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1. 母题教材P₂₇例 下列五个数：$\frac{22}{7}$, 2.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数依次加1), −π, −0.5, 3.14,其中无理数有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.B
解析
【分析】
解决本题首先要明确无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数，常见的无理数有三类：①构造的无限不循环小数，即数位有规律但不循环的数；②含π的数；③开方开不尽的数。接下来只需逐个判断给出的5个数是否符合无理数的特征，统计无理数的个数即可得到正确答案。
【解析】
首先明确相关定义：无限不循环小数叫做无理数；整数和分数统称有理数，有限小数和无限循环小数都可以转化为分数，属于有理数。
逐个分析给出的数：
1. $\frac{22}{7}$是分数，属于有理数；
2. 2.101 001 000 1…（相邻两个1之间0的个数依次加1）是无限不循环小数，属于无理数；
3. $-π$中$π$本身是无限不循环小数，因此$-π$也是无限不循环小数，属于无理数；
4. $-0.5$是有限小数，属于有理数；
5. 3.14是有限小数，属于有理数。
综上，无理数共有2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
无理数的定义；实数的分类
【点评】
本题是实数分类的基础题型，核心考查对无理数概念的准确理解，解题时需注意不要将$\frac{22}{7}$、3.14误判为无理数，同时要能准确识别构造类的无限不循环小数。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数，常见的无理数有三类：①构造的无限不循环小数，即数位有规律但不循环的数；②含π的数；③开方开不尽的数。接下来只需逐个判断给出的5个数是否符合无理数的特征，统计无理数的个数即可得到正确答案。
【解析】
首先明确相关定义：无限不循环小数叫做无理数；整数和分数统称有理数，有限小数和无限循环小数都可以转化为分数，属于有理数。
逐个分析给出的数：
1. $\frac{22}{7}$是分数，属于有理数；
2. 2.101 001 000 1…（相邻两个1之间0的个数依次加1）是无限不循环小数，属于无理数；
3. $-π$中$π$本身是无限不循环小数，因此$-π$也是无限不循环小数，属于无理数；
4. $-0.5$是有限小数，属于有理数；
5. 3.14是有限小数，属于有理数。
综上，无理数共有2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
无理数的定义；实数的分类
【点评】
本题是实数分类的基础题型，核心考查对无理数概念的准确理解，解题时需注意不要将$\frac{22}{7}$、3.14误判为无理数，同时要能准确识别构造类的无限不循环小数。
【难度系数】
0.8
2.如图是由16个边长为1的小正方形组成的，连接这些小正方形的若干个顶点，得到5条线段CA，CB，CD，CE，CF，其中长度是无理数的有 （
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
C
）A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
答案
2.C
解析
【分析】
要判断网格中线段的长度是否为无理数，我们可以借助勾股定理求解：将每条线段作为直角三角形的斜边，线段横向、纵向占的格数为直角边的长度，计算出线段的长度后，根据无理数的定义（开方开不尽的数属于无理数）判断即可，我们需要依次计算5条线段的长度再统计无理数的个数。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$（$a$、$b$为直角边长，$c$为斜边长），分别计算5条线段的长度：
1. $CA$：竖直方向共4个格长，$CA=4$，是有理数；
2. $CB$：横向占1格、纵向占4格，$CB=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$，是无理数；
3. $CD$：横向占3格、纵向占4格，$CD=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$，是有理数；
4. $CE$：横向占2格、纵向占3格，$CE=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，是无理数；
5. $CF$：横向占4格、纵向占2格，$CF=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，是无理数。
综上，长度为无理数的线段有CB、CE、CF，共3条。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，无理数的概念
【点评】
本题将网格与勾股定理、无理数的判断结合考查，解题时要注意准确数出线段对应的横向、纵向格长，避免数错格导致计算错误，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
要判断网格中线段的长度是否为无理数，我们可以借助勾股定理求解：将每条线段作为直角三角形的斜边，线段横向、纵向占的格数为直角边的长度，计算出线段的长度后，根据无理数的定义（开方开不尽的数属于无理数）判断即可，我们需要依次计算5条线段的长度再统计无理数的个数。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$（$a$、$b$为直角边长，$c$为斜边长），分别计算5条线段的长度：
1. $CA$：竖直方向共4个格长，$CA=4$，是有理数；
2. $CB$：横向占1格、纵向占4格，$CB=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$，是无理数；
3. $CD$：横向占3格、纵向占4格，$CD=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$，是有理数；
4. $CE$：横向占2格、纵向占3格，$CE=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，是无理数；
5. $CF$：横向占4格、纵向占2格，$CF=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，是无理数。
综上，长度为无理数的线段有CB、CE、CF，共3条。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，无理数的概念
【点评】
本题将网格与勾股定理、无理数的判断结合考查，解题时要注意准确数出线段对应的横向、纵向格长，避免数错格导致计算错误，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
3. 新题型结论开放题 若$m$是无理数，且$1＜m＜2$，则$m$的值可以是
$\frac{π}{2}$(答案不唯一)
。答案
3. $\frac{π}{2}$(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时首先明确题目的两个核心要求：一是$m$为无理数，二是$m$的取值范围在1和2之间。我们可以从常见的无理数类型入手构造符合要求的数：常见无理数包括含$π$的数、开方开不尽的数等。比如已知$π\approx3.14$是无理数，将$π$除以2得到$\frac{π}{2}\approx1.57$，刚好落在$1＜m＜2$的区间内，且无理数除以非零有理数仍为无理数，因此$\frac{π}{2}$符合要求；也可从开方角度思考，$1=\sqrt{1}$、$2=\sqrt{4}$，因此被开方数在1到4之间且开方开不尽的数，如$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$等也符合条件。
【解析】
解：要确定$m$的值，需同时满足两个条件：①$m$是无理数；②$1＜m＜2$。
已知$π$是无限不循环小数，属于无理数，且$π\approx3.14$，因此$\frac{π}{2}\approx1.57$，显然满足$1＜1.57＜2$。
因为无理数除以非零有理数仍为无理数，所以$\frac{π}{2}$是无理数，符合所有要求。除此之外$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$等也符合条件，答案不唯一。
【答案】
$\frac{π}{2}$(答案不唯一)
【知识点】
无理数的定义；实数的大小比较
【点评】
本题为结论开放型题目，主要考查对无理数概念的理解和实数大小比较的掌握，只要同时满足两个限定条件即可，答案不固定，出题形式较为灵活。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目的两个核心要求：一是$m$为无理数，二是$m$的取值范围在1和2之间。我们可以从常见的无理数类型入手构造符合要求的数：常见无理数包括含$π$的数、开方开不尽的数等。比如已知$π\approx3.14$是无理数，将$π$除以2得到$\frac{π}{2}\approx1.57$，刚好落在$1＜m＜2$的区间内，且无理数除以非零有理数仍为无理数，因此$\frac{π}{2}$符合要求；也可从开方角度思考，$1=\sqrt{1}$、$2=\sqrt{4}$，因此被开方数在1到4之间且开方开不尽的数，如$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$等也符合条件。
【解析】
解：要确定$m$的值，需同时满足两个条件：①$m$是无理数；②$1＜m＜2$。
已知$π$是无限不循环小数，属于无理数，且$π\approx3.14$，因此$\frac{π}{2}\approx1.57$，显然满足$1＜1.57＜2$。
因为无理数除以非零有理数仍为无理数，所以$\frac{π}{2}$是无理数，符合所有要求。除此之外$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$等也符合条件，答案不唯一。
【答案】
$\frac{π}{2}$(答案不唯一)
【知识点】
无理数的定义；实数的大小比较
【点评】
本题为结论开放型题目，主要考查对无理数概念的理解和实数大小比较的掌握，只要同时满足两个限定条件即可，答案不固定，出题形式较为灵活。
【难度系数】
0.8
4. 下列说法：
①实数包括有理数、无理数和0；
②无限不循环小数叫作无理数；
③正实数和负实数统称为实数；
④实数既是有理数又是无理数.
其中正确的有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①实数包括有理数、无理数和0；
②无限不循环小数叫作无理数；
③正实数和负实数统称为实数；
④实数既是有理数又是无理数.
其中正确的有 （
A
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
4.A
解析
【分析】
要解决这道概念辨析题，首先需要准确掌握实数、有理数、无理数的定义与分类标准，再逐一核对每个说法是否符合定义，最后统计正确说法的数量选择对应选项。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
1. 分析说法①：实数按照定义分为有理数和无理数两类，0属于有理数，不需要单独和有理数、无理数并列，该分类逻辑错误，故①错误；
2. 分析说法②：无理数的定义就是无限不循环小数，该说法符合定义，故②正确；
3. 分析说法③：实数按正负分类，分为正实数、0、负实数三类，该说法遗漏了0，故③错误；
4. 分析说法④：实数是有理数和无理数的统称，任意一个实数要么是有理数，要么是无理数，不可能同时既是有理数又是无理数，故④错误。
综上，只有1个正确说法，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
实数的分类、无理数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点在于分类时容易遗漏0，或是混淆概念间的包含关系，学习时要准确牢记各类数的定义与分类边界。
【难度系数】
0.8
要解决这道概念辨析题，首先需要准确掌握实数、有理数、无理数的定义与分类标准，再逐一核对每个说法是否符合定义，最后统计正确说法的数量选择对应选项。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
1. 分析说法①：实数按照定义分为有理数和无理数两类，0属于有理数，不需要单独和有理数、无理数并列，该分类逻辑错误，故①错误；
2. 分析说法②：无理数的定义就是无限不循环小数，该说法符合定义，故②正确；
3. 分析说法③：实数按正负分类，分为正实数、0、负实数三类，该说法遗漏了0，故③错误；
4. 分析说法④：实数是有理数和无理数的统称，任意一个实数要么是有理数，要么是无理数，不可能同时既是有理数又是无理数，故④错误。
综上，只有1个正确说法，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
实数的分类、无理数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点在于分类时容易遗漏0，或是混淆概念间的包含关系，学习时要准确牢记各类数的定义与分类边界。
【难度系数】
0.8
5. 把下列各数的序号填在相应的集合里：
①$7$；②$-2.6$；③$-\dfrac{π}{3}$；④$|-2|$；⑤$0.6$；⑥$-\dfrac{1}{2}$；⑦$(-\dfrac{1}{3})^3$；⑧$0.303\ 003\ 000\ 3···$(相邻两个3之间依次多一个0)；⑨$3.14$.
整数集合：$\{$ $··· \}$；
负分数集合：$\{$ $··· \}$；
无理数集合：$\{$ $··· \}$.
①$7$；②$-2.6$；③$-\dfrac{π}{3}$；④$|-2|$；⑤$0.6$；⑥$-\dfrac{1}{2}$；⑦$(-\dfrac{1}{3})^3$；⑧$0.303\ 003\ 000\ 3···$(相邻两个3之间依次多一个0)；⑨$3.14$.
整数集合：$\{$ $··· \}$；
负分数集合：$\{$ $··· \}$；
无理数集合：$\{$ $··· \}$.
答案
5.【解】整数集合：{①④…}；
负分数集合：{②⑥⑦…}；
无理数集合：{③⑧…}.
负分数集合：{②⑥⑦…}；
无理数集合：{③⑧…}.
解析
【分析】
解题第一步先对题目中含有绝对值、乘方运算的数进行化简，再分别明确三类集合的定义：整数包含正整数、0、负整数；负分数是小于0的分数（有限小数、无限循环小数都属于分数范畴）；无理数是无限不循环小数，常见类型有含π的代数式、无限不循环的特殊结构小数、开方开不尽的数等。之后逐个判断每个数所属的类别，对应填入集合即可。
【解析】
首先化简带运算的数：
④$\vert -2\vert=2$，属于正整数；⑦$(-\dfrac{1}{3})^3=-\dfrac{1}{27}$，属于负分数。
再逐个判断各数所属类别：
①$7$是正整数，归入整数集合；
②$-2.6$是负的有限小数，归入负分数集合；
③$-\dfrac{π}{3}$中$π$是无限不循环小数，因此该数是无理数，归入无理数集合；
④化简后为$2$，是正整数，归入整数集合；
⑤$0.6$是正分数，不属于题干三类集合的待选内容；
⑥$-\dfrac{1}{2}$是负分数，归入负分数集合；
⑦化简后为$-\dfrac{1}{27}$，是负分数，归入负分数集合；
⑧$0.303\ 003\ 000\ 3···$（相邻两个3之间依次多一个0）是无限不循环小数，归入无理数集合；
⑨$3.14$是有限正小数，不属于题干三类集合的待选内容。
因此最终分类结果为：
整数集合：$\{①④··· \}$；
负分数集合：$\{②⑥⑦··· \}$；
无理数集合：$\{③⑧··· \}$。
【答案】
整数集合：{①④…}；
负分数集合：{②⑥⑦…}；
无理数集合：{③⑧…}。
【知识点】
实数的分类，无理数的识别，有理数的概念
【点评】
本题是实数分类的基础题型，解题核心是先对带运算的数化简，再准确区分各类数的定义，注意不要将有限小数3.14和无理数π混淆，同时要牢记常见无理数的特征，避免分类错误。
【难度系数】
0.8
解题第一步先对题目中含有绝对值、乘方运算的数进行化简，再分别明确三类集合的定义：整数包含正整数、0、负整数；负分数是小于0的分数（有限小数、无限循环小数都属于分数范畴）；无理数是无限不循环小数，常见类型有含π的代数式、无限不循环的特殊结构小数、开方开不尽的数等。之后逐个判断每个数所属的类别，对应填入集合即可。
【解析】
首先化简带运算的数：
④$\vert -2\vert=2$，属于正整数；⑦$(-\dfrac{1}{3})^3=-\dfrac{1}{27}$，属于负分数。
再逐个判断各数所属类别：
①$7$是正整数，归入整数集合；
②$-2.6$是负的有限小数，归入负分数集合；
③$-\dfrac{π}{3}$中$π$是无限不循环小数，因此该数是无理数，归入无理数集合；
④化简后为$2$，是正整数，归入整数集合；
⑤$0.6$是正分数，不属于题干三类集合的待选内容；
⑥$-\dfrac{1}{2}$是负分数，归入负分数集合；
⑦化简后为$-\dfrac{1}{27}$，是负分数，归入负分数集合；
⑧$0.303\ 003\ 000\ 3···$（相邻两个3之间依次多一个0）是无限不循环小数，归入无理数集合；
⑨$3.14$是有限正小数，不属于题干三类集合的待选内容。
因此最终分类结果为：
整数集合：$\{①④··· \}$；
负分数集合：$\{②⑥⑦··· \}$；
无理数集合：$\{③⑧··· \}$。
【答案】
整数集合：{①④…}；
负分数集合：{②⑥⑦…}；
无理数集合：{③⑧…}。
【知识点】
实数的分类，无理数的识别，有理数的概念
【点评】
本题是实数分类的基础题型，解题核心是先对带运算的数化简，再准确区分各类数的定义，注意不要将有限小数3.14和无理数π混淆，同时要牢记常见无理数的特征，避免分类错误。
【难度系数】
0.8
6. 母题教材P₂₈随堂练习T₂ 下列比较大小正确的是 （
A.$|-1.5|＞1.\dot{5}$
B.$\frac{2}{3}＞0.667$
C.$π＜3.142$
D.$π=3.1415926$
C
）A.$|-1.5|＞1.\dot{5}$
B.$\frac{2}{3}＞0.667$
C.$π＜3.142$
D.$π=3.1415926$
答案
6.C
解析
【分析】
本题考查实数的大小比较，解题思路是先将每个选项中需要化简的数（如带绝对值的数、分数）转化为统一的小数形式，再结合圆周率π的取值特点，逐个判断选项的正误即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：先化简绝对值，$\left|-1.5\right|=1.5$，而$1.\dot{5}=1.555···$，显然$1.5＜1.\dot{5}$，因此A错误；
B选项：将分数化为小数，$\frac{2}{3}=0.666···$，显然$0.666···＜0.667$，因此B错误；
C选项：π是无限不循环小数，取值约为$3.1415926···$，对比$3.142$，可得$π＜3.142$，因此C正确；
D选项：π是无限不循环小数，$3.1415926$只是π的近似值，二者并不相等，因此D错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
实数大小比较，绝对值化简，圆周率的性质
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查实数比较大小的基本方法，解题时要注意准确对绝对值、分数进行转化，牢记π是无限不循环小数，不要混淆其近似值和准确值。
【难度系数】
0.8
本题考查实数的大小比较，解题思路是先将每个选项中需要化简的数（如带绝对值的数、分数）转化为统一的小数形式，再结合圆周率π的取值特点，逐个判断选项的正误即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：先化简绝对值，$\left|-1.5\right|=1.5$，而$1.\dot{5}=1.555···$，显然$1.5＜1.\dot{5}$，因此A错误；
B选项：将分数化为小数，$\frac{2}{3}=0.666···$，显然$0.666···＜0.667$，因此B错误；
C选项：π是无限不循环小数，取值约为$3.1415926···$，对比$3.142$，可得$π＜3.142$，因此C正确；
D选项：π是无限不循环小数，$3.1415926$只是π的近似值，二者并不相等，因此D错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
实数大小比较，绝对值化简，圆周率的性质
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查实数比较大小的基本方法，解题时要注意准确对绝对值、分数进行转化，牢记π是无限不循环小数，不要混淆其近似值和准确值。
【难度系数】
0.8
7. $3 - π$的绝对值是
$π-3$
，$\frac{1}{π}$的倒数是$π$
，$π - 3.14$的相反数是$3.14-π$
。答案
7. $π-3$；$π$；$3.14-π$
解析
【分析】
解题时对应三个概念逐一求解：1.求绝对值先判断代数式的正负：已知π≈3.14159＞3，因此3-π是负数，根据负数的绝对值等于它的相反数计算即可；2.求倒数依据“乘积为1的两个数互为倒数”，用1除以原数即可得到倒数；3.求相反数依据“数a的相反数为-a”，给原数整体加负号后化简即可。
【解析】
1. 计算$3-π$的绝对值：
因为$π\approx3.14159＞3$，所以$3-π＜0$，根据负数的绝对值是它的相反数，可得$|3-π|=-(3-π)=π-3$。
2. 计算$\frac{1}{π}$的倒数：
根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，因此$\frac{1}{π}$的倒数为$1÷\frac{1}{π}=π$。
3. 计算$π-3.14$的相反数：
根据相反数的定义，数$a$的相反数是$-a$，因此$π-3.14$的相反数为$-(π-3.14)=3.14-π$。
【答案】
$π-3$；$π$；$3.14-π$
【知识点】
绝对值的性质；倒数的定义；相反数的定义
【点评】
本题考查实数相关的基础概念，解题核心是熟练掌握绝对值、倒数、相反数的运算规则，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
解题时对应三个概念逐一求解：1.求绝对值先判断代数式的正负：已知π≈3.14159＞3，因此3-π是负数，根据负数的绝对值等于它的相反数计算即可；2.求倒数依据“乘积为1的两个数互为倒数”，用1除以原数即可得到倒数；3.求相反数依据“数a的相反数为-a”，给原数整体加负号后化简即可。
【解析】
1. 计算$3-π$的绝对值：
因为$π\approx3.14159＞3$，所以$3-π＜0$，根据负数的绝对值是它的相反数，可得$|3-π|=-(3-π)=π-3$。
2. 计算$\frac{1}{π}$的倒数：
根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，因此$\frac{1}{π}$的倒数为$1÷\frac{1}{π}=π$。
3. 计算$π-3.14$的相反数：
根据相反数的定义，数$a$的相反数是$-a$，因此$π-3.14$的相反数为$-(π-3.14)=3.14-π$。
【答案】
$π-3$；$π$；$3.14-π$
【知识点】
绝对值的性质；倒数的定义；相反数的定义
【点评】
本题考查实数相关的基础概念，解题核心是熟练掌握绝对值、倒数、相反数的运算规则，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
8. 一题多解 实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足$-a ＜ b ＜ a$，则b的值可以是（
A.2
B.$-1$
C.$-2$
D.$-3$
B
）A.2
B.$-1$
C.$-2$
D.$-3$
答案
8.B 【点拨】方法1:因为$-a＜b＜a$,所以$|b|＜a$,又因为$1＜a＜2$,所以$b$可以是$-1$.
方法2:因为$|a|＜2$,$-a＜b＜a$,所以实数$b$对应的点到原点的距离一定小于2.
方法2:因为$|a|＜2$,$-a＜b＜a$,所以实数$b$对应的点到原点的距离一定小于2.
解析
【分析】
解题第一步先观察数轴，确定实数a的取值范围是1＜a＜2；第二步推导-a的范围为-2＜-a＜-1，结合已知条件-a＜b＜a，可得b的取值范围是-2＜b＜2；第三步逐一对比选项，找出符合该范围的数值即可。也可利用绝对值的性质：-a＜b＜a等价于|b|＜a，结合a＜2可知|b|＜2，快速判断b的可能值。
【解析】
解：由数轴可得，$1 ＜ a ＜ 2$，
$\therefore -2 ＜ -a ＜ -1$，
又$\because -a ＜ b ＜ a$，
$\therefore b$的取值范围为$-2 ＜ b ＜ 2$。
逐一分析选项：
A. $2$不在$-2 ＜ b ＜ 2$范围内，不符合要求；
B. $-1$在$-2 ＜ b ＜ 2$范围内，符合要求；
C. $-2$不在$-2 ＜ b ＜ 2$范围内，不符合要求；
D. $-3$不在$-2 ＜ b ＜ 2$范围内，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
数轴的应用，绝对值的性质，实数大小比较
【点评】
本题结合数轴考查实数的大小关系判断，解题核心是先根据数轴确定a的取值范围，再推导b的取值区间，也可借助绝对值的几何意义快速解题，解题方法灵活，侧重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.8
解题第一步先观察数轴，确定实数a的取值范围是1＜a＜2；第二步推导-a的范围为-2＜-a＜-1，结合已知条件-a＜b＜a，可得b的取值范围是-2＜b＜2；第三步逐一对比选项，找出符合该范围的数值即可。也可利用绝对值的性质：-a＜b＜a等价于|b|＜a，结合a＜2可知|b|＜2，快速判断b的可能值。
【解析】
解：由数轴可得，$1 ＜ a ＜ 2$，
$\therefore -2 ＜ -a ＜ -1$，
又$\because -a ＜ b ＜ a$，
$\therefore b$的取值范围为$-2 ＜ b ＜ 2$。
逐一分析选项：
A. $2$不在$-2 ＜ b ＜ 2$范围内，不符合要求；
B. $-1$在$-2 ＜ b ＜ 2$范围内，符合要求；
C. $-2$不在$-2 ＜ b ＜ 2$范围内，不符合要求；
D. $-3$不在$-2 ＜ b ＜ 2$范围内，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
数轴的应用，绝对值的性质，实数大小比较
【点评】
本题结合数轴考查实数的大小关系判断，解题核心是先根据数轴确定a的取值范围，再推导b的取值区间，也可借助绝对值的几何意义快速解题，解题方法灵活，侧重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.8
9. 如果数轴上点A表示的数为−π，点B到点A的距离为4，那么点B表示的数为
$4-π$或$-4-π$
.答案
9. $4-π$或$-4-π$
解析
【分析】
要确定点B表示的数，需结合数轴上两点间距离的含义分析：数轴上到一个定点距离为定值的点有两个，分别位于该定点的左侧和右侧，因此本题需要分两种情况讨论计算。
【解析】
已知点A表示的数为$-π$，点B到点A的距离为4：
1. 当点B在点A的右侧时，点B表示的数比点A大4，即$-π + 4 = 4 - π$；
2. 当点B在点A的左侧时，点B表示的数比点A小4，即$-π - 4 = -4 - π$。
综上，点B表示的数为$4-π$或$-4-π$。
【答案】
$4-π$或$-4-π$
【知识点】
数轴上两点间的距离；实数的加减运算；分类讨论思想
【点评】
本题是数轴相关的基础题，核心是理解数轴上两点距离的几何意义，解题时需注意分点在已知点的左、右两侧两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要确定点B表示的数，需结合数轴上两点间距离的含义分析：数轴上到一个定点距离为定值的点有两个，分别位于该定点的左侧和右侧，因此本题需要分两种情况讨论计算。
【解析】
已知点A表示的数为$-π$，点B到点A的距离为4：
1. 当点B在点A的右侧时，点B表示的数比点A大4，即$-π + 4 = 4 - π$；
2. 当点B在点A的左侧时，点B表示的数比点A小4，即$-π - 4 = -4 - π$。
综上，点B表示的数为$4-π$或$-4-π$。
【答案】
$4-π$或$-4-π$
【知识点】
数轴上两点间的距离；实数的加减运算；分类讨论思想
【点评】
本题是数轴相关的基础题，核心是理解数轴上两点距离的几何意义，解题时需注意分点在已知点的左、右两侧两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
10. 已知实数$a,b$在数轴上的对应点如图所示，化简$|a+2|-|b-3|-|a+b|=$
$2a+2b-1$
. 答案
10. $2a+2b-1$ 【点拨】由数轴可得 $a＞-2,b＜2,|a|＞|b|$,所以 $a+2＞0,b-3＜0,a+b＜0$,所以原式$=a+2-[-(b-3)]-[-(a+b)]=a+2+b-3+a+b=2a+2b-1$,故答案为 $2a+2b-1$.
解析
【分析】
解决这类数轴结合绝对值化简的问题可分三步思考：第一步先根据数轴上点的位置确定a、b的取值范围；第二步根据取值范围判断每个绝对值内部的代数式的正负性；第三步根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再去括号、合并同类项得到最终化简结果。首先观察数轴可得a在-2和-1之间，b在1和2之间，且|a|＞|b|，由此可判断三个绝对值内式子的正负，再按绝对值法则计算即可。
【解析】
解：由数轴可知：$-2 ＜ a ＜ -1$，$1 ＜ b ＜ 2$，且$|a| ＞ |b|$，
$\therefore a+2 ＞ 0$，$b-3 ＜ 0$，$a+b ＜ 0$，
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，可得：
$|a+2| = a+2$，
$|b-3| = -(b-3) = 3 - b$，
$|a+b| = -(a+b) = -a - b$，
代入原式计算：
$\begin{aligned}|a+2|-|b-3|-|a+b|&=(a+2)-(3-b)-(-a-b)\\&=a+2-3+b+a+b\\&=2a+2b-1\end{aligned}$
【答案】
$2a+2b-1$
【知识点】
数轴的应用，绝对值的性质，整式化简
【点评】
本题是实数与整式运算结合的基础题型，解题核心是借助数轴准确判断代数式的正负，去绝对值和括号时要注意符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
解决这类数轴结合绝对值化简的问题可分三步思考：第一步先根据数轴上点的位置确定a、b的取值范围；第二步根据取值范围判断每个绝对值内部的代数式的正负性；第三步根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再去括号、合并同类项得到最终化简结果。首先观察数轴可得a在-2和-1之间，b在1和2之间，且|a|＞|b|，由此可判断三个绝对值内式子的正负，再按绝对值法则计算即可。
【解析】
解：由数轴可知：$-2 ＜ a ＜ -1$，$1 ＜ b ＜ 2$，且$|a| ＞ |b|$，
$\therefore a+2 ＞ 0$，$b-3 ＜ 0$，$a+b ＜ 0$，
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，可得：
$|a+2| = a+2$，
$|b-3| = -(b-3) = 3 - b$，
$|a+b| = -(a+b) = -a - b$，
代入原式计算：
$\begin{aligned}|a+2|-|b-3|-|a+b|&=(a+2)-(3-b)-(-a-b)\\&=a+2-3+b+a+b\\&=2a+2b-1\end{aligned}$
【答案】
$2a+2b-1$
【知识点】
数轴的应用，绝对值的性质，整式化简
【点评】
本题是实数与整式运算结合的基础题型，解题核心是借助数轴准确判断代数式的正负，去绝对值和括号时要注意符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
11. [2025 南京] 实数$-a,a,\frac{1}{a}$在数轴上对应点的位置如图所示，下列四个点中，表示1的点可能是 （
A.P
B.Q
C.R
D.S
C
）A.P
B.Q
C.R
D.S
答案
11.C 【点拨】依题意得,$a≠0$,观察数轴,得$-a＜a＜\frac{1}{a}$,所以$0＜a＜1$,则$\frac{1}{a}＞1$,所以$a＜1＜\frac{1}{a}$.因为R在表示$a$和$\frac{1}{a}$的点之间,所以表示1的点可能是R,故选C.
解析
【分析】
解题时先利用数轴上数的大小规律（数轴上右侧的数始终大于左侧的数），得到已知三个实数$-a$、$a$、$\frac{1}{a}$的大小关系，再据此推导$a$的取值范围，最后结合倒数的性质判断1所在的区间，对应数轴上的点即可得到答案。
【解析】
根据数轴上点的位置可知：$-a ＜ a ＜ \frac{1}{a}$。
1. 由$-a ＜ a$，移项得$2a＞0$，因此$a＞0$；
2. 由$a ＜ \frac{1}{a}$，且$a＞0$，不等式两边同时乘正数$a$，不等号方向不变，得$a^2 ＜ 1$，结合$a＞0$可得$0 ＜ a ＜1$；
3. 当$0 ＜ a ＜1$时，其倒数$\frac{1}{a} ＞ 1$，因此可得$a ＜ 1 ＜ \frac{1}{a}$。
观察数轴，位于$a$和$\frac{1}{a}$之间的点是R，故表示1的点可能是R。
【答案】
C
【知识点】
数轴的应用、实数大小比较、倒数的性质
【点评】
本题将数轴与实数的性质结合考查，解题核心是先通过数的位置关系确定参数$a$的取值范围，再判断1的位置，是实数相关知识的典型基础应用题型。
【难度系数】
0.7
解题时先利用数轴上数的大小规律（数轴上右侧的数始终大于左侧的数），得到已知三个实数$-a$、$a$、$\frac{1}{a}$的大小关系，再据此推导$a$的取值范围，最后结合倒数的性质判断1所在的区间，对应数轴上的点即可得到答案。
【解析】
根据数轴上点的位置可知：$-a ＜ a ＜ \frac{1}{a}$。
1. 由$-a ＜ a$，移项得$2a＞0$，因此$a＞0$；
2. 由$a ＜ \frac{1}{a}$，且$a＞0$，不等式两边同时乘正数$a$，不等号方向不变，得$a^2 ＜ 1$，结合$a＞0$可得$0 ＜ a ＜1$；
3. 当$0 ＜ a ＜1$时，其倒数$\frac{1}{a} ＞ 1$，因此可得$a ＜ 1 ＜ \frac{1}{a}$。
观察数轴，位于$a$和$\frac{1}{a}$之间的点是R，故表示1的点可能是R。
【答案】
C
【知识点】
数轴的应用、实数大小比较、倒数的性质
【点评】
本题将数轴与实数的性质结合考查，解题核心是先通过数的位置关系确定参数$a$的取值范围，再判断1的位置，是实数相关知识的典型基础应用题型。
【难度系数】
0.7
12. ★★ 如图①是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的，其中 $ OA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = \dots = A_7A_8 = 1 $。如果把图②中的直角三角形继续作下去，那么 $ OA_1, OA_2, OA_3, \dots, OA_{25} $ 这些线段中，有
20
条线段的长度为无理数。答案
12. 20 【点拨】由题意可得,$OA_1^2=1$,$OA_2^2=OA_1^2+1^2=2$,$OA_3^2=OA_2^2+1^2=3$,$OA_4^2=OA_3^2+1^2=4$,$OA_5^2=OA_4^2+1^2=5$,$\dots$,所以线段长度为有理数的是$OA_1=1$,$OA_4=2$,$OA_9=3$,$OA_{16}=4$,$OA_{25}=5$,所以$OA_1$,$OA_2$,$OA_3$,$\dots$,$OA_{25}$这些线段中,长度为无理数的线段有 $25-5=20$(条).
解析
【分析】
解题时先结合勾股定理推导各段OAₙ的长度规律，再根据无理数的定义判断哪些线段长度为有理数，最后通过做差得到无理数对应的线段数量。第一步：利用勾股定理，结合每个直角三角形的直角边均为1的条件，依次计算前几个OAₙ的长度，归纳得到OAₙ的通用表达式；第二步：明确只有根号下的数是完全平方数时，开方结果为有理数，其余为无理数；第三步：统计1到25中完全平方数的个数，用总线段数减去有理数的线段数即可。
【解析】
解：根据勾股定理依次计算各线段长度的平方：
$OA_1^2=1$，即$OA_1=\sqrt{1}=1$；
$OA_2^2=OA_1^2+1^2=1+1=2$，即$OA_2=\sqrt{2}$；
$OA_3^2=OA_2^2+1^2=2+1=3$，即$OA_3=\sqrt{3}$；
$OA_4^2=OA_3^2+1^2=3+1=4$，即$OA_4=\sqrt{4}=2$；
……
由此可归纳规律：$OA_n=\sqrt{n}$（n为正整数）。
若$OA_n$为有理数，则$\sqrt{n}$为有理数，即n为完全平方数。在1~25中，完全平方数有$1=1^2、4=2^2、9=3^2、16=4^2、25=5^2$，共5个，即有5条线段长度为有理数。
因此长度为无理数的线段数量为$25-5=20$（条）。
【答案】
20
【知识点】
勾股定理；无理数的定义；完全平方数
【点评】
本题结合图形规律探究和实数分类的知识，解题核心是通过勾股定理推导线段长度的通用表达式，再结合完全平方数的性质筛选有理数线段，侧重考查学生的规律归纳能力和基础概念的掌握情况。
【难度系数】
0.7
解题时先结合勾股定理推导各段OAₙ的长度规律，再根据无理数的定义判断哪些线段长度为有理数，最后通过做差得到无理数对应的线段数量。第一步：利用勾股定理，结合每个直角三角形的直角边均为1的条件，依次计算前几个OAₙ的长度，归纳得到OAₙ的通用表达式；第二步：明确只有根号下的数是完全平方数时，开方结果为有理数，其余为无理数；第三步：统计1到25中完全平方数的个数，用总线段数减去有理数的线段数即可。
【解析】
解：根据勾股定理依次计算各线段长度的平方：
$OA_1^2=1$，即$OA_1=\sqrt{1}=1$；
$OA_2^2=OA_1^2+1^2=1+1=2$，即$OA_2=\sqrt{2}$；
$OA_3^2=OA_2^2+1^2=2+1=3$，即$OA_3=\sqrt{3}$；
$OA_4^2=OA_3^2+1^2=3+1=4$，即$OA_4=\sqrt{4}=2$；
……
由此可归纳规律：$OA_n=\sqrt{n}$（n为正整数）。
若$OA_n$为有理数，则$\sqrt{n}$为有理数，即n为完全平方数。在1~25中，完全平方数有$1=1^2、4=2^2、9=3^2、16=4^2、25=5^2$，共5个，即有5条线段长度为有理数。
因此长度为无理数的线段数量为$25-5=20$（条）。
【答案】
20
【知识点】
勾股定理；无理数的定义；完全平方数
【点评】
本题结合图形规律探究和实数分类的知识，解题核心是通过勾股定理推导线段长度的通用表达式，再结合完全平方数的性质筛选有理数线段，侧重考查学生的规律归纳能力和基础概念的掌握情况。
【难度系数】
0.7
13. [2026唐山期中]如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示$-\frac{π}{2}$，设点B所表示的数为m.
(1)求$|m+1|+|m-1|$的值；
(2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有$|2c+8|$与$(d-3)^2$为相反数，求$2d - c$的平方.
(1)求$|m+1|+|m-1|$的值；
(2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有$|2c+8|$与$(d-3)^2$为相反数，求$2d - c$的平方.
答案
13.【解】(1)由题意得 $m=2-\frac{π}{2}$,所以 $m+1＞0,m-1＜0$,所以$|m+1|+|m-1|=m+1+1-m=2$.
(2)由题意得$|2c+8|+(d-3)^2=0$,所以$2c+8=0,d-3=0$,解得$c=-4,d=3$,所以$2d-c=2×3-(-4)=6+4=10$.因为10的平方是100,所以$2d-c$的平方为100.
(2)由题意得$|2c+8|+(d-3)^2=0$,所以$2c+8=0,d-3=0$,解得$c=-4,d=3$,所以$2d-c=2×3-(-4)=6+4=10$.因为10的平方是100,所以$2d-c$的平方为100.
解析
【分析】
(1) 首先根据数轴上点向右平移的规律：点向右移动几个单位，对应表示的数就加几，先求出点B对应的数m；再估算π的大小，判断m的取值范围，确定m+1和m-1的正负；最后根据绝对值的性质去绝对值符号，化简即可得到结果。
(2) 先根据相反数的性质得到两个式子的和为0，再结合绝对值和平方数的非负性，可得两个非负式子各自为0，列方程求出c、d的值，代入计算出2d-c的值后再求平方即可。
【解析】
(1) 由题意得，点B表示的数$ m = -\frac{π}{2} + 2 = 2-\frac{π}{2} $。
因为$ π\approx3.14 $，所以$ \frac{π}{2}\approx1.57 $，可得$ 0＜2-\frac{π}{2}＜1 $，即$ 0＜m＜1 $，因此$ m+1＞0 $，$ m-1＜0 $。
根据绝对值的性质化简：
$ |m+1|+|m-1| = m+1 + (1-m) = 2 $。
(2) 因为$ |2c+8| $与$ (d-3)^2 $互为相反数，所以$ |2c+8| + (d-3)^2 = 0 $。
由于$ |2c+8|≥0 $，$ (d-3)^2≥0 $，因此只有$ 2c+8=0 $且$ d-3=0 $时等式成立：
解得$ c=-4 $，$ d=3 $。
代入得$ 2d - c = 2×3 - (-4) = 10 $，所以$ 2d - c $的平方为$ 10^2=100 $。
【答案】
(1) $\boxed{2}$；(2) $\boxed{100}$
【知识点】
数轴点的平移；绝对值化简；非负数的性质
【点评】
本题是实数相关运算的基础综合题，解题的核心是掌握数轴点的平移规则、绝对值去符号的方法，以及“多个非负数的和为0时，每个非负数均为0”的常用结论，熟练掌握这些基础知识点就能快速解题。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据数轴上点向右平移的规律：点向右移动几个单位，对应表示的数就加几，先求出点B对应的数m；再估算π的大小，判断m的取值范围，确定m+1和m-1的正负；最后根据绝对值的性质去绝对值符号，化简即可得到结果。
(2) 先根据相反数的性质得到两个式子的和为0，再结合绝对值和平方数的非负性，可得两个非负式子各自为0，列方程求出c、d的值，代入计算出2d-c的值后再求平方即可。
【解析】
(1) 由题意得，点B表示的数$ m = -\frac{π}{2} + 2 = 2-\frac{π}{2} $。
因为$ π\approx3.14 $，所以$ \frac{π}{2}\approx1.57 $，可得$ 0＜2-\frac{π}{2}＜1 $，即$ 0＜m＜1 $，因此$ m+1＞0 $，$ m-1＜0 $。
根据绝对值的性质化简：
$ |m+1|+|m-1| = m+1 + (1-m) = 2 $。
(2) 因为$ |2c+8| $与$ (d-3)^2 $互为相反数，所以$ |2c+8| + (d-3)^2 = 0 $。
由于$ |2c+8|≥0 $，$ (d-3)^2≥0 $，因此只有$ 2c+8=0 $且$ d-3=0 $时等式成立：
解得$ c=-4 $，$ d=3 $。
代入得$ 2d - c = 2×3 - (-4) = 10 $，所以$ 2d - c $的平方为$ 10^2=100 $。
【答案】
(1) $\boxed{2}$；(2) $\boxed{100}$
【知识点】
数轴点的平移；绝对值化简；非负数的性质
【点评】
本题是实数相关运算的基础综合题，解题的核心是掌握数轴点的平移规则、绝对值去符号的方法，以及“多个非负数的和为0时，每个非负数均为0”的常用结论，熟练掌握这些基础知识点就能快速解题。
【难度系数】
0.7
