^2=b$（$a$、$b$同号且$a≠0$）的类型，适合用直接开平方法求解。第一步先将$x^2$的系数化为1，第二步对化简后的方程两边直接开平方，注意正数的平方根有两个、互为相反数，不要漏解，最后匹配选项即可。
【解析】
解：对原方程$3x^2=75$进行求解：
1. 系数化为1：方程两边同时除以3，得$x^2=25$；
2. 直接开平方：根据平方根的定义，25的平方根为$\pm5$，因此$x=\pm5$，即方程的解为$x_1=5$，$x_2=-5$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题时需注意正数开平方得到两个互为相反数的根，避免因漏算负根选错答案。
【难度系数】
0.9
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：首先观察方程形式，属于$ax^2=b$（$a$、$b$同号且$a≠0$）的类型，适合用直接开平方法求解。第一步先将$x^2$的系数化为1，第二步对化简后的方程两边直接开平方，注意正数的平方根有两个、互为相反数，不要漏解，最后匹配选项即可。
【解析】
解：对原方程$3x^2=75$进行求解：
1. 系数化为1：方程两边同时除以3，得$x^2=25$；
2. 直接开平方：根据平方根的定义，25的平方根为$\pm5$，因此$x=\pm5$，即方程的解为$x_1=5$，$x_2=-5$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题时需注意正数开平方得到两个互为相反数的根，避免因漏算负根选错答案。
【难度系数】
0.9
3. 若$(x+1)^2=1$，则$x$的值是(
A.$\pm1$
B.$\pm2$
C.$0$或$2$
D.$0$或$-2$
D
)A.$\pm1$
B.$\pm2$
C.$0$或$2$
D.$0$或$-2$
答案
3. D
解析
【分析】
本题考查用直接开平方法求解一元二次方程，解题时可将$(x+1)$看作一个整体，根据平方根的性质：若$a^2=b(b≥0)$，则$a=\pm\sqrt{b}$，将原方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到$x$的取值。
【解析】
已知$(x+1)^2=1$，
根据平方根的定义，对等式两边同时开平方，得：
$x+1=\pm1$
分两种情况计算：
①当$x+1=1$时，移项解得$x=1-1=0$；
②当$x+1=-1$时，移项解得$x=-1-1=-2$。
综上，$x$的值为$0$或$-2$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，解题核心是将括号内的式子视为整体进行开方运算，不需要展开方程即可快速转化为一次方程求解，掌握平方根的性质即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
本题考查用直接开平方法求解一元二次方程，解题时可将$(x+1)$看作一个整体，根据平方根的性质：若$a^2=b(b≥0)$，则$a=\pm\sqrt{b}$，将原方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到$x$的取值。
【解析】
已知$(x+1)^2=1$，
根据平方根的定义，对等式两边同时开平方，得：
$x+1=\pm1$
分两种情况计算：
①当$x+1=1$时，移项解得$x=1-1=0$；
②当$x+1=-1$时，移项解得$x=-1-1=-2$。
综上，$x$的值为$0$或$-2$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，解题核心是将括号内的式子视为整体进行开方运算，不需要展开方程即可快速转化为一次方程求解，掌握平方根的性质即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
4. 一元二次方程$(x-1)^2=2$的解是(
A.$x_1=-1-\sqrt{2}, x_2=-1+\sqrt{2}$
B.$x_1=1-\sqrt{2}, x_2=1+\sqrt{2}$
C.$x_1=3, x_2=-1$
D.$x_1=1, x_2=-3$
B
)A.$x_1=-1-\sqrt{2}, x_2=-1+\sqrt{2}$
B.$x_1=1-\sqrt{2}, x_2=1+\sqrt{2}$
C.$x_1=3, x_2=-1$
D.$x_1=1, x_2=-3$
答案
4. B
解析
【分析】
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：首先观察方程结构，左边是关于x的完全平方式，右边是正数2，符合直接开平方法解方程的特征（形如$a^2=b$，$b≥0$），因此可以通过两边开平方将二次方程降为一次方程，再求解一次方程即可得到原方程的解，最后对应选项选出正确答案。
【解析】
解：对于方程$(x-1)^2=2$，
根据平方根的定义，两边同时开平方，得：
$x-1=\pm\sqrt{2}$，
移项求解$x$，得：
$x=1\pm\sqrt{2}$，
即原方程的解为$x_1=1-\sqrt{2}$，$x_2=1+\sqrt{2}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的定义
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，核心是掌握直接开平方法的适用方程结构，通过开平方实现降次，把二次方程转化为一次方程求解，计算难度低。
【难度系数】
0.85
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：首先观察方程结构，左边是关于x的完全平方式，右边是正数2，符合直接开平方法解方程的特征（形如$a^2=b$，$b≥0$），因此可以通过两边开平方将二次方程降为一次方程，再求解一次方程即可得到原方程的解，最后对应选项选出正确答案。
【解析】
解：对于方程$(x-1)^2=2$，
根据平方根的定义，两边同时开平方，得：
$x-1=\pm\sqrt{2}$，
移项求解$x$，得：
$x=1\pm\sqrt{2}$，
即原方程的解为$x_1=1-\sqrt{2}$，$x_2=1+\sqrt{2}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的定义
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，核心是掌握直接开平方法的适用方程结构，通过开平方实现降次，把二次方程转化为一次方程求解，计算难度低。
【难度系数】
0.85
5. 用直接开平方法解方程$(3x+1)^2=(2x-5)^2$，正确的是(
A.$3x+1=2x-5$
B.$3x+1=-(2x-5)$
C.$3x+1=\pm(2x-5)$
D.$3x+1=\pm2x-5$
C
)A.$3x+1=2x-5$
B.$3x+1=-(2x-5)$
C.$3x+1=\pm(2x-5)$
D.$3x+1=\pm2x-5$
答案
5. C
解析
【分析】
解题时首先回忆直接开平方法的依据：平方根的性质，若两个数的平方相等，则这两个数相等或互为相反数，对应方程$A^2=B^2$的解为$A=\pm B$。本题中可将$3x+1$看作A，$2x-5$看作B，代入后得到开平方的结果，再逐一比对选项即可选出正确答案。
【解析】
根据直接开平方法的运算规则：
对于方程$(3x+1)^2=(2x-5)^2$，两边同时开平方可得：
$3x+1=\pm(2x-5)$
对各选项判断如下：
A.仅考虑了两式相等的情况，遗漏了互为相反数的情况，错误；
B.仅考虑了两式互为相反数的情况，遗漏了相等的情况，错误；
C.符合开平方的运算结果，正确；
D.未将$2x-5$作为整体添加正负号，符号运用错误，错误。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法，平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法的基础考查题，解题关键是牢记平方相等的两个代数式要么相等要么互为相反数，开平方时要注意给等号右侧的整体添加正负号，避免漏解或符号运用错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆直接开平方法的依据：平方根的性质，若两个数的平方相等，则这两个数相等或互为相反数，对应方程$A^2=B^2$的解为$A=\pm B$。本题中可将$3x+1$看作A，$2x-5$看作B，代入后得到开平方的结果，再逐一比对选项即可选出正确答案。
【解析】
根据直接开平方法的运算规则：
对于方程$(3x+1)^2=(2x-5)^2$，两边同时开平方可得：
$3x+1=\pm(2x-5)$
对各选项判断如下：
A.仅考虑了两式相等的情况，遗漏了互为相反数的情况，错误；
B.仅考虑了两式互为相反数的情况，遗漏了相等的情况，错误；
C.符合开平方的运算结果，正确；
D.未将$2x-5$作为整体添加正负号，符号运用错误，错误。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法，平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法的基础考查题，解题关键是牢记平方相等的两个代数式要么相等要么互为相反数，开平方时要注意给等号右侧的整体添加正负号，避免漏解或符号运用错误。
【难度系数】
0.8
二、填空题
1. 方程$x^2 -8=0$的解是
1. 方程$x^2 -8=0$的解是
x=±2√2
。答案
1. x=±2√2
解析
【分析】
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，观察方程特征：不含一次项，仅含二次项和常数项，符合直接开平方法的适用条件。解题时先将常数项移到方程右侧，得到x²等于正数的形式，再根据平方根的定义对两边同时开平方，注意正数的平方根有两个且互为相反数，最后将二次根式化简为最简形式即可得到方程的解。
【解析】
解：对原方程移项，可得：
$x^2=8$
根据平方根的定义，对等式两边同时开平方，得：
$x=\pm\sqrt{8}$
化简二次根式，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，因此方程的解为$x=\pm2\sqrt{2}$。
【答案】
$x=\pm2\sqrt{2}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的定义、二次根式化简
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，难度较低，解题时需注意开平方时不要遗漏负根，同时最终结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，观察方程特征：不含一次项，仅含二次项和常数项，符合直接开平方法的适用条件。解题时先将常数项移到方程右侧，得到x²等于正数的形式，再根据平方根的定义对两边同时开平方，注意正数的平方根有两个且互为相反数，最后将二次根式化简为最简形式即可得到方程的解。
【解析】
解：对原方程移项，可得：
$x^2=8$
根据平方根的定义，对等式两边同时开平方，得：
$x=\pm\sqrt{8}$
化简二次根式，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，因此方程的解为$x=\pm2\sqrt{2}$。
【答案】
$x=\pm2\sqrt{2}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的定义、二次根式化简
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，难度较低，解题时需注意开平方时不要遗漏负根，同时最终结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
2. 方程$\frac{1}{2}(x-1)^2=2$的解是
x₁=3,x₂=-1
.答案
2. x₁=3,x₂=-1
解析
【分析】
本题适合用直接开平方法求解，解题思路如下：第一步先消去方程左边完全平方式的系数，将方程变形为$(x-a)^2=b$（$b≥0$）的形式；第二步根据平方根的定义，对等式两边同时开平方，得到两个一元一次方程；第三步分别解这两个一元一次方程，即可得到原方程的解。
【解析】
解：首先将方程两边同时乘以2，消去左边的系数，得：
$(x-1)^2=4$
对等式两边同时开平方，得：
$x-1=\pm2$
分两种情况求解：
当$x-1=2$时，解得$x=3$；
当$x-1=-2$时，解得$x=-1$。
【答案】
$x_1=3,x_2=-1$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的定义
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，核心考查直接开平方法的应用，只要掌握直接开平方法的适用形式和运算规则，就能快速得出结果，计算时注意开平方后有正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8
本题适合用直接开平方法求解，解题思路如下：第一步先消去方程左边完全平方式的系数，将方程变形为$(x-a)^2=b$（$b≥0$）的形式；第二步根据平方根的定义，对等式两边同时开平方，得到两个一元一次方程；第三步分别解这两个一元一次方程，即可得到原方程的解。
【解析】
解：首先将方程两边同时乘以2，消去左边的系数，得：
$(x-1)^2=4$
对等式两边同时开平方，得：
$x-1=\pm2$
分两种情况求解：
当$x-1=2$时，解得$x=3$；
当$x-1=-2$时，解得$x=-1$。
【答案】
$x_1=3,x_2=-1$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的定义
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，核心考查直接开平方法的应用，只要掌握直接开平方法的适用形式和运算规则，就能快速得出结果，计算时注意开平方后有正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8
3. 方程$4(x-3)^2 -12=0$的解是
x₁=3+√3,x₂=3-√3
.答案
3. x₁=3+√3,x₂=3-√3
解析
【分析】
本题观察方程结构可知，含未知数的部分是完全平方式的形式，适合用直接开平方法求解。解题思路为：首先把常数项移到方程右侧，再将完全平方式的系数化为1，之后对等式两边同时开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的解。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$4(x-3)^2=12$
等式两边同时除以4，将完全平方式的系数化为1，得：
$(x-3)^2=3$
对等式两边同时开平方，得：
$x-3=\sqrt{3}$ 或 $x-3=-\sqrt{3}$
分别解两个一元一次方程，得：
$x_1=3+\sqrt{3}$，$x_2=3-\sqrt{3}$
【答案】
$x_1=3+\sqrt{3},x_2=3-\sqrt{3}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根运算
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题，解题关键是先将方程变形为“完全平方式等于非负常数”的结构，开平方时注意得到两个互为相反数的结果，避免漏解。
【难度系数】
0.85
本题观察方程结构可知，含未知数的部分是完全平方式的形式，适合用直接开平方法求解。解题思路为：首先把常数项移到方程右侧，再将完全平方式的系数化为1，之后对等式两边同时开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的解。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$4(x-3)^2=12$
等式两边同时除以4，将完全平方式的系数化为1，得：
$(x-3)^2=3$
对等式两边同时开平方，得：
$x-3=\sqrt{3}$ 或 $x-3=-\sqrt{3}$
分别解两个一元一次方程，得：
$x_1=3+\sqrt{3}$，$x_2=3-\sqrt{3}$
【答案】
$x_1=3+\sqrt{3},x_2=3-\sqrt{3}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根运算
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题，解题关键是先将方程变形为“完全平方式等于非负常数”的结构，开平方时注意得到两个互为相反数的结果，避免漏解。
【难度系数】
0.85
4. 如果$9x^2$与-16互为相反数，则x的值为
±4/3
.答案
4. ±4/3
解析
【分析】
解题首先要利用互为相反数的性质：互为相反数的两个数相加等于0，据此列出关于x的方程；再将方程整理为$x^2=a$（$a≥0$）的形式，最后用直接开平方法求解，注意开平方后正数有两个互为相反数的平方根，不要漏解。
【解析】
解：
∵$9x^2$与$-16$互为相反数
∴$9x^2 + (-16) = 0$
整理得：$9x^2 = 16$
两边同时除以9，得：$x^2 = \frac{16}{9}$
直接开平方，得：$x = ±\sqrt{\frac{16}{9}} = ±\frac{4}{3}$
【答案】
$±\frac{4}{3}$
【知识点】
相反数的性质；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是基础题型，解题的核心是先根据相反数的关系正确列方程，再用直接开平方法求解，注意求解时不要遗漏负根。
【难度系数】
0.8
解题首先要利用互为相反数的性质：互为相反数的两个数相加等于0，据此列出关于x的方程；再将方程整理为$x^2=a$（$a≥0$）的形式，最后用直接开平方法求解，注意开平方后正数有两个互为相反数的平方根，不要漏解。
【解析】
解：
∵$9x^2$与$-16$互为相反数
∴$9x^2 + (-16) = 0$
整理得：$9x^2 = 16$
两边同时除以9，得：$x^2 = \frac{16}{9}$
直接开平方，得：$x = ±\sqrt{\frac{16}{9}} = ±\frac{4}{3}$
【答案】
$±\frac{4}{3}$
【知识点】
相反数的性质；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是基础题型，解题的核心是先根据相反数的关系正确列方程，再用直接开平方法求解，注意求解时不要遗漏负根。
【难度系数】
0.8
5. 一元二次方程的两根为$x_1=2$，$x_2=-5$，试写出一个符合条件的一元二次方程：
(x-2)(x+5)=0(答案不唯一)
。答案
5. (x-2)(x+5)=0(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时可逆向运用因式分解法解一元二次方程的思路：我们知道，因式分解法解一元二次方程时，会将方程化为两个一次因式乘积为0的形式，每个因式等于0对应的解就是方程的根。反过来，已知方程的两个根，我们可以先写出对应根的一次因式：根为2对应因式(x-2)，根为-5对应因式(x+5)，将两个因式相乘后令乘积为0，即可得到符合条件的方程，也可在方程前乘任意非0常数，因此答案不唯一。
【解析】
根据因式分解法解一元二次方程的逆运算，若一元二次方程的两根为$x_1$、$x_2$，则方程可表示为$a(x - x_1)(x - x_2)=0$（$a$为不等于0的常数）。
将$x_1=2$，$x_2=-5$代入，取$a=1$时，可得：
$(x - 2)(x - (-5))=0$
整理得：$(x - 2)(x + 5)=0$
（若取$a$为其他非0值，如$a=2$，可得$2(x-2)(x+5)=0$，同样符合要求，因此答案不唯一）
【答案】
$(x-2)(x+5)=0$(答案不唯一)
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的定义
【点评】
本题考查因式分解法解一元二次方程的逆向应用，属于基础题型，核心是理解因式分解法解方程的原理，同时注意非零常数倍的同解方程都符合要求，答案不唯一。
【难度系数】
0.9
解题时可逆向运用因式分解法解一元二次方程的思路：我们知道，因式分解法解一元二次方程时，会将方程化为两个一次因式乘积为0的形式，每个因式等于0对应的解就是方程的根。反过来，已知方程的两个根，我们可以先写出对应根的一次因式：根为2对应因式(x-2)，根为-5对应因式(x+5)，将两个因式相乘后令乘积为0，即可得到符合条件的方程，也可在方程前乘任意非0常数，因此答案不唯一。
【解析】
根据因式分解法解一元二次方程的逆运算，若一元二次方程的两根为$x_1$、$x_2$，则方程可表示为$a(x - x_1)(x - x_2)=0$（$a$为不等于0的常数）。
将$x_1=2$，$x_2=-5$代入，取$a=1$时，可得：
$(x - 2)(x - (-5))=0$
整理得：$(x - 2)(x + 5)=0$
（若取$a$为其他非0值，如$a=2$，可得$2(x-2)(x+5)=0$，同样符合要求，因此答案不唯一）
【答案】
$(x-2)(x+5)=0$(答案不唯一)
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的定义
【点评】
本题考查因式分解法解一元二次方程的逆向应用，属于基础题型，核心是理解因式分解法解方程的原理，同时注意非零常数倍的同解方程都符合要求，答案不唯一。
【难度系数】
0.9
三、解答题
1. 解下列方程：
(1) $12x^2 - 36 = 0$；
(2) $x^2 -5x =0$；
(3) $(x+4)^2 =5(x+4)$；
(4) $x(x+2)-3x-6=0$。
2. 当$x$取何值时，代数式$3x^2 -6$的值等于21？
3. 若$2y=(x-2)^2 +1$，且$y$的算术平方根是$\sqrt{5}$，求$x-y$的值。
4. 已知$A=(x+1)^2 -1$，$B=4x^2 -1$，当$x$为何值时，$A=B$？
1. 解下列方程：
(1) $12x^2 - 36 = 0$；
(2) $x^2 -5x =0$；
(3) $(x+4)^2 =5(x+4)$；
(4) $x(x+2)-3x-6=0$。
2. 当$x$取何值时，代数式$3x^2 -6$的值等于21？
3. 若$2y=(x-2)^2 +1$，且$y$的算术平方根是$\sqrt{5}$，求$x-y$的值。
4. 已知$A=(x+1)^2 -1$，$B=4x^2 -1$，当$x$为何值时，$A=B$？
答案
1. (1) x₁=-√3,x₂=√3 (2) x₁=5,x₂=0 (3) x₁=1,x₂=-4 (4) x₁=-2,x₂=3
2. ±3
3. 0或-6
4. 1或-1/3
2. ±3
3. 0或-6
4. 1或-1/3
解析
【分析】
本次题目均围绕一元二次方程的基础求解及简单应用展开，解题可根据方程特征优先选择简便方法：①对于缺少一次项或形如$(ax+b)^2=c(c≥0)$的方程，优先用直接开平方法；②对于两边含有共同公因式、可提公因式变形为乘积为0形式的方程，优先用因式分解法，避免漏根。解题按照“列方程→变形化简→求解”的思路推进即可。
【解析】
1. 解下列方程
(1) $12x^2 - 36 = 0$
移项得：$12x^2=36$
两边同时除以12得：$x^2=3$
直接开平方得：$x=\pm\sqrt{3}$
(2) $x^2 -5x =0$
提公因式$x$得：$x(x-5)=0$
可得$x=0$或$x-5=0$，解得对应根。
(3) $(x+4)^2 =5(x+4)$
移项得：$(x+4)^2 -5(x+4)=0$
提公因式$(x+4)$得：$(x+4)(x-1)=0$
可得$x+4=0$或$x-1=0$，解得对应根。
(4) $x(x+2)-3x-6=0$
变形得：$x(x+2)-3(x+2)=0$
提公因式$(x+2)$得：$(x+2)(x-3)=0$
可得$x+2=0$或$x-3=0$，解得对应根。
2. 求代数式值为21时$x$的取值
根据题意列方程：$3x^2 -6=21$
移项得：$3x^2=27$
两边除以3得：$x^2=9$
直接开平方得：$x=\pm3$
3. 求$x-y$的值
已知$y$的算术平方根是$\sqrt{5}$，则$y=(\sqrt{5})^2=5$
将$y=5$代入$2y=(x-2)^2 +1$得：$10=(x-2)^2+1$
化简得：$(x-2)^2=9$，开平方得$x-2=\pm3$，解得$x=5$或$x=-1$
当$x=5$时，$x-y=5-5=0$；当$x=-1$时，$x-y=-1-5=-6$
4. 求$A=B$时$x$的取值
令$A=B$，得：$(x+1)^2 -1=4x^2 -1$
展开整理得：$3x^2-2x-1=0$
因式分解得：$(3x+1)(x-1)=0$
可得$3x+1=0$或$x-1=0$，解得对应根。
【答案】
1. (1) $x₁=-\sqrt{3},x₂=\sqrt{3}$ (2) $x₁=5,x₂=0$ (3) $x₁=1,x₂=-4$ (4) $x₁=-2,x₂=3$
2. $\pm3$
3. $0$或$-6$
4. $1$或$-\frac{1}{3}$
【知识点】
一元二次方程解法，直接开平方法，因式分解法
【点评】
本题组侧重一元二次方程基础解法的应用，解题时可先观察方程结构特征，优先选择直接开平方法、因式分解法等简便方法，既能提升解题速度，也能减少计算错误，注意移项变形时不要漏根。
【难度系数】
0.85
本次题目均围绕一元二次方程的基础求解及简单应用展开，解题可根据方程特征优先选择简便方法：①对于缺少一次项或形如$(ax+b)^2=c(c≥0)$的方程，优先用直接开平方法；②对于两边含有共同公因式、可提公因式变形为乘积为0形式的方程，优先用因式分解法，避免漏根。解题按照“列方程→变形化简→求解”的思路推进即可。
【解析】
1. 解下列方程
(1) $12x^2 - 36 = 0$
移项得：$12x^2=36$
两边同时除以12得：$x^2=3$
直接开平方得：$x=\pm\sqrt{3}$
(2) $x^2 -5x =0$
提公因式$x$得：$x(x-5)=0$
可得$x=0$或$x-5=0$，解得对应根。
(3) $(x+4)^2 =5(x+4)$
移项得：$(x+4)^2 -5(x+4)=0$
提公因式$(x+4)$得：$(x+4)(x-1)=0$
可得$x+4=0$或$x-1=0$，解得对应根。
(4) $x(x+2)-3x-6=0$
变形得：$x(x+2)-3(x+2)=0$
提公因式$(x+2)$得：$(x+2)(x-3)=0$
可得$x+2=0$或$x-3=0$，解得对应根。
2. 求代数式值为21时$x$的取值
根据题意列方程：$3x^2 -6=21$
移项得：$3x^2=27$
两边除以3得：$x^2=9$
直接开平方得：$x=\pm3$
3. 求$x-y$的值
已知$y$的算术平方根是$\sqrt{5}$，则$y=(\sqrt{5})^2=5$
将$y=5$代入$2y=(x-2)^2 +1$得：$10=(x-2)^2+1$
化简得：$(x-2)^2=9$，开平方得$x-2=\pm3$，解得$x=5$或$x=-1$
当$x=5$时，$x-y=5-5=0$；当$x=-1$时，$x-y=-1-5=-6$
4. 求$A=B$时$x$的取值
令$A=B$，得：$(x+1)^2 -1=4x^2 -1$
展开整理得：$3x^2-2x-1=0$
因式分解得：$(3x+1)(x-1)=0$
可得$3x+1=0$或$x-1=0$，解得对应根。
【答案】
1. (1) $x₁=-\sqrt{3},x₂=\sqrt{3}$ (2) $x₁=5,x₂=0$ (3) $x₁=1,x₂=-4$ (4) $x₁=-2,x₂=3$
2. $\pm3$
3. $0$或$-6$
4. $1$或$-\frac{1}{3}$
【知识点】
一元二次方程解法，直接开平方法，因式分解法
【点评】
本题组侧重一元二次方程基础解法的应用，解题时可先观察方程结构特征，优先选择直接开平方法、因式分解法等简便方法，既能提升解题速度，也能减少计算错误，注意移项变形时不要漏根。
【难度系数】
0.85
