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3. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，以$Rt△ ABC$的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用$S_1$、$S_2$、$S_3$表示，若$S_1=10$，$S_3=3$，则$S_2$的值是 【 】
A.3
B.5
C.7
D.9
（第3题）
A.3
B.5
C.7
D.9
（第3题）答案
C
解析
【分析】
解题时首先明确正方形面积与边长平方的对应关系，再结合直角三角形的勾股定理建立三个正方形面积之间的等量关系，最后代入已知数值计算即可。第一步：先写出每个正方形面积对应的直角三角形边长的平方，S₁对应斜边AB的平方，S₂、S₃分别对应两条直角边BC、AC的平方；第二步：根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，对应到三个正方形面积上就是S₂+S₃=S₁；第三步：代入已知S₁=10、S₃=3，即可求出S₂的值。
【解析】
∵ 以Rt△ABC的三边为边向外作三个正方形
∴ $S_1=AB^2$，$S_2=BC^2$，$S_3=AC^2$
在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，根据勾股定理可得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
将正方形面积代入上式得：$S_3 + S_2 = S_1$
已知$S_1=10$，$S_3=3$，则：
$S_2 = S_1 - S_3 = 10 - 3 = 7$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；正方形的面积计算
【点评】
本题是勾股定理的典型应用题型，将几何图形面积与勾股定理相结合，解题的核心是找到正方形面积和直角三角形三边的对应关系，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确正方形面积与边长平方的对应关系，再结合直角三角形的勾股定理建立三个正方形面积之间的等量关系，最后代入已知数值计算即可。第一步：先写出每个正方形面积对应的直角三角形边长的平方，S₁对应斜边AB的平方，S₂、S₃分别对应两条直角边BC、AC的平方；第二步：根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，对应到三个正方形面积上就是S₂+S₃=S₁；第三步：代入已知S₁=10、S₃=3，即可求出S₂的值。
【解析】
∵ 以Rt△ABC的三边为边向外作三个正方形
∴ $S_1=AB^2$，$S_2=BC^2$，$S_3=AC^2$
在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，根据勾股定理可得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
将正方形面积代入上式得：$S_3 + S_2 = S_1$
已知$S_1=10$，$S_3=3$，则：
$S_2 = S_1 - S_3 = 10 - 3 = 7$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；正方形的面积计算
【点评】
本题是勾股定理的典型应用题型，将几何图形面积与勾股定理相结合，解题的核心是找到正方形面积和直角三角形三边的对应关系，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
4. 在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，若$AC = 5$，$AB = 13$，则$BC = \_\_\_\_\_\_$。
答案
4. 12
解析
【分析】
本题是直角三角形中已知两边求第三边的基础题，解题思路如下：首先根据∠ACB=90°确定△ABC是直角三角形，明确直角所对的边AB为斜边，AC、BC为两条直角边；再回忆勾股定理的内容，结合所求为直角边BC，将勾股定理变形为$BC^2=AB^2-AC^2$；最后代入数值计算，注意边长为正数，对结果取算术平方根即可。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠ACB=90°
∴ △ABC是直角三角形，斜边为AB
根据勾股定理可得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$
变形得：$BC^2 = AB^2 - AC^2$
将$AC=5$，$AB=13$代入得：
$BC^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
∵ BC为三角形的边长，长度为正数
∴ $BC = \sqrt{144} = 12$
【答案】
12
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用类题型，解题的核心是准确识别直角三角形的斜边与直角边，正确代入勾股定理计算即可，需要注意边长结果取正的算术平方根。
【难度系数】
0.9
本题是直角三角形中已知两边求第三边的基础题，解题思路如下：首先根据∠ACB=90°确定△ABC是直角三角形，明确直角所对的边AB为斜边，AC、BC为两条直角边；再回忆勾股定理的内容，结合所求为直角边BC，将勾股定理变形为$BC^2=AB^2-AC^2$；最后代入数值计算，注意边长为正数，对结果取算术平方根即可。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠ACB=90°
∴ △ABC是直角三角形，斜边为AB
根据勾股定理可得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$
变形得：$BC^2 = AB^2 - AC^2$
将$AC=5$，$AB=13$代入得：
$BC^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
∵ BC为三角形的边长，长度为正数
∴ $BC = \sqrt{144} = 12$
【答案】
12
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用类题型，解题的核心是准确识别直角三角形的斜边与直角边，正确代入勾股定理计算即可，需要注意边长结果取正的算术平方根。
【难度系数】
0.9
5. 已知$x$、$y$是直角三角形的两边长，且满足$\sqrt{x-2}+(y-3)^2=0$，则此直角三角形的第三边长为
$\sqrt{13}$或$\sqrt{5}$
。答案
5. $\sqrt{13}$或$\sqrt{5}$
解析
【分析】
首先根据非负数的性质解题：算术平方根和平方数都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自为0，据此可先求出x、y的取值。接下来由于题目仅说明x、y是直角三角形的两边长，未明确是直角边还是斜边，因此需要分情况讨论：①x、y均为直角边；②较长的边y为斜边，x为直角边（x=2＜y=3，x不可能作为斜边），最后结合勾股定理分别计算第三边长即可。
【解析】
解：
∵$\sqrt{x-2} ≥ 0$，$(y-3)^2 ≥ 0$，且$\sqrt{x-2}+(y-3)^2=0$
∴$\sqrt{x-2}=0$，$(y-3)^2=0$
解得$x=2$，$y=3$
分两种情况计算第三边长：
①当$x$、$y$均为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得：
第三边长$=\sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$
②当$y$为斜边长，$x$为直角边长时，第三边为另一条直角边，由勾股定理得：
第三边长$=\sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{9-4} = \sqrt{5}$
综上，此直角三角形的第三边长为$\sqrt{13}$或$\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{13}$或$\sqrt{5}$
【知识点】
非负数的性质，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题易错点是容易忽略对已知边长是直角边还是斜边的分类讨论，从而出现漏解的情况。做题时若题目未明确直角三角形的边长属性，一定要结合三边关系分情况讨论，确保结果的完整性。
【难度系数】
0.6
首先根据非负数的性质解题：算术平方根和平方数都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自为0，据此可先求出x、y的取值。接下来由于题目仅说明x、y是直角三角形的两边长，未明确是直角边还是斜边，因此需要分情况讨论：①x、y均为直角边；②较长的边y为斜边，x为直角边（x=2＜y=3，x不可能作为斜边），最后结合勾股定理分别计算第三边长即可。
【解析】
解：
∵$\sqrt{x-2} ≥ 0$，$(y-3)^2 ≥ 0$，且$\sqrt{x-2}+(y-3)^2=0$
∴$\sqrt{x-2}=0$，$(y-3)^2=0$
解得$x=2$，$y=3$
分两种情况计算第三边长：
①当$x$、$y$均为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得：
第三边长$=\sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$
②当$y$为斜边长，$x$为直角边长时，第三边为另一条直角边，由勾股定理得：
第三边长$=\sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{9-4} = \sqrt{5}$
综上，此直角三角形的第三边长为$\sqrt{13}$或$\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{13}$或$\sqrt{5}$
【知识点】
非负数的性质，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题易错点是容易忽略对已知边长是直角边还是斜边的分类讨论，从而出现漏解的情况。做题时若题目未明确直角三角形的边长属性，一定要结合三边关系分情况讨论，确保结果的完整性。
【难度系数】
0.6
6. 如图,由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形,则4个直角三角形面积+1个小正方形面积=1个大正方形面积,即
$4×\dfrac{1}{2}ab$
+ $(b-a)^2$
= $c^2$
,化简,得$a^2 + b^2 = c^2$.答案
6. $4×\dfrac{1}{2}ab$ $(b-a)^2$ $c^2$
解析
【分析】
解题时按照题目给出的面积等量关系，分别计算三部分的面积即可：第一步先算4个全等直角三角形的总面积，已知直角三角形直角边为a、b，先求出单个三角形面积再乘4；第二步算中间小正方形的面积，观察图形可知小正方形的边长是较长直角边b减较短直角边a，结合正方形面积公式即可求解；第三步算大正方形的面积，大正方形的边长为直角三角形的斜边c，直接用边长平方得到面积，最后按等量关系填空即可。
【解析】
1. 计算4个直角三角形的总面积：
单个直角三角形的两条直角边长为a、b，面积为$\frac{1}{2}ab$，因此4个直角三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}ab$。
2. 计算小正方形的面积：
观察图形可得小正方形的边长为较长直角边与较短直角边的差，即边长为$b-a$，因此小正方形的面积为$(b-a)^2$。
3. 计算大正方形的面积：
大正方形的边长等于直角三角形的斜边c，因此大正方形的面积为$c^2$。
根据题目给出的“4个直角三角形面积+1个小正方形面积=1个大正方形面积”的等量关系，将上述三个表达式对应填入即可。
【答案】
$4×\dfrac{1}{2}ab$；$(b-a)^2$；$c^2$
【知识点】
勾股定理的证明；三角形面积计算；正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的经典面积法证明题型，通过对组合图形的面积拆分，结合代数化简推导勾股定理，核心考查学生对图形边长关系的识别和基础面积公式的应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时按照题目给出的面积等量关系，分别计算三部分的面积即可：第一步先算4个全等直角三角形的总面积，已知直角三角形直角边为a、b，先求出单个三角形面积再乘4；第二步算中间小正方形的面积，观察图形可知小正方形的边长是较长直角边b减较短直角边a，结合正方形面积公式即可求解；第三步算大正方形的面积，大正方形的边长为直角三角形的斜边c，直接用边长平方得到面积，最后按等量关系填空即可。
【解析】
1. 计算4个直角三角形的总面积：
单个直角三角形的两条直角边长为a、b，面积为$\frac{1}{2}ab$，因此4个直角三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}ab$。
2. 计算小正方形的面积：
观察图形可得小正方形的边长为较长直角边与较短直角边的差，即边长为$b-a$，因此小正方形的面积为$(b-a)^2$。
3. 计算大正方形的面积：
大正方形的边长等于直角三角形的斜边c，因此大正方形的面积为$c^2$。
根据题目给出的“4个直角三角形面积+1个小正方形面积=1个大正方形面积”的等量关系，将上述三个表达式对应填入即可。
【答案】
$4×\dfrac{1}{2}ab$；$(b-a)^2$；$c^2$
【知识点】
勾股定理的证明；三角形面积计算；正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的经典面积法证明题型，通过对组合图形的面积拆分，结合代数化简推导勾股定理，核心考查学生对图形边长关系的识别和基础面积公式的应用能力。
【难度系数】
0.8
7. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=c$，$BC=a$，$AC=b$.
（1）若$a=6$，$c=10$，求$b$的值；
（2）若$a=40$，$b=9$，求$c$的值；
（3）若$c=34$，$a:b=8:15$，求$a$、$b$的值.
（1）若$a=6$，$c=10$，求$b$的值；
（2）若$a=40$，$b=9$，求$c$的值；
（3）若$c=34$，$a:b=8:15$，求$a$、$b$的值.
答案
（1）在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠C=90°$.由勾股定理，得$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$
（2）在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠C=90°$.由勾股定理，得$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{40^2+9^2}=41$
（3）在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠C=90°$，$c=34$，$a:b=8:15$，设$a=8k$，则$b=15k$.由勾股定理，得$(8k)^2+(15k)^2=34^2$，解得$k=2$或$k=-2$(舍去).$\therefore a=8k=16$，$b=15k=30$
（2）在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠C=90°$.由勾股定理，得$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{40^2+9^2}=41$
（3）在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠C=90°$，$c=34$，$a:b=8:15$，设$a=8k$，则$b=15k$.由勾股定理，得$(8k)^2+(15k)^2=34^2$，解得$k=2$或$k=-2$(舍去).$\therefore a=8k=16$，$b=15k=30$
解析
【分析】
本题是直角三角形中利用勾股定理求边长的基础题型，解题核心是掌握勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，再结合已知条件灵活处理：
(1)已知直角边a和斜边c，求另一条直角边b，可将勾股定理变形为$b=\sqrt{c^2-a^2}$，代入数值计算即可；
(2)已知两条直角边a、b，求斜边c，直接用勾股定理的斜边公式$c=\sqrt{a^2+b^2}$代入计算；
(3)已知斜边c和两直角边的比例关系，可根据比例设参数k，将a、b用含k的代数式表示，再代入勾股定理列方程求解k，注意边长为正数，需舍去负的k值，最后求出a、b的长度。
【解析】
(1)在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠C=90°$，由勾股定理得：
$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$
(2)在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠C=90°$，由勾股定理得：
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{40^2+9^2}=\sqrt{1600+81}=\sqrt{1681}=41$
(3)在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠C=90°$，$c=34$，$a:b=8:15$，
设$a=8k$（$k＞0$），则$b=15k$，
由勾股定理得：$(8k)^2+(15k)^2=34^2$，
整理得$289k^2=1156$，
解得$k=2$或$k=-2$，因为边长为正数，故舍去$k=-2$，
$\therefore a=8k=8×2=16$，$b=15k=15×2=30$
【答案】
(1)$b=8$；(2)$c=41$；(3)$a=16$，$b=30$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 按比例设元
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用类题目，覆盖了勾股定理三类常见的边长求解考法，既考查了勾股定理的直接变形应用，也考查了利用参数法解决比例类问题的能力，解题时需注意三角形边长为非负数，要合理舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形中利用勾股定理求边长的基础题型，解题核心是掌握勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，再结合已知条件灵活处理：
(1)已知直角边a和斜边c，求另一条直角边b，可将勾股定理变形为$b=\sqrt{c^2-a^2}$，代入数值计算即可；
(2)已知两条直角边a、b，求斜边c，直接用勾股定理的斜边公式$c=\sqrt{a^2+b^2}$代入计算；
(3)已知斜边c和两直角边的比例关系，可根据比例设参数k，将a、b用含k的代数式表示，再代入勾股定理列方程求解k，注意边长为正数，需舍去负的k值，最后求出a、b的长度。
【解析】
(1)在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠C=90°$，由勾股定理得：
$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$
(2)在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠C=90°$，由勾股定理得：
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{40^2+9^2}=\sqrt{1600+81}=\sqrt{1681}=41$
(3)在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠C=90°$，$c=34$，$a:b=8:15$，
设$a=8k$（$k＞0$），则$b=15k$，
由勾股定理得：$(8k)^2+(15k)^2=34^2$，
整理得$289k^2=1156$，
解得$k=2$或$k=-2$，因为边长为正数，故舍去$k=-2$，
$\therefore a=8k=8×2=16$，$b=15k=15×2=30$
【答案】
(1)$b=8$；(2)$c=41$；(3)$a=16$，$b=30$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 按比例设元
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用类题目，覆盖了勾股定理三类常见的边长求解考法，既考查了勾股定理的直接变形应用，也考查了利用参数法解决比例类问题的能力，解题时需注意三角形边长为非负数，要合理舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.8
8. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=12$，边$BC$上的中线$AD$长为13，求边$BC$的长。
答案
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$\because ∠C=90°$，$AC=12$，边$BC$上的中线$AD$长为13，$\therefore BD=CD$，$CD=\sqrt{AD^2-AC^2}=5$.$\therefore BC=2CD=10$
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：∠C=90°，因此△ACD也是直角三角形，AD是BC边上的中线，说明D是BC的中点，可得BC=2CD。我们可以先在Rt△ACD中，利用已知的AC、AD长度，通过勾股定理算出CD的长度，再乘以2就能得到BC的长。
【解析】
解：
∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，即$CD=\frac{1}{2}BC$。
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$∠ C=90°$，$AC=12$，$AD=13$，
根据勾股定理可得：$CD^2+AC^2=AD^2$，
∴$CD=\sqrt{AD^2-AC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$，
∴$BC=2CD=2×5=10$。
【答案】
$10$
【知识点】
勾股定理，三角形中线的定义
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题，解题关键是识别出Rt△ACD，先求出CD的长度，再结合中线的性质推导BC的长，整体计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.9
解题时先梳理已知条件：∠C=90°，因此△ACD也是直角三角形，AD是BC边上的中线，说明D是BC的中点，可得BC=2CD。我们可以先在Rt△ACD中，利用已知的AC、AD长度，通过勾股定理算出CD的长度，再乘以2就能得到BC的长。
【解析】
解：
∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，即$CD=\frac{1}{2}BC$。
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$∠ C=90°$，$AC=12$，$AD=13$，
根据勾股定理可得：$CD^2+AC^2=AD^2$，
∴$CD=\sqrt{AD^2-AC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$，
∴$BC=2CD=2×5=10$。
【答案】
$10$
【知识点】
勾股定理，三角形中线的定义
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题，解题关键是识别出Rt△ACD，先求出CD的长度，再结合中线的性质推导BC的长，整体计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.9
