5. 若函数 $ y = ( m + 1 ) x + m ^ { 2 } - 1 $ 是正比例函数,则 $ m $ 的值为 .

1

6. (2023·苏州)已知一次函数 $ y = k x + b $ 的图象经过点 $ ( 1, 3 ) $ 和 $ ( - 1, 2 ) $,则 $ k ^ { 2 } - b ^ { 2 } = $ .

-6

7. 对于正比例函数 $ y = - 2 x $,当自变量 $ x $ 的值增加 $ 1 $ 时,函数 $ y $ 的值增加 .

-2

8. 已知 $ y $ 与 $ x + 1 $ 成正比例,当 $ x = 3 $ 时,$ y = 12 $.
(1) 求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数解析式；
(2) 当 $ y = - 27 $ 时,求 $ x $ 的值.

(1)设$y=k(x+1)$，把$x=3$，$y=12$代入函数解析式，得$4k=12$，解得$k=3$，所以此函数的解析式为$y=3x+3$。
(2)当$y=-27$时，$3x+3=-27$，解得$x=-10$。

9. 体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想. 墩墩使用握力器(如实物图所示)锻炼手部肌肉. 如图,握力器弹簧的一端固定在点 $ P $ 处,在无外力作用下,弹簧的长度为 $ 3 \mathrm { cm } $,即 $ P Q = 3 \mathrm { cm } $. 开始训练时,将弹簧的端点 $ Q $ 调在点 $ B $ 处,此时弹簧长 $ P B = 4 \mathrm { cm } $,弹力大小是 $ 100 \mathrm { N } $,经过一段时间的锻炼后,他手部的力量大大提高,需增加训练强度,于是将弹簧端点 $ Q $ 调到点 $ C $ 处,使弹力大小变为 $ 300 \mathrm { N } $. 已知 $ \angle P B C = 120 ^ { \circ } $,求 $ B C $ 的长.
注：弹簧的弹力与形变成正比,即 $ F = k \cdot \Delta x $,$ k $ 是劲度系数,$ \Delta x $ 是弹簧的形变量,在无外力作用下,弹簧的长度为 $ x _ { 0 } $,在外力作用下,弹簧的长度为 $ x $,则 $ \Delta x = x - x _ { 0 } $.

由题意可知当$F=100$时，$\Delta x=4-3=1(\mathrm{cm})$，
$\therefore k=100$，即$F=100 \cdot \Delta x$。
当$F=300$时，则$\Delta x=3(\mathrm{cm})$，$\therefore PC=3+3=6(\mathrm{cm})$。
如图，记直角顶点为$M$。
$\because \angle PBC=120^{\circ}$，$\angle PMB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BPM=30^{\circ}$，而$PB=4 \mathrm{cm}$，
$\therefore BM=2 \mathrm{cm}$，$PM=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=2 \sqrt{3}(\mathrm{cm})$，
$\therefore MC=\sqrt{6^{2}-(2 \sqrt{3})^{2}}=\sqrt{24}=2 \sqrt{6}(\mathrm{cm})$，
$\therefore BC=MC-BM=2 \sqrt{6}-2(\mathrm{cm})$。