【拓展思考】
解关于$x$的方程:$x(x+4m)=4m(x+1).$

x(x+4m)=4m(x+1)移项可得:$x^2 +4mx=4mx+4m$,即$x^2=4m$,当$m＜0$时,$4m＜0$,因为实数的平方都大于等于0,所以此时方程$x^2=4m$无实数根;当$m=0$时,方程为$x^2=0$,解得:$x_1=x_2=0$;当$m＞0$时,$x^2=4m$,解得:$x_1=2\sqrt{m},x_2=-2\sqrt{m}$. 综上,当$m＜0$时,方程无实数根;当$m=0$时,$x_1=x_2=0$;当$m＞0$时,$x_1=2\sqrt{m},x_2=-2\sqrt{m}$

【分析】
求解含参数的方程，首先应先对方程进行化简：先将方程左右两边展开，再移项合并同类项，消去含参数的一次项后可得到最简形式$x^2=4m$。接下来根据平方根的性质，实数的平方是非负数，因此需要对参数$m$的取值分三类讨论：$m＜0$、$m=0$、$m＞0$，分别判断方程是否有实数根，有根时求出对应的根即可。
【解析】
先对原方程展开移项：
$x(x+4m)=4m(x+1)$
展开得：$x^2 +4mx=4mx+4m$
移项合并同类项，消去$4mx$项，可得：$x^2=4m$
接下来分情况讨论：
1. 当$m＜0$时，$4m＜0$，由于任意实数的平方都大于等于0，不存在实数$x$满足$x^2＜0$，因此此时方程无实数根；
2. 当$m=0$时，方程化为$x^2=0$，解得：$x_1=x_2=0$；
3. 当$m＞0$时，对$x^2=4m$两边开平方，解得：$x_1=2\sqrt{m},x_2=-2\sqrt{m}$。
【答案】
当$m＜0$时，方程无实数根；当$m=0$时，$x_1=x_2=0$；当$m＞0$时，$x_1=2\sqrt{m},x_2=-2\sqrt{m}$
【知识点】
含参一元二次方程求解；平方根的性质；分类讨论思想
【点评】
本题核心是通过化简将复杂方程转化为$x^2=a$的最简形式，解题的关键是根据平方的非负性对参数的取值进行分类讨论，易错点是忽略参数的取值范围，直接开平方导致漏解或错解，能有效锻炼分类讨论的逻辑思维。
【难度系数】
0.6