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9. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=8$,$BC=6$,则斜边上的高$CD$的长为 【 】
A.$\dfrac{24}{5}$
B.$\dfrac{12}{5}$
C.$5$
D.$10$
A.$\dfrac{24}{5}$
B.$\dfrac{12}{5}$
C.$5$
D.$10$
答案
A
解析
【分析】
解题可按两步思路推导：第一步，已知直角三角形两条直角边的长度，先通过勾股定理计算出斜边AB的长度；第二步，利用直角三角形面积的两种计算方法：一是两条直角边乘积的一半，二是斜边与斜边上高乘积的一半，二者相等建立等量关系，即可求出高CD的长度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=8$，$BC=6$，
根据勾股定理可得：
$AB^2=AC^2+BC^2=8^2+6^2=64+36=100$，
因此$AB=10$（边长为正数，舍去负根）。
三角形$ABC$的面积可通过两种方式计算：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}×8×6=24$，
同时$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· CD$，
联立可得：$\frac{1}{2}×10× CD=24$，
解得$CD=\frac{24}{5}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；等面积法
【点评】
本题属于直角三角形的基础计算题，核心是利用等面积法建立等式，把已知的直角边、斜边和未知的斜边上的高关联起来，解题思路清晰，熟练掌握相关公式就能快速得到答案。
【难度系数】
0.8
解题可按两步思路推导：第一步，已知直角三角形两条直角边的长度，先通过勾股定理计算出斜边AB的长度；第二步，利用直角三角形面积的两种计算方法：一是两条直角边乘积的一半，二是斜边与斜边上高乘积的一半，二者相等建立等量关系，即可求出高CD的长度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=8$，$BC=6$，
根据勾股定理可得：
$AB^2=AC^2+BC^2=8^2+6^2=64+36=100$，
因此$AB=10$（边长为正数，舍去负根）。
三角形$ABC$的面积可通过两种方式计算：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}×8×6=24$，
同时$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· CD$，
联立可得：$\frac{1}{2}×10× CD=24$，
解得$CD=\frac{24}{5}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；等面积法
【点评】
本题属于直角三角形的基础计算题，核心是利用等面积法建立等式，把已知的直角边、斜边和未知的斜边上的高关联起来，解题思路清晰，熟练掌握相关公式就能快速得到答案。
【难度系数】
0.8
10. 我国是最早了解勾股定理的国家之一.据《周髀算经》记载,勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的,故又称之为“商高定理”;三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释,并给出了另外一个证明.下列四幅图中,不能证明勾股定理的是 【 】
答案
D
解析
【分析】
要判断哪个图形不能证明勾股定理，核心思路是利用等积法：分别计算各图中整体图形的面积，再将其拆分为若干小图形计算面积和，令二者相等后化简，若能推导得到$a^2+b^2=c^2$则可证明勾股定理，反之则不能，我们逐个分析四个选项即可。
【解析】
选项A：大正方形边长为$c$，面积为$c^2$。内部包含4个全等的直角三角形（每个面积为$\frac{1}{2}ab$）和1个边长为$(b-a)$的小正方形（面积为$(b-a)^2$），因此：
$c^2=4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2$
展开化简右边得$2ab + b^2 -2ab +a^2=a^2+b^2$，即$c^2=a^2+b^2$，可证明勾股定理。
选项B：该图形是上底为$a$、下底为$b$、高为$(a+b)$的梯形，面积为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$。内部包含2个全等的直角三角形（每个面积为$\frac{1}{2}ab$）和1个直角边为$c$的等腰直角三角形（面积为$\frac{1}{2}c^2$），因此：
$\frac{1}{2}(a+b)^2=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$
两边同乘2展开得$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$，消去$2ab$得$a^2+b^2=c^2$，可证明勾股定理。
选项C：大正方形边长为$(a+b)$，面积为$(a+b)^2$。内部包含4个全等的直角三角形（每个面积为$\frac{1}{2}ab$）和1个边长为$c$的正方形（面积为$c^2$），因此：
$(a+b)^2=4×\frac{1}{2}ab + c^2$
展开左边得$a^2+2ab+b^2=2ab +c^2$，消去$2ab$得$a^2+b^2=c^2$，可证明勾股定理。
选项D：大正方形边长为$(a+b)$，面积为$(a+b)^2$。内部拆分为2个正方形和2个矩形，面积和为$a^2 + b^2 +ab +ab =a^2+2ab+b^2$，化简后仅得到完全平方恒等式，无法推导得到$a^2+b^2=c^2$，不能证明勾股定理。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的证明，等积法，完全平方公式
【点评】
本题考查勾股定理的常见证明模型，解题关键是掌握等积法的应用：通过整体面积等于各部分面积之和建立等式，化简后验证是否符合勾股定理的形式。这类题目需要熟悉经典的勾股定理证明图形，同时注意代数运算的准确性。
【难度系数】
0.7
要判断哪个图形不能证明勾股定理，核心思路是利用等积法：分别计算各图中整体图形的面积，再将其拆分为若干小图形计算面积和，令二者相等后化简，若能推导得到$a^2+b^2=c^2$则可证明勾股定理，反之则不能，我们逐个分析四个选项即可。
【解析】
选项A：大正方形边长为$c$，面积为$c^2$。内部包含4个全等的直角三角形（每个面积为$\frac{1}{2}ab$）和1个边长为$(b-a)$的小正方形（面积为$(b-a)^2$），因此：
$c^2=4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2$
展开化简右边得$2ab + b^2 -2ab +a^2=a^2+b^2$，即$c^2=a^2+b^2$，可证明勾股定理。
选项B：该图形是上底为$a$、下底为$b$、高为$(a+b)$的梯形，面积为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$。内部包含2个全等的直角三角形（每个面积为$\frac{1}{2}ab$）和1个直角边为$c$的等腰直角三角形（面积为$\frac{1}{2}c^2$），因此：
$\frac{1}{2}(a+b)^2=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$
两边同乘2展开得$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$，消去$2ab$得$a^2+b^2=c^2$，可证明勾股定理。
选项C：大正方形边长为$(a+b)$，面积为$(a+b)^2$。内部包含4个全等的直角三角形（每个面积为$\frac{1}{2}ab$）和1个边长为$c$的正方形（面积为$c^2$），因此：
$(a+b)^2=4×\frac{1}{2}ab + c^2$
展开左边得$a^2+2ab+b^2=2ab +c^2$，消去$2ab$得$a^2+b^2=c^2$，可证明勾股定理。
选项D：大正方形边长为$(a+b)$，面积为$(a+b)^2$。内部拆分为2个正方形和2个矩形，面积和为$a^2 + b^2 +ab +ab =a^2+2ab+b^2$，化简后仅得到完全平方恒等式，无法推导得到$a^2+b^2=c^2$，不能证明勾股定理。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的证明，等积法，完全平方公式
【点评】
本题考查勾股定理的常见证明模型，解题关键是掌握等积法的应用：通过整体面积等于各部分面积之和建立等式，化简后验证是否符合勾股定理的形式。这类题目需要熟悉经典的勾股定理证明图形，同时注意代数运算的准确性。
【难度系数】
0.7
11.（眉山中考）如图，图①是2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成的.若图①中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图②，则图②中大正方形的面积为
【 】
A.24
B.36
C.40
D.44
【 】
A.24
B.36
C.40
D.44
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以结合勾股定理和完全平方公式，通过分析两个图中边长的关系推导求解：
1. 先设直角三角形的长直角边为$a$，短直角边为$b$，斜边为$c$。首先观察图①：大正方形的边长是直角三角形的斜边$c$，因此大正方形面积等于$c^2=24$，根据勾股定理可得$a^2+b^2=c^2=24$；小正方形的边长等于两条直角边的差$a-b$，由小正方形面积为4可得$a-b=2$。
2. 再观察图②：大正方形的边长是两条直角边的和$a+b$，因此它的面积为$(a+b)^2$，根据完全平方公式展开为$a^2+2ab+b^2$，我们已经知道$a^2+b^2=24$，只需要求出$2ab$的值即可。
3. 求$2ab$：图①中4个直角三角形的总面积等于大正方形面积减去小正方形面积，即$24-4=20$，而4个直角三角形的面积和也等于$4×\frac{1}{2}ab=2ab$，因此直接得到$2ab=20$，代入展开式即可算出图②大正方形的面积。
【解析】
设直角三角形的长直角边为$a$，短直角边为$b$，斜边为$c$：
1. 由图①大正方形面积为24，得$c^2=24$，根据勾股定理：$a^2 + b^2 = c^2 = 24$。
2. 图①中小正方形面积为4，故小正方形边长为$\sqrt{4}=2$，可得$a - b = 2$。
3. 图①中4个全等直角三角形的总面积为：$24 - 4 = 20$，单个直角三角形面积为$\frac{1}{2}ab$，因此$4×\frac{1}{2}ab = 20$，化简得$2ab = 20$。
4. 图②中大正方形的边长为$a+b$，其面积为：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (a^2 + b^2) + 2ab = 24 + 20 = 44$
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，正方形面积计算
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，将几何图形性质与代数公式相结合，解题的关键是从图形中提取出直角三角形边长的关系，灵活运用勾股定理和完全平方公式进行转化计算，考查了数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们可以结合勾股定理和完全平方公式，通过分析两个图中边长的关系推导求解：
1. 先设直角三角形的长直角边为$a$，短直角边为$b$，斜边为$c$。首先观察图①：大正方形的边长是直角三角形的斜边$c$，因此大正方形面积等于$c^2=24$，根据勾股定理可得$a^2+b^2=c^2=24$；小正方形的边长等于两条直角边的差$a-b$，由小正方形面积为4可得$a-b=2$。
2. 再观察图②：大正方形的边长是两条直角边的和$a+b$，因此它的面积为$(a+b)^2$，根据完全平方公式展开为$a^2+2ab+b^2$，我们已经知道$a^2+b^2=24$，只需要求出$2ab$的值即可。
3. 求$2ab$：图①中4个直角三角形的总面积等于大正方形面积减去小正方形面积，即$24-4=20$，而4个直角三角形的面积和也等于$4×\frac{1}{2}ab=2ab$，因此直接得到$2ab=20$，代入展开式即可算出图②大正方形的面积。
【解析】
设直角三角形的长直角边为$a$，短直角边为$b$，斜边为$c$：
1. 由图①大正方形面积为24，得$c^2=24$，根据勾股定理：$a^2 + b^2 = c^2 = 24$。
2. 图①中小正方形面积为4，故小正方形边长为$\sqrt{4}=2$，可得$a - b = 2$。
3. 图①中4个全等直角三角形的总面积为：$24 - 4 = 20$，单个直角三角形面积为$\frac{1}{2}ab$，因此$4×\frac{1}{2}ab = 20$，化简得$2ab = 20$。
4. 图②中大正方形的边长为$a+b$，其面积为：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (a^2 + b^2) + 2ab = 24 + 20 = 44$
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，正方形面积计算
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，将几何图形性质与代数公式相结合，解题的关键是从图形中提取出直角三角形边长的关系，灵活运用勾股定理和完全平方公式进行转化计算，考查了数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
12. 已知三角形的三边长分别是5、5、8，则这个三角形的面积是
12
。答案
12. 12
解析
【分析】
首先观察三角形三边长为5、5、8，可判断该三角形为等腰三角形，腰长为5，底边长为8。要求其面积，可利用等腰三角形“三线合一”的性质，过顶点向底边作高，将等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形，再通过勾股定理求出高的长度，最后代入三角形面积公式就能算出结果。
【解析】
解：已知三角形三边长为5、5、8，可知该三角形为等腰三角形，腰长为5，底边长为8。
过等腰三角形的顶点向底边作高$ h $，根据等腰三角形三线合一的性质，高会将底边平分为两段，每段长度为$ 8÷2=4 $。
此时高$ h $、半条底边、腰长构成直角三角形，腰长为斜边，根据勾股定理可得：
$ h^2 + 4^2 = 5^2 $
计算得$ h^2 = 25 - 16 = 9 $，因为高为正数，所以$ h=3 $。
代入三角形面积公式$ S=\frac{1}{2}×底×高 $：
$ S=\frac{1}{2}×8×3=12 $
【答案】
12
【知识点】
等腰三角形的性质；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是通过等腰三角形三线合一的性质构造直角三角形，再结合勾股定理求出高，熟练掌握相关性质和定理即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
首先观察三角形三边长为5、5、8，可判断该三角形为等腰三角形，腰长为5，底边长为8。要求其面积，可利用等腰三角形“三线合一”的性质，过顶点向底边作高，将等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形，再通过勾股定理求出高的长度，最后代入三角形面积公式就能算出结果。
【解析】
解：已知三角形三边长为5、5、8，可知该三角形为等腰三角形，腰长为5，底边长为8。
过等腰三角形的顶点向底边作高$ h $，根据等腰三角形三线合一的性质，高会将底边平分为两段，每段长度为$ 8÷2=4 $。
此时高$ h $、半条底边、腰长构成直角三角形，腰长为斜边，根据勾股定理可得：
$ h^2 + 4^2 = 5^2 $
计算得$ h^2 = 25 - 16 = 9 $，因为高为正数，所以$ h=3 $。
代入三角形面积公式$ S=\frac{1}{2}×底×高 $：
$ S=\frac{1}{2}×8×3=12 $
【答案】
12
【知识点】
等腰三角形的性质；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是通过等腰三角形三线合一的性质构造直角三角形，再结合勾股定理求出高，熟练掌握相关性质和定理即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
13. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.在边BC上有一点P,连结AP,且PA=PB,若AC=2,CB=5,求PA的长. 
(第13题)
(第13题)答案
设$PA=x=PB$，则$CP=5-x$.$\because ∠C=90°$，$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ACP$中，由勾股定理，得$AC^2+CP^2=PA^2$，即$2^2+(5-x)^2=x^2$.解得$x=\dfrac{29}{10}$，即$PA$的长为$\dfrac{29}{10}$
解析
【分析】
首先结合题目条件思考求解思路：已知PA=PB，要求PA的长度，我们可以通过设未知数列方程的方法求解。第一步，设PA的长为x，利用PA=PB的关系可得PB=x，进而可以用含x的式子表示出CP的长度为CB-PB=5-x；第二步，观察到△ACP是直角三角形，其三边满足勾股定理，据此建立关于x的方程，解方程即可得到PA的长度。
【解析】
解：设$PA=x$，由$PA=PB$可得$PB=x$，则$CP=CB-PB=5-x$。
$\because ∠C=90°$，$\therefore △ ACP$为直角三角形，
在$\mathrm{Rt}△ACP$中，根据勾股定理可得：$AC^2+CP^2=PA^2$，
代入数值列方程：$2^2+(5-x)^2=x^2$，
展开化简：$4+25-10x+x^2=x^2$，即$29=10x$，
解得$x=\dfrac{29}{10}$。
【答案】
$\dfrac{29}{10}$
【知识点】
勾股定理；等腰三角形性质；一元一次方程应用
【点评】
本题是勾股定理的典型基础应用题，解题核心是结合等腰三角形等边的性质设未知数，利用直角三角形三边的等量关系建立方程求解，掌握这种数形结合列方程的方法，可快速解决同类几何求边长的问题。
【难度系数】
0.7
首先结合题目条件思考求解思路：已知PA=PB，要求PA的长度，我们可以通过设未知数列方程的方法求解。第一步，设PA的长为x，利用PA=PB的关系可得PB=x，进而可以用含x的式子表示出CP的长度为CB-PB=5-x；第二步，观察到△ACP是直角三角形，其三边满足勾股定理，据此建立关于x的方程，解方程即可得到PA的长度。
【解析】
解：设$PA=x$，由$PA=PB$可得$PB=x$，则$CP=CB-PB=5-x$。
$\because ∠C=90°$，$\therefore △ ACP$为直角三角形，
在$\mathrm{Rt}△ACP$中，根据勾股定理可得：$AC^2+CP^2=PA^2$，
代入数值列方程：$2^2+(5-x)^2=x^2$，
展开化简：$4+25-10x+x^2=x^2$，即$29=10x$，
解得$x=\dfrac{29}{10}$。
【答案】
$\dfrac{29}{10}$
【知识点】
勾股定理；等腰三角形性质；一元一次方程应用
【点评】
本题是勾股定理的典型基础应用题，解题核心是结合等腰三角形等边的性质设未知数，利用直角三角形三边的等量关系建立方程求解，掌握这种数形结合列方程的方法，可快速解决同类几何求边长的问题。
【难度系数】
0.7
