登录
1. 如图，在平面直角坐标系中，点 $ A $ 在函数 $ y = \dfrac{4}{x}(x ＞ 0) $ 的图象上，$ AB ⊥ x $ 轴于点 $ B $，$ AB $ 的垂直平分线与 $ y $ 轴交于点 $ C $，与函数 $ y = \dfrac{4}{x}(x ＞ 0) $ 的图象交于点 $ D $，连接 $ AC $，$ CB $，$ BD $，$ DA $，则四边形 $ ACBD $ 的面积等于(
A.$ 2 $
B.$ 2\sqrt{3} $
C.$ 4 $
D.$ 4\sqrt{3} $
C
)A.$ 2 $
B.$ 2\sqrt{3} $
C.$ 4 $
D.$ 4\sqrt{3} $
答案
1. C
解析
解：设点$ A $的坐标为$(a, \dfrac{4}{a})$，其中$ a ＞ 0 $。
因为$ AB ⊥ x $轴于点$ B $，所以点$ B $的坐标为$(a, 0)$。
$ AB $的垂直平分线平分$ AB $，$ AB $中点的纵坐标为$\dfrac{\dfrac{4}{a} + 0}{2} = \dfrac{2}{a}$，所以$ AB $垂直平分线的方程为$ y = \dfrac{2}{a} $。
点$ C $是$ AB $垂直平分线与$ y $轴的交点，令$ x = 0 $，得$ C(0, \dfrac{2}{a}) $。
点$ D $是$ AB $垂直平分线与$ y = \dfrac{4}{x} $的交点，令$ y = \dfrac{2}{a} $，则$\dfrac{2}{a} = \dfrac{4}{x}$，解得$ x = 2a $，所以$ D(2a, \dfrac{2}{a}) $。
四边形$ ACBD $的面积可看作以$ CD $为底，$ AB $为高的平行四边形的面积（或两个三角形面积之和）。
$ CD $的长度为$ 2a - 0 = 2a $，$ AB $的长度为$\dfrac{4}{a} - 0 = \dfrac{4}{a}$。
面积$ S = CD × $（$ AB $中点到$ CD $的距离，即$ AB $长度的一半）$ = 2a × \dfrac{2}{a} = 4 $。
答案：C
因为$ AB ⊥ x $轴于点$ B $，所以点$ B $的坐标为$(a, 0)$。
$ AB $的垂直平分线平分$ AB $，$ AB $中点的纵坐标为$\dfrac{\dfrac{4}{a} + 0}{2} = \dfrac{2}{a}$，所以$ AB $垂直平分线的方程为$ y = \dfrac{2}{a} $。
点$ C $是$ AB $垂直平分线与$ y $轴的交点，令$ x = 0 $，得$ C(0, \dfrac{2}{a}) $。
点$ D $是$ AB $垂直平分线与$ y = \dfrac{4}{x} $的交点，令$ y = \dfrac{2}{a} $，则$\dfrac{2}{a} = \dfrac{4}{x}$，解得$ x = 2a $，所以$ D(2a, \dfrac{2}{a}) $。
四边形$ ACBD $的面积可看作以$ CD $为底，$ AB $为高的平行四边形的面积（或两个三角形面积之和）。
$ CD $的长度为$ 2a - 0 = 2a $，$ AB $的长度为$\dfrac{4}{a} - 0 = \dfrac{4}{a}$。
面积$ S = CD × $（$ AB $中点到$ CD $的距离，即$ AB $长度的一半）$ = 2a × \dfrac{2}{a} = 4 $。
答案：C
2. 如图，正方形 $ ABCD $ 的边长为 $ 5 $，点 $ A $ 的坐标为 $ (-4,0) $，点 $ B $ 在 $ y $ 轴上，若反比例函数 $ y = \dfrac{k}{x}(k ≠ 0) $ 的图象过点 $ C $，则该反比例函数的解析式为(
A.$ y = \dfrac{3}{x} $
B.$ y = \dfrac{4}{x} $
C.$ y = \dfrac{5}{x} $
D.$ y = \dfrac{6}{x} $
A
)A.$ y = \dfrac{3}{x} $
B.$ y = \dfrac{4}{x} $
C.$ y = \dfrac{5}{x} $
D.$ y = \dfrac{6}{x} $
答案
2. A
解析
解：设点$ B(0,b) $，$ A(-4,0) $，$ AB=5 $。
由勾股定理得：$ (-4-0)^2+(0-b)^2=5^2 $，即$ 16 + b^2 = 25 $，解得$ b=-3 $（$ b=3 $舍去，点$ B $在第四象限下方），故$ B(0,-3) $。
过$ C $作$ CE ⊥ y $轴于$ E $，易证$ △ AOB ≌ △ BEC $（AAS），则$ BE=AO=4 $，$ CE=BO=3 $。
$ OE=BE - BO=4 - 3=1 $，故$ C(3,1) $。
将$ C(3,1) $代入$ y=\dfrac{k}{x} $，得$ k=3×1=3 $，所以反比例函数解析式为$ y=\dfrac{3}{x} $。
A
由勾股定理得：$ (-4-0)^2+(0-b)^2=5^2 $，即$ 16 + b^2 = 25 $，解得$ b=-3 $（$ b=3 $舍去，点$ B $在第四象限下方），故$ B(0,-3) $。
过$ C $作$ CE ⊥ y $轴于$ E $，易证$ △ AOB ≌ △ BEC $（AAS），则$ BE=AO=4 $，$ CE=BO=3 $。
$ OE=BE - BO=4 - 3=1 $，故$ C(3,1) $。
将$ C(3,1) $代入$ y=\dfrac{k}{x} $，得$ k=3×1=3 $，所以反比例函数解析式为$ y=\dfrac{3}{x} $。
A
3. 如图，直线 $ y = -\dfrac{1}{2}x + 1 $ 分别交 $ x $ 轴、$ y $ 轴于点 $ A $，$ B $，将线段 $ AB $ 绕点 $ M $ 旋转 $ 180^{\circ} $，得到线段 $ CD $，双曲线 $ y = \dfrac{k}{x} $ 恰好过 $ C $，$ D $，$ M $ 三点，求 $ k $ 的值.
答案
3. $ k = \frac{8}{9} $
解析
解：在直线$y = -\dfrac{1}{2}x + 1$中，
令$y = 0$，得$x = 2$，则$A(2,0)$；
令$x = 0$，得$y = 1$，则$B(0,1)$。
设$M(m,n)$，因为$M$是线段$AB$旋转$180°$后得到线段$CD$的中点，
所以$m = \dfrac{2 + x_C}{2}$，$n = \dfrac{0 + y_C}{2}$，即$x_C = 2m - 2$，$y_C = 2n$；
同理$m = \dfrac{0 + x_D}{2}$，$n = \dfrac{1 + y_D}{2}$，即$x_D = 2m$，$y_D = 2n - 1$。
因为双曲线$y = \dfrac{k}{x}$过$C$，$D$，$M$三点，
所以$k = mn$，$k = (2m - 2) · 2n$，$k = 2m · (2n - 1)$。
由$mn = (2m - 2) · 2n$，得$mn = 4mn - 4n$，即$3mn = 4n$，$n(3m - 4) = 0$，因为$n ≠ 0$，所以$m = \dfrac{4}{3}$。
由$mn = 2m(2n - 1)$，得$mn = 4mn - 2m$，即$3mn = 2m$，$m(3n - 2) = 0$，因为$m ≠ 0$，所以$n = \dfrac{2}{3}$。
则$k = mn = \dfrac{4}{3} × \dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{9}$。
$\dfrac{8}{9}$
令$y = 0$，得$x = 2$，则$A(2,0)$；
令$x = 0$，得$y = 1$，则$B(0,1)$。
设$M(m,n)$，因为$M$是线段$AB$旋转$180°$后得到线段$CD$的中点，
所以$m = \dfrac{2 + x_C}{2}$，$n = \dfrac{0 + y_C}{2}$，即$x_C = 2m - 2$，$y_C = 2n$；
同理$m = \dfrac{0 + x_D}{2}$，$n = \dfrac{1 + y_D}{2}$，即$x_D = 2m$，$y_D = 2n - 1$。
因为双曲线$y = \dfrac{k}{x}$过$C$，$D$，$M$三点，
所以$k = mn$，$k = (2m - 2) · 2n$，$k = 2m · (2n - 1)$。
由$mn = (2m - 2) · 2n$，得$mn = 4mn - 4n$，即$3mn = 4n$，$n(3m - 4) = 0$，因为$n ≠ 0$，所以$m = \dfrac{4}{3}$。
由$mn = 2m(2n - 1)$，得$mn = 4mn - 2m$，即$3mn = 2m$，$m(3n - 2) = 0$，因为$m ≠ 0$，所以$n = \dfrac{2}{3}$。
则$k = mn = \dfrac{4}{3} × \dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{9}$。
$\dfrac{8}{9}$
