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8. 二次函数 $ y = ax^2 + bx $ 的图象如图. 若一元二次方程 $ ax^2 + bx + m = 0 $ 有实数根, 则 $ m $ 的最大值为
3
.答案
8.3 【解析】$\because$ 一元二次方程 $ ax^2 + bx + m=0 $ 有实数根,$\therefore \Delta=b^2 - 4am≥ 0 $. 由 $ y=ax^2 + bx $ 的图象知,顶点的纵坐标为 $ -3 $,$\therefore \dfrac{0 - b^2}{4a}=-3 $,$b^2=12a $,$\therefore \Delta=b^2 - 4am=12a - 4am≥ 0 $.$\because a＞0 $,$\therefore m≤ 3 $,$\therefore m $ 的最大值为 3.
解析
【分析】
解题可从两个思路入手：思路1：先回忆一元二次方程有实根的条件是判别式Δ≥0，再结合二次函数图象得到开口方向a＞0，以及顶点纵坐标为-3，利用二次函数顶点纵坐标公式推导b²与a的关系，将其代入判别式不等式求解即可得到m的取值范围。思路2：将方程ax²+bx+m=0变形为ax²+bx=-m，问题转化为二次函数y=ax²+bx的图象与直线y=-m有交点，结合图象可知二次函数的最小值为-3，因此只需-m≥-3即可，直接推导m的范围。
【解析】
方法一：
∵ 一元二次方程 $ax^2 + bx + m=0$ 有实数根，
∴ 判别式 $\Delta=b^2 - 4am≥ 0$。
由二次函数 $y=ax^2 + bx$ 的图象可知，抛物线开口向上，即$a＞0$，且顶点的纵坐标为 $-3$，
根据二次函数顶点纵坐标公式 $\frac{4ac-b^2}{4a}$，本题中$c=0$，代入得 $\frac{0 - b^2}{4a}=-3$，整理得 $b^2=12a$。
将$b^2=12a$代入判别式不等式得：$12a - 4am≥ 0$，
∵ $a＞0$，不等式两边同时除以$4a$不等号方向不变，得 $3 - m≥ 0$，即 $m≤ 3$，
∴ $m$ 的最大值为3。
方法二：将一元二次方程 $ax^2 + bx + m=0$ 变形为 $ax^2 + bx=-m$，
方程有实根等价于二次函数 $y=ax^2 + bx$ 的函数值能取到$-m$，
由图象可知二次函数的最小值为$-3$，因此$-m≥ -3$，解得$m≤ 3$，
故$m$的最大值为3。
【答案】
3
【知识点】
二次函数图象与性质；一元二次方程根的判别式；二次函数与方程的关系
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程的结合应用，既可以通过代数方法利用判别式求解，也可以结合数形结合思想通过图象交点的思路分析，是二次函数章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
解题可从两个思路入手：思路1：先回忆一元二次方程有实根的条件是判别式Δ≥0，再结合二次函数图象得到开口方向a＞0，以及顶点纵坐标为-3，利用二次函数顶点纵坐标公式推导b²与a的关系，将其代入判别式不等式求解即可得到m的取值范围。思路2：将方程ax²+bx+m=0变形为ax²+bx=-m，问题转化为二次函数y=ax²+bx的图象与直线y=-m有交点，结合图象可知二次函数的最小值为-3，因此只需-m≥-3即可，直接推导m的范围。
【解析】
方法一：
∵ 一元二次方程 $ax^2 + bx + m=0$ 有实数根，
∴ 判别式 $\Delta=b^2 - 4am≥ 0$。
由二次函数 $y=ax^2 + bx$ 的图象可知，抛物线开口向上，即$a＞0$，且顶点的纵坐标为 $-3$，
根据二次函数顶点纵坐标公式 $\frac{4ac-b^2}{4a}$，本题中$c=0$，代入得 $\frac{0 - b^2}{4a}=-3$，整理得 $b^2=12a$。
将$b^2=12a$代入判别式不等式得：$12a - 4am≥ 0$，
∵ $a＞0$，不等式两边同时除以$4a$不等号方向不变，得 $3 - m≥ 0$，即 $m≤ 3$，
∴ $m$ 的最大值为3。
方法二：将一元二次方程 $ax^2 + bx + m=0$ 变形为 $ax^2 + bx=-m$，
方程有实根等价于二次函数 $y=ax^2 + bx$ 的函数值能取到$-m$，
由图象可知二次函数的最小值为$-3$，因此$-m≥ -3$，解得$m≤ 3$，
故$m$的最大值为3。
【答案】
3
【知识点】
二次函数图象与性质；一元二次方程根的判别式；二次函数与方程的关系
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程的结合应用，既可以通过代数方法利用判别式求解，也可以结合数形结合思想通过图象交点的思路分析，是二次函数章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
9.某景区大门上半部分的截面示意图如下图所示,顶部$L_1$,左、右门洞$L_2,L_3$均呈抛物线形,水平横梁$AC=16\ \mathrm{m}$,$L_1$的最高点$B$到$AC$的距离$BO=4\ \mathrm{m}$,$L_2,L_3$关于$BO$所在直线对称.$MN,MP,NQ$为框架,点$M,N$在$L_1$上,点$P,Q$分别在$L_2,L_3$上,$MN// AC$,$MP⊥ AC$,$NQ⊥ AC$.以$O$为原点,以$AC$所在直线为$x$轴,以$BO$所在直线为$y$轴,建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线$L_1$的函数解析式.
(2)已知抛物线$L_3$的函数解析式为$y=-\dfrac{3}{16}(x-4)^2$,$NQ=\dfrac{5}{2}\ \mathrm{m}$,求$MN$的长.
(1)求抛物线$L_1$的函数解析式.
(2)已知抛物线$L_3$的函数解析式为$y=-\dfrac{3}{16}(x-4)^2$,$NQ=\dfrac{5}{2}\ \mathrm{m}$,求$MN$的长.
答案
9. 解:(1)$\because BO=4\ \mathrm{m}$,$\therefore$ 抛物线 $ L_1 $ 的顶点 $ B $ 的坐标为 $ (0,4) $,$\therefore$ 可设抛物线 $ L_1 $ 的函数解析式为 $ y=ax^2 + 4 $. 由题可知 $ AC=16\ \mathrm{m} $,结合二次函数的对称性得 $ A(-8,0) $,$C(8,0) $. 将 $ (8,0) $ 代入 $ y=ax^2 + 4 $,得 $ 0=64a + 4 $,解得 $ a=-\dfrac{1}{16} $. 故抛物线 $ L_1 $ 的函数解析式为 $ y=-\dfrac{1}{16}x^2 + 4 $.
(2)设 $ N(n,-\dfrac{1}{16}n^2 + 4) $,则由 $ NQ⊥ AC $,可知点 $ Q $ 的纵坐标为 $ -\dfrac{3}{16}(n - 4)^2 $.$\because NQ=\dfrac{5}{2} $,$\therefore -\dfrac{1}{16}n^2 + 4 - [-\dfrac{3}{16}(n - 4)^2]=\dfrac{5}{2} $,整理,得 $ n^2 - 12n + 36=0 $,即 $ (n - 6)^2=0 $,解得 $ n=6 $,$\therefore MN=12\ \mathrm{m} $.
(2)设 $ N(n,-\dfrac{1}{16}n^2 + 4) $,则由 $ NQ⊥ AC $,可知点 $ Q $ 的纵坐标为 $ -\dfrac{3}{16}(n - 4)^2 $.$\because NQ=\dfrac{5}{2} $,$\therefore -\dfrac{1}{16}n^2 + 4 - [-\dfrac{3}{16}(n - 4)^2]=\dfrac{5}{2} $,整理,得 $ n^2 - 12n + 36=0 $,即 $ (n - 6)^2=0 $,解得 $ n=6 $,$\therefore MN=12\ \mathrm{m} $.
解析
【分析】
(1) 求抛物线$L_1$的解析式时，首先确定$L_1$的顶点坐标和经过的已知点：由$BO=4\ \mathrm{m}$、对称轴为$y$轴，得顶点$B$坐标为$(0,4)$，因此可设顶点式$y=ax^2+4$；再由$AC=16\ \mathrm{m}$结合对称性得点$C$坐标为$(8,0)$，将其代入解析式即可求出$a$的值，得到$L_1$的解析式。
(2) 求$MN$的长时，因为$MN$平行于$x$轴，$M$、$N$关于$y$轴对称，只需求出点$N$的横坐标即可。设点$N$横坐标为$n$，由于$NQ⊥ x$轴，点$Q$横坐标也为$n$，分别代入$L_1$和$L_3$的解析式得到两点纵坐标，根据$NQ$的长度等于两点纵坐标的差列方程，解出$n$后，$MN$的长度为$2n$，即可求出结果。
【解析】
(1) $\because BO=4\ \mathrm{m}$，$\therefore$抛物线$L_1$的顶点$B$的坐标为$(0,4)$，$\therefore$可设抛物线$L_1$的函数解析式为$y=ax^2 + 4$。
由题可知$AC=16\ \mathrm{m}$，结合二次函数的对称性得$A(-8,0)$，$C(8,0)$。将$(8,0)$代入$y=ax^2 + 4$，得：
$0=64a + 4$
解得$a=-\dfrac{1}{16}$
故抛物线$L_1$的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{16}x^2 + 4$。
(2) 设$N(n,-\dfrac{1}{16}n^2 + 4)$，$\because NQ⊥ AC$，$\therefore$点$Q$的横坐标也为$n$。
$\because$点$Q$在$L_3$上，$L_3$的解析式为$y=-\dfrac{3}{16}(x-4)^2$，$\therefore$点$Q$的纵坐标为$-\dfrac{3}{16}(n - 4)^2$。
$\because NQ=\dfrac{5}{2}\ \mathrm{m}$，即两点纵坐标差为$\dfrac{5}{2}$，列方程得：
$-\dfrac{1}{16}n^2 + 4 - [-\dfrac{3}{16}(n - 4)^2]=\dfrac{5}{2}$
整理得$n^2 - 12n + 36=0$，即$(n - 6)^2=0$，解得$n=6$。
由对称性可知$M$、$N$关于$y$轴对称，$\therefore MN=2×6=12\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 抛物线$L_1$的函数解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{16}x^2 + 4}$；(2) $MN$的长为$\boldsymbol{12\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的对称性
3. 二次函数的实际应用
【点评】
本题以实际场景为载体考查二次函数的相关知识，解题核心是明确抛物线上点的坐标与解析式的关系，结合几何线段长度列方程求解，注重对基础知识和数形结合思想的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 求抛物线$L_1$的解析式时，首先确定$L_1$的顶点坐标和经过的已知点：由$BO=4\ \mathrm{m}$、对称轴为$y$轴，得顶点$B$坐标为$(0,4)$，因此可设顶点式$y=ax^2+4$；再由$AC=16\ \mathrm{m}$结合对称性得点$C$坐标为$(8,0)$，将其代入解析式即可求出$a$的值，得到$L_1$的解析式。
(2) 求$MN$的长时，因为$MN$平行于$x$轴，$M$、$N$关于$y$轴对称，只需求出点$N$的横坐标即可。设点$N$横坐标为$n$，由于$NQ⊥ x$轴，点$Q$横坐标也为$n$，分别代入$L_1$和$L_3$的解析式得到两点纵坐标，根据$NQ$的长度等于两点纵坐标的差列方程，解出$n$后，$MN$的长度为$2n$，即可求出结果。
【解析】
(1) $\because BO=4\ \mathrm{m}$，$\therefore$抛物线$L_1$的顶点$B$的坐标为$(0,4)$，$\therefore$可设抛物线$L_1$的函数解析式为$y=ax^2 + 4$。
由题可知$AC=16\ \mathrm{m}$，结合二次函数的对称性得$A(-8,0)$，$C(8,0)$。将$(8,0)$代入$y=ax^2 + 4$，得：
$0=64a + 4$
解得$a=-\dfrac{1}{16}$
故抛物线$L_1$的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{16}x^2 + 4$。
(2) 设$N(n,-\dfrac{1}{16}n^2 + 4)$，$\because NQ⊥ AC$，$\therefore$点$Q$的横坐标也为$n$。
$\because$点$Q$在$L_3$上，$L_3$的解析式为$y=-\dfrac{3}{16}(x-4)^2$，$\therefore$点$Q$的纵坐标为$-\dfrac{3}{16}(n - 4)^2$。
$\because NQ=\dfrac{5}{2}\ \mathrm{m}$，即两点纵坐标差为$\dfrac{5}{2}$，列方程得：
$-\dfrac{1}{16}n^2 + 4 - [-\dfrac{3}{16}(n - 4)^2]=\dfrac{5}{2}$
整理得$n^2 - 12n + 36=0$，即$(n - 6)^2=0$，解得$n=6$。
由对称性可知$M$、$N$关于$y$轴对称，$\therefore MN=2×6=12\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 抛物线$L_1$的函数解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{16}x^2 + 4}$；(2) $MN$的长为$\boldsymbol{12\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的对称性
3. 二次函数的实际应用
【点评】
本题以实际场景为载体考查二次函数的相关知识，解题核心是明确抛物线上点的坐标与解析式的关系，结合几何线段长度列方程求解，注重对基础知识和数形结合思想的考查。
【难度系数】
0.7
10.(2026内江)如图，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象经过点$A(1,0),B(5,0)$，下列说法正确的是（
A.$c＞0$
B.$4a-2b+c＜0$
C.$b^2-4ac＜0$
D.图象的对称轴是直线$x=2$
B
）A.$c＞0$
B.$4a-2b+c＜0$
C.$b^2-4ac＜0$
D.图象的对称轴是直线$x=2$
答案
10.B 【解析】由函数图象知抛物线与 $ y $ 轴交点在原点下方,则 $ c＜0 $,故选项 A 不符合题意. 当 $ x=-2 $ 时,$y=ax^2 + bx + c＜0 $,即 $ 4a - 2b + c＜0 $,故选项 B 符合题意. 由图象知抛物线与 $ x $ 轴有两个不同的交点,则 $ \Delta=b^2 - 4ac＞0 $,故选项 C 不符合题意. 图象的对称轴是直线 $ x=\dfrac{1 + 5}{2}=3 $,故选项 D 不符合题意.
解析
【分析】
本题考查二次函数图象与性质的应用，解题时需结合图象特征逐个分析选项：①先通过抛物线与y轴的交点位置判断c的符号；②将4a-2b+c转化为x=-2时的函数值，结合x=-2对应的图象位置判断符号；③根据抛物线与x轴的交点个数判断判别式的符号；④利用抛物线与x轴两交点的横坐标计算对称轴，再判断正误。
【解析】
结合图象和已知条件逐个分析选项：
1. 分析选项A：抛物线与y轴的交点在原点下方，当x=0时，y=c，因此$c＜0$，A选项不符合题意；
2. 分析选项B：当$x=-2$时，代入二次函数解析式得$y=a×(-2)^2 + b×(-2) + c=4a-2b+c$，由图象可知$x＜1$时抛物线位于x轴下方，$-2＜1$，因此此时$y＜0$，即$4a-2b+c＜0$，B选项符合题意；
3. 分析选项C：抛物线与x轴有A、B两个不同的交点，因此判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，C选项不符合题意；
4. 分析选项D：抛物线与x轴交于$(1,0)$、$(5,0)$两点，对称轴为两点横坐标的平均值，即$x=\frac{1+5}{2}=3$，D选项不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数判别式，二次函数对称轴
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础应用题，解题核心是结合图象的位置、交点等特征，对应转化为二次函数的系数、特殊点函数值、判别式、对称轴等相关性质进行判断，熟练掌握二次函数的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数图象与性质的应用，解题时需结合图象特征逐个分析选项：①先通过抛物线与y轴的交点位置判断c的符号；②将4a-2b+c转化为x=-2时的函数值，结合x=-2对应的图象位置判断符号；③根据抛物线与x轴的交点个数判断判别式的符号；④利用抛物线与x轴两交点的横坐标计算对称轴，再判断正误。
【解析】
结合图象和已知条件逐个分析选项：
1. 分析选项A：抛物线与y轴的交点在原点下方，当x=0时，y=c，因此$c＜0$，A选项不符合题意；
2. 分析选项B：当$x=-2$时，代入二次函数解析式得$y=a×(-2)^2 + b×(-2) + c=4a-2b+c$，由图象可知$x＜1$时抛物线位于x轴下方，$-2＜1$，因此此时$y＜0$，即$4a-2b+c＜0$，B选项符合题意；
3. 分析选项C：抛物线与x轴有A、B两个不同的交点，因此判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，C选项不符合题意；
4. 分析选项D：抛物线与x轴交于$(1,0)$、$(5,0)$两点，对称轴为两点横坐标的平均值，即$x=\frac{1+5}{2}=3$，D选项不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数判别式，二次函数对称轴
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础应用题，解题核心是结合图象的位置、交点等特征，对应转化为二次函数的系数、特殊点函数值、判别式、对称轴等相关性质进行判断，熟练掌握二次函数的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
11.(2026福建)已知抛物线$y=x^2 -2nx$经过点$A(3,a),B(5,b)$.若$a＜b$,且$ab＜0$,则n的取值可以是（
A.0
B.1
C.2
D.3
C
）A.0
B.1
C.2
D.3
答案
11.C 【解析】$\because$ 抛物线 $ y=x^2 - 2nx $ 经过点 $ A(3,a) $,$B(5,b) $,$\therefore a=3^2 - 2n · 3=9 - 6n $,$b=5^2 - 2n · 5=25 - 10n $.$\because a＜b $,且 $ ab＜0 $,$\therefore a＜0＜b $,$\therefore \begin{cases}9 - 6n＜0,\\25 - 10n＞0,\end{cases}$ 解得 $ 1.5＜n＜2.5 $. 观察选项,只有 $ n=2 $ 符合该范围.
解析
【分析】
解题可按以下思路逐步推导：第一步，将A、B两点坐标代入抛物线解析式，得到a、b关于n的代数式；第二步，结合条件$a＜b$且$ab＜0$，可判断出a为负数、b为正数（两数相乘为负说明异号，较小的数为负、较大的数为正）；第三步，根据a、b的正负性列出关于n的一元一次不等式组，求解得到n的取值范围；第四步，对比选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
∵抛物线$y=x^2 - 2nx$经过点$A(3,a)$、$B(5,b)$
∴将点A坐标代入解析式得：$a=3^2 - 2n×3=9 - 6n$
将点B坐标代入解析式得：$b=5^2 - 2n×5=25 - 10n$
∵$a＜b$且$ab＜0$，说明a、b异号，且$a＜0＜b$
∴可列不等式组：$\begin{cases}9 - 6n＜0 \\25 - 10n＞0 \end{cases}$
解不等式$9 - 6n＜0$，得$n＞1.5$
解不等式$25 - 10n＞0$，得$n＜2.5$
∴n的取值范围为$1.5＜n＜2.5$
观察选项，只有$n=2$符合该范围，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数点坐标特征、解一元一次不等式组、有理数乘法符号规律
【点评】
本题属于二次函数与不等式的基础综合题，解题核心是将函数图象上的点坐标转化为含参数的代数式，再结合已知条件推导参数的取值范围，解题时可通过两数的大小和乘积符号直接判断正负，避免多余的分类讨论。
【难度系数】
0.7
解题可按以下思路逐步推导：第一步，将A、B两点坐标代入抛物线解析式，得到a、b关于n的代数式；第二步，结合条件$a＜b$且$ab＜0$，可判断出a为负数、b为正数（两数相乘为负说明异号，较小的数为负、较大的数为正）；第三步，根据a、b的正负性列出关于n的一元一次不等式组，求解得到n的取值范围；第四步，对比选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
∵抛物线$y=x^2 - 2nx$经过点$A(3,a)$、$B(5,b)$
∴将点A坐标代入解析式得：$a=3^2 - 2n×3=9 - 6n$
将点B坐标代入解析式得：$b=5^2 - 2n×5=25 - 10n$
∵$a＜b$且$ab＜0$，说明a、b异号，且$a＜0＜b$
∴可列不等式组：$\begin{cases}9 - 6n＜0 \\25 - 10n＞0 \end{cases}$
解不等式$9 - 6n＜0$，得$n＞1.5$
解不等式$25 - 10n＞0$，得$n＜2.5$
∴n的取值范围为$1.5＜n＜2.5$
观察选项，只有$n=2$符合该范围，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数点坐标特征、解一元一次不等式组、有理数乘法符号规律
【点评】
本题属于二次函数与不等式的基础综合题，解题核心是将函数图象上的点坐标转化为含参数的代数式，再结合已知条件推导参数的取值范围，解题时可通过两数的大小和乘积符号直接判断正负，避免多余的分类讨论。
【难度系数】
0.7
12.(2026江西)如图，观察函数$y=x^2+3x-3$的图象，可以发现方程$x^2+3x-3=0$在0,1之间有根.取0,1的平均数0.5，当$x=0.5$时，$y＜0$，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程$x^2+3x-3=0$另一根更接近的是（
A.$-4.5$
B.$-4$
C.$-3.5$
D.$-3$
B
）A.$-4.5$
B.$-4$
C.$-3.5$
D.$-3$
答案
12.B 【解析】设方程 $ x^2 + 3x - 3=0 $ 的两个根为 $ x_1,x_2 $.$\because a=1,b=3,c=-3 $,$\therefore$ 由一元二次方程根与系数关系可知 $ x_1 + x_2=-\dfrac{b}{a}=-3 $,即 $ x_2=-3 - x_1 $.$\because$ 已知 $ x_1 $ 在 0.5 与 1 之间,$\therefore x_2 $ 在 $ -4 $ 与 $ -3.5 $ 之间.当 $ x=-3.75 $ 时,$y=(-3.75)^2 + 3×(-3.75) - 3=-0.1875＜0 $;当 $ x=-4 $ 时,$y=(-4)^2 + 3×(-4) - 3=16 - 12 - 3=1＞0 $.$\therefore x_2 $ 在 $ -4 $ 与 $ -3.75 $ 之间,$\therefore$ 与方程 $ x^2 + 3x - 3=0 $ 另一根更接近的是 $ -4 $.
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步，利用一元二次方程根与系数的关系，结合已知根的取值范围，推导出另一根的大致区间；第二步，在得到的区间内取中点代入函数计算函数值，根据函数值的正负进一步缩小根的范围，即可判断根更接近的数值。
【解析】
设方程$x^2 + 3x - 3=0$的两个根为$x_1,x_2$，其中$x_1$为0~1之间的根。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，代入$a=1,b=3$，得$x_1+x_2=-3$，即$x_2=-3-x_1$。
已知$0.5＜x_1＜1$，代入得：$-3-1＜x_2＜-3-0.5$，即$-4＜x_2＜-3.5$。
取$-4$和$-3.5$的中点$-3.75$代入函数计算：
当$x=-3.75$时，$y=(-3.75)^2 + 3×(-3.75) - 3=-0.1875＜0$；
当$x=-4$时，$y=(-4)^2 + 3×(-4) - 3=1＞0$。
由此可知$x_2$在$-4$与$-3.75$之间，因此另一根更接近$-4$。
【答案】B
【知识点】
根与系数的关系，二次函数与一元二次方程，估算方程的根
【点评】
本题结合二次函数性质与一元二次方程知识考查根的估算，解题时先通过根与系数的关系快速缩小未知根的范围，再代入特殊值判断即可，解题方法灵活，能有效考察对相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为两步：第一步，利用一元二次方程根与系数的关系，结合已知根的取值范围，推导出另一根的大致区间；第二步，在得到的区间内取中点代入函数计算函数值，根据函数值的正负进一步缩小根的范围，即可判断根更接近的数值。
【解析】
设方程$x^2 + 3x - 3=0$的两个根为$x_1,x_2$，其中$x_1$为0~1之间的根。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，代入$a=1,b=3$，得$x_1+x_2=-3$，即$x_2=-3-x_1$。
已知$0.5＜x_1＜1$，代入得：$-3-1＜x_2＜-3-0.5$，即$-4＜x_2＜-3.5$。
取$-4$和$-3.5$的中点$-3.75$代入函数计算：
当$x=-3.75$时，$y=(-3.75)^2 + 3×(-3.75) - 3=-0.1875＜0$；
当$x=-4$时，$y=(-4)^2 + 3×(-4) - 3=1＞0$。
由此可知$x_2$在$-4$与$-3.75$之间，因此另一根更接近$-4$。
【答案】B
【知识点】
根与系数的关系，二次函数与一元二次方程，估算方程的根
【点评】
本题结合二次函数性质与一元二次方程知识考查根的估算，解题时先通过根与系数的关系快速缩小未知根的范围，再代入特殊值判断即可，解题方法灵活，能有效考察对相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
13. (2026 南充)抛物线 $y=x^2+mx+m-2$ 与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点，且 $AB=\sqrt{5}$，则 $m$ 的值为 ______。
答案
13.1 或 3 【解析】设 $ A(x_1,0),B(x_2,0) $. 令 $ y=0 $,得 $ x^2 + mx + m - 2=0 $. 由根与系数的关系,得 $ x_1 + x_2=-m $,$x_1x_2=m - 2 $,$AB=|x_1 - x_2|=\sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2}=\sqrt{(-m)^2 - 4(m - 2)}=\sqrt{m^2 - 4m + 8} $.$\because AB=\sqrt{5} $,$\therefore \sqrt{m^2 - 4m + 8}=\sqrt{5} $,两边平方,得 $ m^2 - 4m + 8=5 $,解得 $ m_1=1 $,$m_2=3 $. 故 $ m $ 的值为 1 或 3.
解析
【分析】
解题时首先明确抛物线与x轴交点的纵坐标为0，因此令y=0可得到关于x的一元二次方程，方程的两个根就是A、B两点的横坐标。A、B两点都在x轴上，两点间的距离等于两个横坐标差的绝对值，利用根与系数的关系可以将横坐标差的绝对值转化为含两根之和、两根之积的表达式，再代入AB=√5的条件，即可得到关于m的方程，解方程即可求出m的值，最后验证所得m是否满足方程有两个不相等的实根即可。
【解析】
设点$ A(x_1,0) $，$ B(x_2,0) $。
令抛物线解析式中$ y=0 $，得一元二次方程：$ x^2 + mx + m - 2=0 $。
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$ x_1 + x_2=-m $，$ x_1x_2=m - 2 $。
x轴上两点间的距离$ AB=|x_1 - x_2| $，由完全平方公式变形可得：
$ |x_1 - x_2|=\sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} $，
代入根与系数的关系结果得：
$ AB=\sqrt{(-m)^2 - 4(m - 2)}=\sqrt{m^2 - 4m + 8} $。
已知$ AB=\sqrt{5} $，因此列方程：
$ \sqrt{m^2 - 4m + 8}=\sqrt{5} $，
两边同时平方去掉根号得：
$ m^2 - 4m + 8=5 $，
整理得$ m^2 -4m +3=0 $，
因式分解得$ (m-1)(m-3)=0 $，
解得$ m_1=1 $，$ m_2=3 $。
验证：当$ m=1 $或$ m=3 $时，方程判别式$ \Delta=m^2-4(m-2)=5＞0 $，均满足抛物线与x轴有两个交点的条件，两个解均成立。
【答案】
1或3
【知识点】
抛物线与x轴交点；根与系数的关系；两点距离公式
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的典型题型，核心是利用二次函数与一元二次方程的联系，通过根与系数的关系简化两点距离的计算，避免了直接求根的繁琐，解题时需注意验证所得参数是否满足抛物线与x轴有两个交点的前提条件。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确抛物线与x轴交点的纵坐标为0，因此令y=0可得到关于x的一元二次方程，方程的两个根就是A、B两点的横坐标。A、B两点都在x轴上，两点间的距离等于两个横坐标差的绝对值，利用根与系数的关系可以将横坐标差的绝对值转化为含两根之和、两根之积的表达式，再代入AB=√5的条件，即可得到关于m的方程，解方程即可求出m的值，最后验证所得m是否满足方程有两个不相等的实根即可。
【解析】
设点$ A(x_1,0) $，$ B(x_2,0) $。
令抛物线解析式中$ y=0 $，得一元二次方程：$ x^2 + mx + m - 2=0 $。
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$ x_1 + x_2=-m $，$ x_1x_2=m - 2 $。
x轴上两点间的距离$ AB=|x_1 - x_2| $，由完全平方公式变形可得：
$ |x_1 - x_2|=\sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} $，
代入根与系数的关系结果得：
$ AB=\sqrt{(-m)^2 - 4(m - 2)}=\sqrt{m^2 - 4m + 8} $。
已知$ AB=\sqrt{5} $，因此列方程：
$ \sqrt{m^2 - 4m + 8}=\sqrt{5} $，
两边同时平方去掉根号得：
$ m^2 - 4m + 8=5 $，
整理得$ m^2 -4m +3=0 $，
因式分解得$ (m-1)(m-3)=0 $，
解得$ m_1=1 $，$ m_2=3 $。
验证：当$ m=1 $或$ m=3 $时，方程判别式$ \Delta=m^2-4(m-2)=5＞0 $，均满足抛物线与x轴有两个交点的条件，两个解均成立。
【答案】
1或3
【知识点】
抛物线与x轴交点；根与系数的关系；两点距离公式
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的典型题型，核心是利用二次函数与一元二次方程的联系，通过根与系数的关系简化两点距离的计算，避免了直接求根的繁琐，解题时需注意验证所得参数是否满足抛物线与x轴有两个交点的前提条件。
【难度系数】
0.7
