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1. 下列说法中,正确的是 ()
A.弦是直径
B.长度相等的弧是等弧
C.半圆是弧
D.过圆心的线段是直径
A.弦是直径
B.长度相等的弧是等弧
C.半圆是弧
D.过圆心的线段是直径
答案
C
解析
弦是连接圆上两点的线段，而直径是经过圆心的特殊弦，不是所有弦都是直径，所以A选项错误。
等弧是指在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，仅长度相等不能称为等弧，所以B选项错误。
半圆是圆的一半，其弧度为$180°$，是弧的一种，所以C选项正确。
直径是经过圆心的特殊弦，但并非所有过圆心的线段都是直径（除非线段的两个端点都在圆上），所以D选项错误。
等弧是指在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，仅长度相等不能称为等弧，所以B选项错误。
半圆是圆的一半，其弧度为$180°$，是弧的一种，所以C选项正确。
直径是经过圆心的特殊弦，但并非所有过圆心的线段都是直径（除非线段的两个端点都在圆上），所以D选项错误。
2. 如图,点A、B、C在$\odot O$上,$AC// OB,∠BAO=25^{\circ }$,则$∠BOC$的度数为 ()
A.$25^{\circ }$
B.$50^{\circ }$
C.$60^{\circ }$
D.$80^{\circ }$
A.$25^{\circ }$
B.$50^{\circ }$
C.$60^{\circ }$
D.$80^{\circ }$
答案
B
解析
∵OA=OB，∠BAO=25°，∴∠ABO=∠BAO=25°，∠AOB=180°-25°-25°=130°。
∵AC//OB，∴∠BAC=∠ABO=25°，∠OAC=∠BAO+∠BAC=50°。
∵OA=OC，∴∠ACO=∠OAC=50°，∠AOC=180°-50°-50°=80°。
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=130°-80°=50°。
∵AC//OB，∴∠BAC=∠ABO=25°，∠OAC=∠BAO+∠BAC=50°。
∵OA=OC，∴∠ACO=∠OAC=50°，∠AOC=180°-50°-50°=80°。
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=130°-80°=50°。
3. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠C=90^{\circ },AB=12$.若以点C为圆心,CB为半径的圆恰好经过AB的中点D,则AC的长为.
答案
6√3
解析
连接CD。在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB中点，AB=12，所以CD=AD=BD=6（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。因为圆C以CB为半径且过D，所以CB=CD=6。在Rt△ABC中，AC=√(AB²-CB²)=√(12²-6²)=6√3。
4. (2024·北京)如图,AB是$\odot O$的直径,点C、D在$\odot O$上,OD平分$∠AOC$.求证:$OD// BC$.
答案
证明：
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠DOC=1/2∠AOC。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOC+∠COB=180°。
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB。
∵∠AOC是△OBC的外角，
∴∠AOC=∠OBC+∠OCB=2∠OBC，
∴∠OBC=1/2∠AOC。
∵∠AOD=1/2∠AOC，
∴∠AOD=∠OBC，
∴OD//BC。
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠DOC=1/2∠AOC。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOC+∠COB=180°。
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB。
∵∠AOC是△OBC的外角，
∴∠AOC=∠OBC+∠OCB=2∠OBC，
∴∠OBC=1/2∠AOC。
∵∠AOD=1/2∠AOC，
∴∠AOD=∠OBC，
∴OD//BC。
5. 如图所示为两个同心圆,圆心为O,AB是大圆的弦,点M、N在弦AB上,且MN是小圆的弦,延长OM、ON分别交大圆于点C、D.
(1) 求证:$CM=DN;$
(2) 猜想线段AM与BN之间的大小关系,并加以证明.
(1) 求证:$CM=DN;$
(2) 猜想线段AM与BN之间的大小关系,并加以证明.
答案
(1) 证明：∵OC、OD是大圆半径，∴OC=OD。
∵OM、ON是小圆半径，∴OM=ON。
∵CM=OC-OM，DN=OD-ON，∴CM=DN。
(2) 猜想：AM=BN。
证明：过点O作OE⊥AB于E。
∵OE⊥AB，AB是大圆的弦，∴AE=BE（垂径定理）。
∵OE⊥MN，MN是小圆的弦，∴ME=NE（垂径定理）。
∴AE-ME=BE-NE，即AM=BN。
∵OM、ON是小圆半径，∴OM=ON。
∵CM=OC-OM，DN=OD-ON，∴CM=DN。
(2) 猜想：AM=BN。
证明：过点O作OE⊥AB于E。
∵OE⊥AB，AB是大圆的弦，∴AE=BE（垂径定理）。
∵OE⊥MN，MN是小圆的弦，∴ME=NE（垂径定理）。
∴AE-ME=BE-NE，即AM=BN。
6. 如图,OA、OB是$\odot O$的半径,点C在$\odot O$上,$∠AOB=30^{\circ },∠OBC=40^{\circ }$,则$∠OAC$的度数为 ()
A.$20^{\circ }$
B.$22^{\circ }$
C.$25^{\circ }$
D.$26^{\circ }$
A.$20^{\circ }$
B.$22^{\circ }$
C.$25^{\circ }$
D.$26^{\circ }$
答案
C
解析
∵OA、OB、OC是⊙O的半径，∴OA=OB=OC。
在△OBC中，OB=OC，∠OBC=40°，∴∠OCB=∠OBC=40°（等边对等角）。
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-40°-40°=100°。
∵∠AOB=30°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=30°+100°=130°（点C在∠AOB外部）。
在△OAC中，OA=OC，∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）。
∴∠OAC=(180°-∠AOC)/2=(180°-130°)/2=25°。
在△OBC中，OB=OC，∠OBC=40°，∴∠OCB=∠OBC=40°（等边对等角）。
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-40°-40°=100°。
∵∠AOB=30°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=30°+100°=130°（点C在∠AOB外部）。
在△OAC中，OA=OC，∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）。
∴∠OAC=(180°-∠AOC)/2=(180°-130°)/2=25°。
