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1. 对于二次函数 $y=-\dfrac{1}{4}x^2 + x - 4$，下列说法正确的是（
A.当 $x＞0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大
B.当 $x=2$ 时，$y$ 有最大值 $-3$
C.图象的顶点坐标为 $(-2,-7)$
D.图象与 $x$ 轴有两个交点
B
）A.当 $x＞0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大
B.当 $x=2$ 时，$y$ 有最大值 $-3$
C.图象的顶点坐标为 $(-2,-7)$
D.图象与 $x$ 轴有两个交点
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查二次函数的基本性质，解题时可先将二次函数的一般式转化为顶点式，或利用公式求出对称轴、顶点坐标，再结合开口方向分析函数的单调性、最值，最后利用判别式判断图象与x轴的交点个数，逐一验证四个选项即可得出正确答案。
【解析】
先对二次函数$y=-\dfrac{1}{4}x^2 + x - 4$用配方法转化为顶点式：
$y=-\dfrac{1}{4}(x^2-4x)-4=-\dfrac{1}{4}(x^2-4x+4-4)-4=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2-3$
已知$a=-\dfrac{1}{4}＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,-3)$。
逐一分析选项：
A. 抛物线开口向下，$x＜2$时$y$随$x$的增大而增大，$x＞2$时$y$随$x$的增大而减小，因此$x＞0$时$y$不是全程随$x$增大而增大，A错误；
B. 抛物线开口向下，顶点为最高点，因此当$x=2$时，$y$有最大值$-3$，B正确；
C. 由顶点式可知顶点坐标为$(2,-3)$，不是$(-2,-7)$，C错误；
D. 计算判别式$\Delta=b^2-4ac=1^2-4×(-\dfrac{1}{4})×(-4)=1-4=-3＜0$，因此图象与$x$轴没有交点，D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点
【点评】
本题属于二次函数基础题，核心考查二次函数相关基础公式的运用，只要熟练掌握对称轴、顶点坐标、判别式的计算方法，结合开口方向分析性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数的基本性质，解题时可先将二次函数的一般式转化为顶点式，或利用公式求出对称轴、顶点坐标，再结合开口方向分析函数的单调性、最值，最后利用判别式判断图象与x轴的交点个数，逐一验证四个选项即可得出正确答案。
【解析】
先对二次函数$y=-\dfrac{1}{4}x^2 + x - 4$用配方法转化为顶点式：
$y=-\dfrac{1}{4}(x^2-4x)-4=-\dfrac{1}{4}(x^2-4x+4-4)-4=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2-3$
已知$a=-\dfrac{1}{4}＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,-3)$。
逐一分析选项：
A. 抛物线开口向下，$x＜2$时$y$随$x$的增大而增大，$x＞2$时$y$随$x$的增大而减小，因此$x＞0$时$y$不是全程随$x$增大而增大，A错误；
B. 抛物线开口向下，顶点为最高点，因此当$x=2$时，$y$有最大值$-3$，B正确；
C. 由顶点式可知顶点坐标为$(2,-3)$，不是$(-2,-7)$，C错误；
D. 计算判别式$\Delta=b^2-4ac=1^2-4×(-\dfrac{1}{4})×(-4)=1-4=-3＜0$，因此图象与$x$轴没有交点，D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点
【点评】
本题属于二次函数基础题，核心考查二次函数相关基础公式的运用，只要熟练掌握对称轴、顶点坐标、判别式的计算方法，结合开口方向分析性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
2. (2025—2026赣州崇义检测)
如图，二次函数$y=a(x+2)^2 +k$的图象与x轴交于A(-6,0),B两点.下列说法错误的是 (
A.$a＜0$
B.图象的对称轴为直线$x=-2$
C.当$x＜0$时，y随x的增大而增大
D.点B的坐标为(2,0)
如图，二次函数$y=a(x+2)^2 +k$的图象与x轴交于A(-6,0),B两点.下列说法错误的是 (
C
)A.$a＜0$
B.图象的对称轴为直线$x=-2$
C.当$x＜0$时，y随x的增大而增大
D.点B的坐标为(2,0)
答案
2.C
解析
【分析】
解题时先结合二次函数顶点式的性质与图像特征，逐个分析选项：第一步由抛物线开口方向判断a的符号；第二步根据顶点式直接确定对称轴；第三步利用二次函数的对称性求出点B的坐标；第四步结合开口方向和对称轴分析函数增减性，最终找出错误的选项。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=a(x+2)^2 +k$，结合图像逐一判断选项：
1. 选项A：由图像可得抛物线开口向下，因此二次项系数$a＜0$，该说法正确，不符合题意；
2. 选项B：二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$，将给定解析式变形为$y=a[x-(-2)]^2 +k$，可得对称轴为直线$x=-2$，该说法正确，不符合题意；
3. 选项D：二次函数图像关于对称轴对称，点$A(-6,0)$到对称轴$x=-2$的距离为$\vert -6 - (-2)\vert=4$，因此点B到对称轴的距离也为4，且在对称轴右侧，点B的横坐标为$-2+4=2$，即$B(2,0)$，该说法正确，不符合题意；
4. 选项C：抛物线开口向下、对称轴为$x=-2$，可得当$x＜-2$时，y随x的增大而增大，当$x＞-2$时，y随x的增大而减小。因此在$-2＜x＜0$区间内，y随x的增大而减小，并非$x＜0$时y都随x的增大而增大，该说法错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数对称性，二次函数增减性
【点评】
本题围绕二次函数的基本性质出题，熟练掌握顶点式对应的对称轴、开口方向与系数关系、对称性和增减性即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时先结合二次函数顶点式的性质与图像特征，逐个分析选项：第一步由抛物线开口方向判断a的符号；第二步根据顶点式直接确定对称轴；第三步利用二次函数的对称性求出点B的坐标；第四步结合开口方向和对称轴分析函数增减性，最终找出错误的选项。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=a(x+2)^2 +k$，结合图像逐一判断选项：
1. 选项A：由图像可得抛物线开口向下，因此二次项系数$a＜0$，该说法正确，不符合题意；
2. 选项B：二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$，将给定解析式变形为$y=a[x-(-2)]^2 +k$，可得对称轴为直线$x=-2$，该说法正确，不符合题意；
3. 选项D：二次函数图像关于对称轴对称，点$A(-6,0)$到对称轴$x=-2$的距离为$\vert -6 - (-2)\vert=4$，因此点B到对称轴的距离也为4，且在对称轴右侧，点B的横坐标为$-2+4=2$，即$B(2,0)$，该说法正确，不符合题意；
4. 选项C：抛物线开口向下、对称轴为$x=-2$，可得当$x＜-2$时，y随x的增大而增大，当$x＞-2$时，y随x的增大而减小。因此在$-2＜x＜0$区间内，y随x的增大而减小，并非$x＜0$时y都随x的增大而增大，该说法错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数对称性，二次函数增减性
【点评】
本题围绕二次函数的基本性质出题，熟练掌握顶点式对应的对称轴、开口方向与系数关系、对称性和增减性即可快速解题。
【难度系数】
0.7
3. 新定义题 定义:如果抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$上的点$A(x,y)$的横坐标不变,纵坐标变为点A的横、纵坐标之和,就会得到一个新的点$A_1(x,x+y)$,我们把这个点$A_1$叫作点A的“简朴点”.已知抛物线$y=ax^2-4x+1$上一点B的“简朴点”是$B_1(2,3)$,那么该抛物线上点$C(1,m)$的“简朴点”$C_1$的坐标为
(1,0)
.答案
3.(1,0) 【解析】
∵抛物线 $y=ax^2 - 4x + 1$ 上一点 B 的“简朴点”是 $B_1(2,3)$,即当 $x=2$ 时,$x+y=x+ax^2 - 4x + 1=3$,$\therefore 2+a × 2^2 - 4 × 2 + 1=3$,解得 $a=2$,$\therefore$ 该抛物线解析式为 $y=2x^2 - 4x + 1$. 将点 $C(1,m)$ 代入,可得 $m=2 × 1^2 - 4 × 1 + 1=-1$,$\therefore C(1,-1)$,$\therefore$ 点$C(1,m)$的“简朴点”$C_1$ 的坐标为 $(1,0)$.
∵抛物线 $y=ax^2 - 4x + 1$ 上一点 B 的“简朴点”是 $B_1(2,3)$,即当 $x=2$ 时,$x+y=x+ax^2 - 4x + 1=3$,$\therefore 2+a × 2^2 - 4 × 2 + 1=3$,解得 $a=2$,$\therefore$ 该抛物线解析式为 $y=2x^2 - 4x + 1$. 将点 $C(1,m)$ 代入,可得 $m=2 × 1^2 - 4 × 1 + 1=-1$,$\therefore C(1,-1)$,$\therefore$ 点$C(1,m)$的“简朴点”$C_1$ 的坐标为 $(1,0)$.
解析
【分析】
解题的关键是先准确理解“简朴点”的定义：点的横坐标不变，新纵坐标等于原横坐标与原纵坐标的和。首先利用已知点B的简朴点坐标，代入表达式求出抛物线解析式中未知参数a的值，确定抛物线的完整解析式；再将点C的横坐标代入解析式求出m的值，得到点C的坐标；最后按照“简朴点”的规则计算得到$C_1$的坐标即可。
【解析】
∵抛物线$y=ax^2 - 4x + 1$上一点B的“简朴点”是$B_1(2,3)$，根据“简朴点”的定义可知，点B的横坐标为2，且满足$x+y=3$，其中$y=ax^2-4x+1$。
将$x=2$代入得：$2 + a×2^2 - 4×2 + 1 = 3$
解得$a=2$，因此抛物线的解析式为$y=2x^2 - 4x + 1$。
∵点$C(1,m)$在抛物线上，将$x=1$代入解析式得：
$m=2×1^2 - 4×1 + 1 = -1$，即点C的坐标为$(1,-1)$。
根据“简朴点”的定义，点C的“简朴点”$C_1$的横坐标为1，纵坐标为$1 + (-1)=0$。
【答案】
$(1,0)$
【知识点】
新定义运算，二次函数解析式求解，二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于新定义类基础题，核心是正确理解新定义的运算规则，结合二次函数图象上的点满足函数解析式的性质逐步计算即可，侧重考察对新定义的理解能力和基础代数运算能力。
【难度系数】
0.7
解题的关键是先准确理解“简朴点”的定义：点的横坐标不变，新纵坐标等于原横坐标与原纵坐标的和。首先利用已知点B的简朴点坐标，代入表达式求出抛物线解析式中未知参数a的值，确定抛物线的完整解析式；再将点C的横坐标代入解析式求出m的值，得到点C的坐标；最后按照“简朴点”的规则计算得到$C_1$的坐标即可。
【解析】
∵抛物线$y=ax^2 - 4x + 1$上一点B的“简朴点”是$B_1(2,3)$，根据“简朴点”的定义可知，点B的横坐标为2，且满足$x+y=3$，其中$y=ax^2-4x+1$。
将$x=2$代入得：$2 + a×2^2 - 4×2 + 1 = 3$
解得$a=2$，因此抛物线的解析式为$y=2x^2 - 4x + 1$。
∵点$C(1,m)$在抛物线上，将$x=1$代入解析式得：
$m=2×1^2 - 4×1 + 1 = -1$，即点C的坐标为$(1,-1)$。
根据“简朴点”的定义，点C的“简朴点”$C_1$的横坐标为1，纵坐标为$1 + (-1)=0$。
【答案】
$(1,0)$
【知识点】
新定义运算，二次函数解析式求解，二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于新定义类基础题，核心是正确理解新定义的运算规则，结合二次函数图象上的点满足函数解析式的性质逐步计算即可，侧重考察对新定义的理解能力和基础代数运算能力。
【难度系数】
0.7
4. 已知二次函数 $ y = x(x - a) + (x - a)(x - b) + x(x - b) $，其中 $ a, b $ 为两个不相等的实数。
(1) 当 $ a = 0, b = 3 $ 时，求此函数图象的对称轴。
(2) 当 $ b = 2a $ 时，若该函数在 $ 0 ≤ x ≤ 1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；在 $ 3 ≤ x ≤ 4 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大。求 $ a $ 的取值范围。
(1) 当 $ a = 0, b = 3 $ 时，求此函数图象的对称轴。
(2) 当 $ b = 2a $ 时，若该函数在 $ 0 ≤ x ≤ 1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；在 $ 3 ≤ x ≤ 4 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大。求 $ a $ 的取值范围。
答案
4. 解:(1)当 $ a=0,b=3 $ 时,$y=x^2 + x(x - 3) + x(x - 3) =x^2 + x^2 - 3x + x^2 - 3x=3x^2 - 6x$,
$\therefore$ 对称轴为直线 $ x=-\dfrac{-6}{6}=1 $.
(2)$\because b=2a$,$\therefore y=x(x - a) + (x - a)(x - 2a) + x(x - 2a) =x^2 - ax + x^2 - 3ax + 2a^2 + x^2 - 2ax=3x^2 - 6ax + 2a^2$,
$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线 $ x=-\dfrac{-6a}{6}=a $.
$\because 3＞0$,$\therefore$ 抛物线的开口向上.
$\because$ 该函数在 $ 0≤ x≤ 1 $ 时,$y$ 随 $ x $ 的增大而减小;在 $ 3≤ x≤ 4 $ 时,$y$ 随 $ x $ 的增大而增大,$\therefore 1≤ a≤ 3 $.
$\therefore$ 对称轴为直线 $ x=-\dfrac{-6}{6}=1 $.
(2)$\because b=2a$,$\therefore y=x(x - a) + (x - a)(x - 2a) + x(x - 2a) =x^2 - ax + x^2 - 3ax + 2a^2 + x^2 - 2ax=3x^2 - 6ax + 2a^2$,
$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线 $ x=-\dfrac{-6a}{6}=a $.
$\because 3＞0$,$\therefore$ 抛物线的开口向上.
$\because$ 该函数在 $ 0≤ x≤ 1 $ 时,$y$ 随 $ x $ 的增大而减小;在 $ 3≤ x≤ 4 $ 时,$y$ 随 $ x $ 的增大而增大,$\therefore 1≤ a≤ 3 $.
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，先将$a=0$、$b=3$代入原函数，通过整式运算化简为二次函数的一般形式，再直接套用二次函数对称轴公式计算即可。
(2) 求解第二问时，先将$b=2a$代入原函数，化简得到含参数$a$的二次函数表达式，先确定对称轴和开口方向；再结合开口向上的二次函数“对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大”的性质，根据题目给出的增减性区间，判断对称轴的位置范围，即可求出$a$的取值范围。
【解析】
(1) 当$a=0,b=3$时，代入函数得：
$\begin{aligned}y&=x^2 + x(x - 3) + x(x - 3)\\&=x^2 + x^2 - 3x + x^2 - 3x\\&=3x^2 - 6x\end{aligned}$
二次函数$y=Ax^2+Bx+C$（$A≠0$）的对称轴为直线$x=-\frac{B}{2A}$，此处$A=3$，$B=-6$，代入得：
对称轴为直线$x=-\frac{-6}{2×3}=1$。
(2) 当$b=2a$时，代入原函数化简得：
$\begin{aligned}y&=x(x - a) + (x - a)(x - 2a) + x(x - 2a)\\&=x^2 - ax + x^2 - 3ax + 2a^2 + x^2 - 2ax\\&=3x^2 - 6ax + 2a^2\end{aligned}$
该函数二次项系数$3＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{-6a}{2×3}=a$。
根据二次函数增减性，结合题意可知：
区间$0≤x≤1$在对称轴左侧（含对称轴），即$a≥1$；
区间$3≤x≤4$在对称轴右侧（含对称轴），即$a≤3$。
因此$a$的取值范围为$1≤a≤3$。
【答案】
(1) 函数图象的对称轴为直线$\boldsymbol{x=1}$；
(2) $a$的取值范围是$\boldsymbol{1≤a≤3}$。
【知识点】
二次函数对称轴求解，二次函数增减性，整式化简
【点评】
本题是二次函数性质的常规考查题，第一问侧重基础运算，第二问需要结合增减性反推对称轴的位置，核心是掌握二次函数开口方向、对称轴和增减性三者的对应关系。
【难度系数】
0.7
(1) 求解第一问时，先将$a=0$、$b=3$代入原函数，通过整式运算化简为二次函数的一般形式，再直接套用二次函数对称轴公式计算即可。
(2) 求解第二问时，先将$b=2a$代入原函数，化简得到含参数$a$的二次函数表达式，先确定对称轴和开口方向；再结合开口向上的二次函数“对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大”的性质，根据题目给出的增减性区间，判断对称轴的位置范围，即可求出$a$的取值范围。
【解析】
(1) 当$a=0,b=3$时，代入函数得：
$\begin{aligned}y&=x^2 + x(x - 3) + x(x - 3)\\&=x^2 + x^2 - 3x + x^2 - 3x\\&=3x^2 - 6x\end{aligned}$
二次函数$y=Ax^2+Bx+C$（$A≠0$）的对称轴为直线$x=-\frac{B}{2A}$，此处$A=3$，$B=-6$，代入得：
对称轴为直线$x=-\frac{-6}{2×3}=1$。
(2) 当$b=2a$时，代入原函数化简得：
$\begin{aligned}y&=x(x - a) + (x - a)(x - 2a) + x(x - 2a)\\&=x^2 - ax + x^2 - 3ax + 2a^2 + x^2 - 2ax\\&=3x^2 - 6ax + 2a^2\end{aligned}$
该函数二次项系数$3＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{-6a}{2×3}=a$。
根据二次函数增减性，结合题意可知：
区间$0≤x≤1$在对称轴左侧（含对称轴），即$a≥1$；
区间$3≤x≤4$在对称轴右侧（含对称轴），即$a≤3$。
因此$a$的取值范围为$1≤a≤3$。
【答案】
(1) 函数图象的对称轴为直线$\boldsymbol{x=1}$；
(2) $a$的取值范围是$\boldsymbol{1≤a≤3}$。
【知识点】
二次函数对称轴求解，二次函数增减性，整式化简
【点评】
本题是二次函数性质的常规考查题，第一问侧重基础运算，第二问需要结合增减性反推对称轴的位置，核心是掌握二次函数开口方向、对称轴和增减性三者的对应关系。
【难度系数】
0.7
5. 对于二次函数$y=x^2+mx-1$，下列结论一定正确的是（
A.它的图象与$x$轴只有一个交点
B.方程$x^2+mx=1$的两根之积为$-1$
C.它的图象的对称轴在$y$轴的右侧
D.当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小
B
）A.它的图象与$x$轴只有一个交点
B.方程$x^2+mx=1$的两根之积为$-1$
C.它的图象的对称轴在$y$轴的右侧
D.当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小
答案
5.B
解析
【分析】
本题考查二次函数的基础性质，解题时需逐个分析选项，结合对应知识点判断正误：①判断二次函数与x轴的交点个数，可通过计算判别式Δ的正负判断；②判断一元二次方程根的乘积，先将方程化为一般形式，再用根与系数的关系求解；③判断对称轴的位置，可通过对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$分析，注意参数m取值不确定，无法直接确定对称轴位置；④判断函数增减性，需结合开口方向和对称轴的位置共同分析。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：二次函数$y=x^2+mx-1$中，判别式$\Delta = m^2 - 4×1×(-1) = m^2 + 4$，由于$m^2≥0$，因此$\Delta = m^2 + 4 ＞ 0$，函数图象与x轴有两个交点，A错误。
选项B：将方程$x^2+mx=1$整理为一般形式：$x^2 + mx - 1 = 0$，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积为$\frac{c}{a} = \frac{-1}{1} = -1$，B正确。
选项C：二次函数图象的对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{m}{2}$，m的取值不确定：当$m＞0$时，对称轴在y轴左侧；当$m=0$时，对称轴为y轴；当$m＜0$时，对称轴在y轴右侧，因此对称轴不一定在y轴右侧，C错误。
选项D：二次函数$a=1＞0$，图象开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大，且对称轴位置不确定，因此“当$x＞1$时，y随x的增大而减小”的结论不成立，D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质、根与系数的关系、一元二次方程判别式
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，需要熟练掌握二次函数的交点判定、对称轴公式、增减性规律以及一元二次方程的韦达定理，逐一验证选项即可得出答案，注意含参数的代数式要考虑参数取值的不确定性。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数的基础性质，解题时需逐个分析选项，结合对应知识点判断正误：①判断二次函数与x轴的交点个数，可通过计算判别式Δ的正负判断；②判断一元二次方程根的乘积，先将方程化为一般形式，再用根与系数的关系求解；③判断对称轴的位置，可通过对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$分析，注意参数m取值不确定，无法直接确定对称轴位置；④判断函数增减性，需结合开口方向和对称轴的位置共同分析。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：二次函数$y=x^2+mx-1$中，判别式$\Delta = m^2 - 4×1×(-1) = m^2 + 4$，由于$m^2≥0$，因此$\Delta = m^2 + 4 ＞ 0$，函数图象与x轴有两个交点，A错误。
选项B：将方程$x^2+mx=1$整理为一般形式：$x^2 + mx - 1 = 0$，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积为$\frac{c}{a} = \frac{-1}{1} = -1$，B正确。
选项C：二次函数图象的对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{m}{2}$，m的取值不确定：当$m＞0$时，对称轴在y轴左侧；当$m=0$时，对称轴为y轴；当$m＜0$时，对称轴在y轴右侧，因此对称轴不一定在y轴右侧，C错误。
选项D：二次函数$a=1＞0$，图象开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大，且对称轴位置不确定，因此“当$x＞1$时，y随x的增大而减小”的结论不成立，D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质、根与系数的关系、一元二次方程判别式
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，需要熟练掌握二次函数的交点判定、对称轴公式、增减性规律以及一元二次方程的韦达定理，逐一验证选项即可得出答案，注意含参数的代数式要考虑参数取值的不确定性。
【难度系数】
0.7
6.已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与$x$轴交于点$(x_1,0)$与$(x_2,0)$，$x_1＜x_2$，方程$ax^2+bx+c - a=0$的两根为$m,n(m＜n)$，则下列判断正确的是（
A.$m＜n＜x_1＜x_2$
B.$m＜x_1＜x_2＜n$
C.$x_1+x_2＞m+n$
D.$b^2 -4ac≥0$
B
）A.$m＜n＜x_1＜x_2$
B.$m＜x_1＜x_2＜n$
C.$x_1+x_2＞m+n$
D.$b^2 -4ac≥0$
答案
6.B 【解析】当 $ a＞0 $ 时,如图①. $\because$ 方程 $ ax^2 + bx + c - a=0 $ 的两根为 $ m,n $,$\therefore$ 二次函数 $ y=ax^2 + bx + c $ 与直线 $ y=a $ 的交点在 $ x $ 轴上方,其横坐标分别为 $ m,n $,$\therefore m＜x_1＜x_2＜n $.
当 $ a＜0 $ 时,如图②. $\because$ 方程 $ ax^2 + bx + c - a=0 $ 的两根为 $ m,n $,$\therefore$ 二次函数 $ y=ax^2 + bx + c $ 与直线 $ y=a $ 的交点在 $ x $ 轴下方,其横坐标分别为 $ m,n $,$\therefore m＜x_1＜x_2＜n $. 而 $ x_1 $ 与 $ x_2 $,$m $ 与 $ n $ 均关于对称轴对称,$\therefore m + n=x_1 + x_2 $. 由题意可知,$b^2 - 4ac＞0 $. 综上所述,符合题意的只有 B 选项。
解析
【分析】
解题时首先要完成问题转化：方程$ax^2+bx+c-a=0$的根等价于二次函数$y=ax^2+bx+c$与直线$y=a$交点的横坐标，$x_1、x_2$是二次函数与x轴（$y=0$）交点的横坐标。接下来分$a＞0$（开口向上）和$a＜0$（开口向下）两种情况，结合图像判断四个根的大小关系，再利用二次函数对称轴的性质判断两根之和的关系，结合判别式的意义判断D选项，逐一排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$a＞0$时，二次函数开口向上，如图①：
方程$ax^2+bx+c-a=0$可变形为$ax^2+bx+c=a$，它的两根$m、n$就是二次函数$y=ax^2+bx+c$和直线$y=a$的交点横坐标，此时$y=a$在x轴上方，结合图像可知交点横坐标满足$m＜x_1＜x_2＜n$。
2. 当$a＜0$时，二次函数开口向下，如图②：
同理，方程$ax^2+bx+c=a$的两根$m、n$是二次函数$y=ax^2+bx+c$和直线$y=a$的交点横坐标，此时$y=a$在x轴下方，结合图像可知交点横坐标仍满足$m＜x_1＜x_2＜n$。
再判断其余选项：
对于C选项：二次函数的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，$x_1、x_2$关于对称轴对称，故$x_1+x_2=2×(-\frac{b}{2a})=-\frac{b}{a}$；同理$m、n$也关于对称轴对称，故$m+n=-\frac{b}{a}$，因此$x_1+x_2=m+n$，C错误。
对于D选项：已知二次函数与x轴交于两个不同的点$(x_1,0)、(x_2,0)$，说明一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，故判别式$b^2-4ac＞0$，D选项的$≥0$错误。
综上只有B选项符合题意。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图像性质；二次函数与一元二次方程；二次函数的对称性
【点评】
本题重点考查数形结合思想的应用，解题关键是将方程的根转化为函数图像交点的横坐标，结合开口方向分情况讨论根的位置，同时要熟练掌握二次函数对称轴、判别式的相关性质，避免忽略$a$的正负性导致判断错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先要完成问题转化：方程$ax^2+bx+c-a=0$的根等价于二次函数$y=ax^2+bx+c$与直线$y=a$交点的横坐标，$x_1、x_2$是二次函数与x轴（$y=0$）交点的横坐标。接下来分$a＞0$（开口向上）和$a＜0$（开口向下）两种情况，结合图像判断四个根的大小关系，再利用二次函数对称轴的性质判断两根之和的关系，结合判别式的意义判断D选项，逐一排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$a＞0$时，二次函数开口向上，如图①：
方程$ax^2+bx+c-a=0$可变形为$ax^2+bx+c=a$，它的两根$m、n$就是二次函数$y=ax^2+bx+c$和直线$y=a$的交点横坐标，此时$y=a$在x轴上方，结合图像可知交点横坐标满足$m＜x_1＜x_2＜n$。
2. 当$a＜0$时，二次函数开口向下，如图②：
同理，方程$ax^2+bx+c=a$的两根$m、n$是二次函数$y=ax^2+bx+c$和直线$y=a$的交点横坐标，此时$y=a$在x轴下方，结合图像可知交点横坐标仍满足$m＜x_1＜x_2＜n$。
再判断其余选项：
对于C选项：二次函数的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，$x_1、x_2$关于对称轴对称，故$x_1+x_2=2×(-\frac{b}{2a})=-\frac{b}{a}$；同理$m、n$也关于对称轴对称，故$m+n=-\frac{b}{a}$，因此$x_1+x_2=m+n$，C错误。
对于D选项：已知二次函数与x轴交于两个不同的点$(x_1,0)、(x_2,0)$，说明一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，故判别式$b^2-4ac＞0$，D选项的$≥0$错误。
综上只有B选项符合题意。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图像性质；二次函数与一元二次方程；二次函数的对称性
【点评】
本题重点考查数形结合思想的应用，解题关键是将方程的根转化为函数图像交点的横坐标，结合开口方向分情况讨论根的位置，同时要熟练掌握二次函数对称轴、判别式的相关性质，避免忽略$a$的正负性导致判断错误。
【难度系数】
0.6
7.已知二次函数$y=kx^2 -7x -7$的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为
$k＞-\dfrac{7}{4}$且$k≠0$
答案
7.$k＞-\dfrac{7}{4}$且$k≠0$
解析
【分析】
解题需分两步推导：首先，题目明确说明是二次函数，因此二次项系数不能为0，即k≠0，这是必要前提；其次，二次函数图象与x轴有两个交点，说明对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，可利用根的判别式Δ=b²-4ac＞0列不等式求解，最后合并两个条件即可得到k的取值范围。
【解析】
解：
∵该函数为二次函数
∴二次项系数$k≠0$
∵二次函数$y=kx^2 -7x -7$的图象与x轴有两个交点
∴一元二次方程$kx^2 -7x -7=0$有两个不相等的实数根，即判别式$\Delta＞0$
其中$a=k$，$b=-7$，$c=-7$，代入判别式公式得：
$\Delta=(-7)^2 - 4× k×(-7)=49+28k＞0$
解不等式：
$28k＞-49$
$k＞-\frac{49}{28}=-\frac{7}{4}$
结合前提$k≠0$，可得k的取值范围。
【答案】
$k＞-\dfrac{7}{4}$且$k≠0$
【知识点】
二次函数的定义、根的判别式、二次函数与x轴交点判定
【点评】
本题是典型的易错题，核心考查二次函数性质与根的判别式的结合应用，解题时很容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，仅通过判别式求解得到不完整的结果，做题时需要先明确函数类型对应的系数限制再计算。
【难度系数】
0.7
解题需分两步推导：首先，题目明确说明是二次函数，因此二次项系数不能为0，即k≠0，这是必要前提；其次，二次函数图象与x轴有两个交点，说明对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，可利用根的判别式Δ=b²-4ac＞0列不等式求解，最后合并两个条件即可得到k的取值范围。
【解析】
解：
∵该函数为二次函数
∴二次项系数$k≠0$
∵二次函数$y=kx^2 -7x -7$的图象与x轴有两个交点
∴一元二次方程$kx^2 -7x -7=0$有两个不相等的实数根，即判别式$\Delta＞0$
其中$a=k$，$b=-7$，$c=-7$，代入判别式公式得：
$\Delta=(-7)^2 - 4× k×(-7)=49+28k＞0$
解不等式：
$28k＞-49$
$k＞-\frac{49}{28}=-\frac{7}{4}$
结合前提$k≠0$，可得k的取值范围。
【答案】
$k＞-\dfrac{7}{4}$且$k≠0$
【知识点】
二次函数的定义、根的判别式、二次函数与x轴交点判定
【点评】
本题是典型的易错题，核心考查二次函数性质与根的判别式的结合应用，解题时很容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，仅通过判别式求解得到不完整的结果，做题时需要先明确函数类型对应的系数限制再计算。
【难度系数】
0.7
变式题1 若函数$y=x^2 -2x +b$的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（
A.$b＜1$且$b≠0$
B.$b＞1$
C.$0＜b＜1$
D.$b＜1$
变式题2 在平面直角坐标系$xOy$中，若抛物线$y=x^2 +2x +k$与x轴只有一个交点，则k的值为
变式题3 若二次函数$y=-2x^2 -3x +k$的图象始终在x轴下方，则k的取值范围是
A
）A.$b＜1$且$b≠0$
B.$b＞1$
C.$0＜b＜1$
D.$b＜1$
变式题2 在平面直角坐标系$xOy$中，若抛物线$y=x^2 +2x +k$与x轴只有一个交点，则k的值为
1
.变式题3 若二次函数$y=-2x^2 -3x +k$的图象始终在x轴下方，则k的取值范围是
$k＜-\dfrac{9}{8}$
.答案
变式题1 A 变式题2 1 变式题3 $k＜-\dfrac{9}{8}$
解析
【分析】
变式1：函数为二次函数，与坐标轴有三个交点需同时满足两个条件：一是与x轴有2个不同交点，二是与y轴的交点不与x轴的交点重合。若b=0，函数图象过原点，y轴交点与x轴的一个交点重合，总交点数仅为2，不符合要求；与x轴有2个不同交点则需判别式Δ＞0，结合两个限制条件即可得到b的取值范围。
变式2：抛物线与x轴只有一个交点，说明对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式Δ=0，代入系数计算即可得到k的值。
变式3：二次函数图象始终在x轴下方，首先本题二次项系数为负，已满足开口向下，只需再保证抛物线与x轴无交点，即判别式Δ＜0，解不等式即可得到k的取值范围。
【解析】
● 变式1
函数$y=x^2-2x+b$是二次函数，与坐标轴有三个交点需满足：
1. 与x轴有2个不同交点：判别式$\Delta = (-2)^2 -4×1× b ＞ 0$，化简得$4-4b＞0$，解得$b＜1$；
2. y轴交点不与x轴交点重合：当x=0时，y=b，若b=0，函数过原点，此时与坐标轴交点仅为(0,0)、(2,0)共2个，不符合要求，故$b≠0$。
综上b的取值范围是$b＜1$且$b≠0$，选A。
● 变式2
抛物线$y=x^2+2x+k$与x轴只有一个交点，即判别式$\Delta=0$：
$\Delta = 2^2 -4×1× k = 4-4k=0$，解得$k=1$。
● 变式3
二次函数$y=-2x^2-3x+k$的二次项系数$a=-2＜0$，抛物线开口向下，要使图象始终在x轴下方，需满足与x轴无交点，即$\Delta＜0$：
$\Delta = (-3)^2 -4×(-2)× k =9+8k ＜0$，解得$k＜-\dfrac{9}{8}$。
【答案】
变式1：A；变式2：1；变式3：$k＜-\dfrac{9}{8}$
【知识点】
1. 二次函数判别式应用
2. 二次函数与坐标轴交点
3. 二次函数与方程的关系
【点评】
这组题围绕二次函数判别式的不同应用场景设置，分别考查交点个数判断、图象位置判断等考点，解题时需注意变式1中b=0的特殊情况，属于二次函数基础常考题型，掌握判别式与图象交点的对应关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
变式1：函数为二次函数，与坐标轴有三个交点需同时满足两个条件：一是与x轴有2个不同交点，二是与y轴的交点不与x轴的交点重合。若b=0，函数图象过原点，y轴交点与x轴的一个交点重合，总交点数仅为2，不符合要求；与x轴有2个不同交点则需判别式Δ＞0，结合两个限制条件即可得到b的取值范围。
变式2：抛物线与x轴只有一个交点，说明对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式Δ=0，代入系数计算即可得到k的值。
变式3：二次函数图象始终在x轴下方，首先本题二次项系数为负，已满足开口向下，只需再保证抛物线与x轴无交点，即判别式Δ＜0，解不等式即可得到k的取值范围。
【解析】
● 变式1
函数$y=x^2-2x+b$是二次函数，与坐标轴有三个交点需满足：
1. 与x轴有2个不同交点：判别式$\Delta = (-2)^2 -4×1× b ＞ 0$，化简得$4-4b＞0$，解得$b＜1$；
2. y轴交点不与x轴交点重合：当x=0时，y=b，若b=0，函数过原点，此时与坐标轴交点仅为(0,0)、(2,0)共2个，不符合要求，故$b≠0$。
综上b的取值范围是$b＜1$且$b≠0$，选A。
● 变式2
抛物线$y=x^2+2x+k$与x轴只有一个交点，即判别式$\Delta=0$：
$\Delta = 2^2 -4×1× k = 4-4k=0$，解得$k=1$。
● 变式3
二次函数$y=-2x^2-3x+k$的二次项系数$a=-2＜0$，抛物线开口向下，要使图象始终在x轴下方，需满足与x轴无交点，即$\Delta＜0$：
$\Delta = (-3)^2 -4×(-2)× k =9+8k ＜0$，解得$k＜-\dfrac{9}{8}$。
【答案】
变式1：A；变式2：1；变式3：$k＜-\dfrac{9}{8}$
【知识点】
1. 二次函数判别式应用
2. 二次函数与坐标轴交点
3. 二次函数与方程的关系
【点评】
这组题围绕二次函数判别式的不同应用场景设置，分别考查交点个数判断、图象位置判断等考点，解题时需注意变式1中b=0的特殊情况，属于二次函数基础常考题型，掌握判别式与图象交点的对应关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
