16. 如图,在□ABCD中,E为BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接BF,AC.若AD= AF,求证：四边形ABFC是矩形.
证明：$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 为平行四边形，$ \therefore AB // DF $，$ AD = BC $。$ \therefore \angle ABE = \angle FCE $。$ \because E $ 为 $ BC $ 的中点，$ \therefore BE = CE $。又 $ \angle AEB = \angle FEC $，$ \therefore \triangle ABE \cong \triangle FCE ( $$ ) $。$ \therefore AE = FE $。又 $ BE = CE $，$ \therefore $ 四边形 $ ABFC $ 是平行四边形。$ \because AD = AF $，$ \therefore BC = AF $。$ \therefore $ 平行四边形 $ ABFC $ 是矩形。

证明：$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 为平行四边形，$ \therefore AB // DF $，$ AD = BC $。$ \therefore \angle ABE = \angle FCE $。$ \because E $ 为 $ BC $ 的中点，$ \therefore BE = CE $。又 $ \angle AEB = \angle FEC $，$ \therefore \triangle ABE \cong \triangle FCE ( ASA ) $。$ \therefore AE = FE $。又 $ BE = CE $，$ \therefore $ 四边形 $ ABFC $ 是平行四边形。$ \because AD = AF $，$ \therefore BC = AF $。$ \therefore $ 平行四边形 $ ABFC $ 是矩形。

17. 如图,在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,G为AD的中点,连接CG,CG的延长线交BA的延长线于点F,连接FD.
(1)求证：AB= AF；
(2)若AG= AB,∠BCD= 120°,判断四边形ACDF的形状,并证明你的结论.

(1) 证明：$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，$ \therefore AB // CD $，$ AB = CD $。$ \therefore \angle AFC = \angle DCG $。$ \because GA = GD $，$ \angle AGF = \angle CGD $，$ \therefore \triangle AGF \cong \triangle DGC ( ) $。$ \therefore AF = DC $。$ \therefore AB = AF $。
(2) 解：四边形 $ ACDF $ 是。证明：$ \because AF = CD $，$ AF // CD $，$ \therefore $ 四边形 $ ACDF $ 是平行四边形。$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，$ \therefore \angle BAD = \angle BCD = 120^{\circ} $。$ \therefore \angle FAG = 60^{\circ} $。$ \because AG = AB = AF $，$ \therefore \triangle AFG $ 是等边三角形。$ \therefore AG = GF $。$ \therefore AD = CF $。$ \therefore $ 四边形 $ ACDF $ 是矩形。

(1) 证明：$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，$ \therefore AB // CD $，$ AB = CD $。$ \therefore \angle AFC = \angle DCG $。$ \because GA = GD $，$ \angle AGF = \angle CGD $，$ \therefore \triangle AGF \cong \triangle DGC ( AAS ) $。$ \therefore AF = DC $。$ \therefore AB = AF $。
(2) 解：四边形 $ ACDF $ 是矩形。证明：$ \because AF = CD $，$ AF // CD $，$ \therefore $ 四边形 $ ACDF $ 是平行四边形。$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，$ \therefore \angle BAD = \angle BCD = 120^{\circ} $。$ \therefore \angle FAG = 60^{\circ} $。$ \because AG = AB = AF $，$ \therefore \triangle AFG $ 是等边三角形。$ \therefore AG = GF $。$ \therefore AD = CF $。$ \therefore $ 四边形 $ ACDF $ 是矩形。

18. 下列关于矩形的说法,正确的是()

A.对角线相等的四边形是矩形
B.对角线互相平分的四边形是矩形
C.矩形的对角线互相垂直且平分
D.矩形的对角线相等且互相平分

D

19. 在四边形ABCD中,∠A= 60°,∠ABC= ∠ADC= 90°,BC= 2,CD= 11.过点D作DH⊥AB于点H,则DH的长是()

A.7.5
B.7
C.6.5
D.5.5

A

20. 如图,在△ABC中,AC的垂直平分线分别交AC,AB于点D,F,BE⊥DF交DF的延长线于点E.已知∠A= 30°,BC= 2,AF= BF,则四边形BCDE的面积是()


A.$2\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{3}$
C.4
D.$4\sqrt{3}$

A

21. 如图,已知在△ABC中,AB= AC= 5,BC= 6,AD是BC边上的中线,四边形ADBE是平行四边形.
(1)求证：四边形ADBE是矩形；
(2)求矩形ADBE的面积.
(1) 证明：$ \because AB = AC $，$ AD $ 是 $ BC $ 边上的中线，$ \therefore $。$ \therefore \angle ADB = 90^{\circ} $。$ \because $ 四边形 $ ADBE $ 是平行四边形，$ \therefore $ 平行四边形 $ ADBE $ 是矩形。
(2) 解：$ \because AB = AC = 5 $，$ BC = 6 $，$ AD $ 是 $ BC $ 边上的中线，$ \therefore BD = DC = \frac { 1 } { 2 } BC = $。在 $ \mathrm { Rt } \triangle ACD $ 中，$ AD = \sqrt { AC ^ { 2 } - DC ^ { 2 } } = \sqrt { 5 ^ { 2 } - 3 ^ { 2 } } = $，$ \therefore S _ { \text { 矩形 } ADBE } = BD \cdot AD = 3 × 4 = $。

(1) 证明：$ \because AB = AC $，$ AD $ 是 $ BC $ 边上的中线，$ \therefore AD \perp BC $。$ \therefore \angle ADB = 90^{\circ} $。$ \because $ 四边形 $ ADBE $ 是平行四边形，$ \therefore $ 平行四边形 $ ADBE $ 是矩形。
(2) 解：$ \because AB = AC = 5 $，$ BC = 6 $，$ AD $ 是 $ BC $ 边上的中线，$ \therefore BD = DC = \frac { 1 } { 2 } BC = 3 $。在 $ \mathrm { Rt } \triangle ACD $ 中，$ AD = \sqrt { AC ^ { 2 } - DC ^ { 2 } } = \sqrt { 5 ^ { 2 } - 3 ^ { 2 } } = 4 $，$ \therefore S _ { \text { 矩形 } ADBE } = BD \cdot AD = 3 × 4 = 12 $。

1. (呼和浩特中考)如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN分别交AD,BC于点M,N.若AM= 1,BN= 2,则BD的长为()


A.$2\sqrt{3}$
B.3
C.$2\sqrt{5}$
D.$3\sqrt{2}$

A