7. 在$\triangle ABC$中,$∠B=55^{\circ },∠C=65^{\circ }$.现分别以点B、C为圆心,BC为半径画$\odot B$、$\odot C$,则点A在$\odot B$,点A在$\odot C$(填“内”“上”或“外”).

外；内

在△ABC中，∠B=55°，∠C=65°，则∠A=180°-55°-65°=60°。由大角对大边，∠A=60°，∠B=55°，∠C=65°，可得∠C＞∠A＞∠B，所以AB＞BC＞AC。以B为圆心，BC为半径画圆，因为AB＞BC，所以点A在⊙B外；以C为圆心，BC为半径画圆，因为AC＜BC，所以点A在⊙C内。

8. 在平面直角坐标系中,$\odot O$的直径为26,圆心O为坐标原点,则点$P(-12,-5)$与$\odot O$的位置关系是.

点P在$\odot O$上

∵圆心O为坐标原点，点P(-12,-5)，∴OP=$\sqrt{(-12)^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{144 + 25}=\sqrt{169}=13$。∵$\odot O$的直径为26，∴半径r=13。∵OP=r，∴点P在$\odot O$上。

9. (2025·苏州期末改编)如图,在矩形ABCD中,点E在矩形的对角线BD上,连接CE.过点C作$CF⊥CE$,过点D作$DF⊥DE$,DF与CF相交于点F.图中存在组在同一个圆的圆周上的四个点.

2

在矩形ABCD中，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，故A、B、C、D四点共圆（矩形的四个顶点共圆，圆心为对角线交点，半径为对角线一半）。
由CE⊥CF得∠ECF=90°，DF⊥DE得∠EDF=90°。在四边形CDEF中，取EF中点O，在Rt△EDF中，OE=OD=OF；在Rt△ECF中，OE=OC=OF，故OC=OD=OE=OF，因此C、D、E、F四点共圆（以EF中点为圆心，EF/2为半径）。
综上，存在2组四点共圆。

10. 已知$\odot O$的半径为2,设点M到圆心O的距离$OM=a$.若关于x的方程$2x^{2}-2\sqrt{2}x+a - 1 = 0$有实数根,则点M与$\odot O$的位置关系为.

（一般此类题选项设A为在圆内，B为在圆外，C为在圆上，D为在圆内或上）D

因为方程$2x^{2}-2\sqrt{2}x + a - 1 = 0$有实数根，所以其判别式$\Delta=b^{2}-4ac\geqslant0$（其中$a = 2$，$b=-2\sqrt{2}$，$c = a - 1$）。
即$\Delta = (-2\sqrt{2})^{2}-4×2×(a - 1)\geqslant0$，
$8-8(a - 1)\geqslant0$，
$8-8a + 8\geqslant0$，
$16-8a\geqslant0$，
$8a\leqslant16$，
解得$a\leqslant2$。
已知$\odot O$半径$r = 2$，点$M$到圆心$O$的距离$OM = a$，当$a\lt2$时，点$M$在$\odot O$内部；当$a = 2$时，点$M$在$\odot O$上。
所以点$M$与$\odot O$的位置关系是点$M$在$\odot O$内部或上。

11. 如图,在平面直角坐标系中,以点$A(2,0)$为圆心作圆,使圆经过点$B(0,-4)$.
(1)试判断点$C(0,4)$、$D(-2,0)$、$E(0,8)$与$\odot A$的位置关系;
(2)若点$M(0,m)$在$\odot A$外,则m的取值范围是.

(1) 因为⊙A经过点B(0,-4)，圆心A(2,0)，所以半径$r = AB = \sqrt{(0 - 2)^2 + (-4 - 0)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。
点C(0,4)到A的距离：$AC = \sqrt{(0 - 2)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = r$，故点C在⊙A上；
点D(-2,0)到A的距离：$AD = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{16} = 4$，因为$4 ＜ \sqrt{20}$，故点D在⊙A内；
点E(0,8)到A的距离：$AE = \sqrt{(0 - 2)^2 + (8 - 0)^2} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68}$，因为$\sqrt{68} ＞ \sqrt{20}$，故点E在⊙A外。
(2) 点M(0,m)在⊙A外，则$AM ＞ r$。$AM = \sqrt{(0 - 2)^2 + (m - 0)^2} = \sqrt{m^2 + 4}$，所以$\sqrt{m^2 + 4} ＞ \sqrt{20}$，两边平方得$m^2 + 4 ＞ 20$，$m^2 ＞ 16$，解得$m ＞ 4$或$m ＜ -4$。
(1) 点C在⊙A上，点D在⊙A内，点E在⊙A外；
(2) $m ＞ 4$或$m ＜ -4$

12. 如图,在矩形ABCD中,$AB=4,AD=3$,以顶点D为圆心,半径为r作圆.
(1)在点A、B、C中,若有且只有一点在圆内,求r的取值范围;
(2)在点A、B、C中,若至少有一点在圆内,至少有一点在圆外,求r的取值范围.