2. 若$a$是有理数，则$|a| + 2$的最小值是（）

A.0
B.1
C.2
D.3

2. C

【分析】
要解决这个问题，首先需要回忆绝对值的性质：任意有理数的绝对值都是非负数，也就是$|a|≥0$。要求$|a|+2$的最小值，因为常数2是固定不变的，所以只需要找到$|a|$的最小值，再加上2就能得到整个式子的最小值。
【解析】
根据绝对值的非负性可知，对于任意有理数$a$，都有$|a|≥0$，因此$|a|$的最小值为0。
将$|a|$的最小值代入式子$|a|+2$中，可得最小值为$0+2=2$。
所以$|a|+2$的最小值是2，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
绝对值的非负性；代数式最值求解
【点评】
本题考查绝对值性质的基础应用，解题的核心是抓住绝对值的非负性，通过分析变量部分的最值推导整个代数式的最值，属于易得分的基础题型。
【难度系数】
0.9

已知$|x|=3$，$|y|=4$，且$x＞y$，求$x$，$y$的值.
解 因为$|x|=3$，
所以$x=3$或$-3$.
因为$|y|=4$，
所以$y=4$或$-4$.
又$x＞y$，所以$y=-4$.
所以$x$的值是$-3$或$3$，$y$的值是$-4$.

解：
因为$|x|=3$，
所以$x=3$或$-3$。
因为$|y|=4$，
所以$y=4$或$-4$。
又因为$x＞y$，
当$y=4$时，$3＜4$，$-3＜4$，均不满足$x＞y$，舍去该情况；
当$y=-4$时，$3＞-4$，$-3＞-4$，均满足$x＞y$。
所以$x$的值为$3$或$-3$，$y$的值为$-4$。

【分析】
解题时首先根据绝对值的性质，求出x、y所有可能的取值；再结合题目给出的x＞y的约束条件，对y的两种取值分别进行讨论，筛选出符合条件的取值，最终得到x、y的正确结果。
【解析】
解：因为$|x|=3$，
所以$x=3$或$-3$。
因为$|y|=4$，
所以$y=4$或$-4$。
又因为$x＞y$，
当$y=4$时，$3＜4$，$-3＜4$，均不满足$x＞y$，舍去该情况；
当$y=-4$时，$3＞-4$，$-3＞-4$，均满足$x＞y$。
所以$x$的值为$3$或$-3$，$y$的值为$-4$。
【答案】
$x$的值为$3$或$-3$，$y$的值为$-4$
【知识点】
绝对值的性质；有理数大小比较
【点评】
本题是绝对值相关的基础题型，解题的关键是先根据绝对值的性质得到所有可能的取值，再结合限制条件分类讨论筛选，避免出现多解、漏解的问题。
【难度系数】
0.8

3. 已知两个有理数a，b，|a|=7，|b|=3.
（1）若a＞b，求a，b的值；
（2）若a＜b，求a，b的值.

解：因为|a|=7，所以a=7或-7；因为|b|=3，所以b=3或-3。
（1）若a＞b，则a=7，此时b=3或-3都满足7＞b，即a=7，b=3或b=-3；
（2）若a＜b，则a=-7，此时b=3或-3都满足-7＜b，即a=-7，b=3或b=-3。

【分析】
解题时首先根据绝对值的性质，先求出a、b的所有可能取值，再分别结合两个小问中a和b的大小关系，逐一验证筛选出符合条件的a、b的值即可，注意不要漏掉绝对值对应的正负两种情况。
【解析】
解：
∵|a|=7，
∴a=7或a=-7；
∵|b|=3，
∴b=3或b=-3。
（1）当a＞b时：
若a=7，7＞3、7＞-3，均满足大小关系，此时b可以取3或-3；
若a=-7，-7＜3、-7＜-3，均不满足a＞b，故a=-7舍去。
综上可得a=7，b=3或b=-3。
（2）当a＜b时：
若a=7，7＞3、7＞-3，均不满足a＜b，故a=7舍去；
若a=-7，-7＜3、-7＜-3，均满足大小关系，此时b可以取3或-3。
综上可得a=-7，b=3或b=-3。
【答案】
（1）a=7，b=3或b=-3；
（2）a=-7，b=3或b=-3。
【知识点】
绝对值的性质；有理数大小比较
【点评】
本题是基础题型，解题的关键是掌握绝对值的性质，明确绝对值为正数的有理数有互为相反数的两个，避免漏解，再结合给定的大小关系筛选即可。
【难度系数】
0.8

A，B，C为数轴上三点，如果点C，D在点A，B之间，且点C到点A的距离是到点B的距离的3倍，点D到点B的距离是到点A距离的3倍，如图①所示，那么我们就称点C是{A，B}的奇点，点D是{B，A}的奇点。

图①
如图②，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－3，点N所表示的数为5。

图②
表示数的点是{M，N}的奇点；表示数的点是{N，M}的奇点。
解析 因为点M到原点的距离为3，点N到原点的距离为5，所以MN＝5＋3＝8。
所以表示数3的点是{M，N}的奇点；表示数－1的点是{N，M}的奇点。
答案 3 －1

$\boldsymbol{3}$；$\boldsymbol{-1}$

【分析】
首先要明确题目中“奇点”的定义：若某点是{X,Y}的奇点，则该点在X、Y两点之间，且该点到X的距离是到Y的距离的3倍。解题时第一步先计算数轴上M、N两点的距离，第二步根据奇点对应的距离倍数关系，把MN的总长度按比例拆分，算出奇点分别到M、N的距离，最后结合端点表示的数计算出奇点对应的数值即可。
【解析】
1. 计算M、N两点的距离
已知点M表示的数为$-3$，点N表示的数为$5$，因此两点间的距离为：
$MN=5-(-3)=8$
2. 求$\{M,N\}$的奇点
根据定义，$\{M,N\}$的奇点在M、N之间，且该点到M的距离是到N的距离的3倍，设奇点到N的距离为$x$，则到M的距离为$3x$。
由线段和的关系可得：$3x+x=8$，解得$x=2$。
因此奇点对应的数为N点数值减去到N的距离：$5-2=3$。
3. 求$\{N,M\}$的奇点
根据定义，$\{N,M\}$的奇点在M、N之间，且该点到N的距离是到M的距离的3倍，设奇点到M的距离为$y$，则到N的距离为$3y$。
由线段和的关系可得：$y+3y=8$，解得$y=2$。
因此奇点对应的数为M点数值加上到M的距离：$-3+2=-1$。
【答案】
$\boldsymbol{3}$；$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
数轴两点距离计算、新定义理解、线段和差计算
【点评】
本题属于新定义类基础题型，解题核心是准确提取“奇点”的规则信息，结合数轴距离计算的基本方法按比例拆分线段即可求解，主要考察对新信息的理解应用能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7