4. 如图，点 $ A(3,5) $ 关于原点 $ O $ 的对称点为点 $ C $，过点 $ A $，$ C $ 分别作 $ y $ 轴的平行线，与 $ y = \dfrac{k}{x}(0 ＜ k ＜ 15) $ 的图象交于点 $ B $，$ D $，连接 $ AD $，$ BC $，$ AD $ 与 $ x $ 轴交于点 $ E(-2,0) $.
(1) 求 $ k $ 的值；
(2) 直接写出图中阴影部分的面积之和.

4. (1) $ k = 3 $ (2) 12

(1) 解：
∵点$A(3,5)$关于原点$O$的对称点为点$C$，
∴$C(-3,-5)$。
设直线$AD$的解析式为$y=mx+n$，将$A(3,5)$，$E(-2,0)$代入得：
$\begin{cases}3m + n = 5 \\-2m + n = 0\end{cases}$
解得$m=1$，$n=2$，
∴直线$AD$的解析式为$y=x + 2$。
∵点$D$在直线$AD$上，且$D$是过点$C$作$y$轴平行线与$y = \dfrac{k}{x}$的交点，$C(-3,-5)$，
∴点$D$的横坐标为$-3$。
将$x=-3$代入$y=x + 2$，得$y=-3 + 2=-1$，
∴$D(-3,-1)$。
∵点$D$在$y = \dfrac{k}{x}$上，
∴$k=(-3)×(-1)=3$。
(2) 12

5. 如图，已知四边形 $ AOCB $ 为矩形，且点 $ B $ 的坐标为 $ (6,4) $，反比例函数 $ y = \dfrac{m}{x} $ 的图象与矩形交于 $ D $，$ E $ 两点，且 $ BE = 3CE $，连接 $ DE $.
(1) 求反比例函数的解析式；
(2) 求 $ DE $ 的长.

5. (1) $ y = \frac{6}{x} $ (2) $ \frac{3}{2}\sqrt{13} $

(1) 解：因为四边形 $AOCB$ 是矩形，点 $B$ 的坐标为 $(6,4)$，所以 $OC=6$，$BC=4$。
因为 $BE = 3CE$，且 $BE + CE = BC = 4$，所以 $3CE + CE = 4$，解得 $CE = 1$，$BE = 3$。
所以点 $E$ 的横坐标为 $6$，纵坐标为 $1$，即 $E(6,1)$。
因为点 $E$ 在反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象上，所以 $1 = \frac{m}{6}$，解得 $m = 6$。
所以反比例函数的解析式为 $y = \frac{6}{x}$。
(2) 解：因为四边形 $AOCB$ 是矩形，所以点 $A$ 的坐标为 $(0,4)$，点 $D$ 在边 $AB$ 上，所以点 $D$ 的纵坐标为 $4$。
因为点 $D$ 在反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 的图象上，所以 $4 = \frac{6}{x}$，解得 $x = \frac{3}{2}$，即 $D(\frac{3}{2},4)$。
已知 $E(6,1)$，根据两点间距离公式，$DE = \sqrt{(6 - \frac{3}{2})^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{(\frac{9}{2})^2 + (-3)^2} = \sqrt{\frac{81}{4} + 9} = \sqrt{\frac{81}{4} + \frac{36}{4}} = \sqrt{\frac{117}{4}} = \frac{3\sqrt{13}}{2}$。
综上，(1) 反比例函数的解析式为 $y = \frac{6}{x}$；(2) $DE$ 的长为 $\frac{3}{2}\sqrt{13}$。