登录
【例】如下图,点$B,C,D$都在半径为4的$\odot O$上,过点$C$作$AC// BD$交$OB$的延长线于点$A$,连接$CD$.已知$∠ D=∠ OBD=30°$.
(1)求证:$AC$是$\odot O$的切线.
(2)求弦$BD$的长.
【点拨】(1)连接$OC$,根据圆周角定理求得$∠ O=2∠ D=60°$,然后证明四边形$ABDC$为平行四边形,从而证得$∠ A=∠ D=30°$.根据三角形的内角和定理证得$∠ OCA=180°-∠ A-∠ O=90°$,即$OC⊥ AC$,从而证得$AC$是$\odot O$的切线;(2)设$OC$与$BD$相交于点$E$.由$OC⊥ AC$,$AC// BD$得出$OC⊥ BD$.根据垂径定理可得$BE=DE$,然后根据直角三角形中$30°$所对
的直角边是斜边的一半求出$OE$,再由勾股定理求得$BE$,从而求得$BD$的长.
【解】(1)证明:如图,连接$OC$.
$\because ∠ D=30°,$
$\therefore ∠ O=2∠ D=60°.$
$\because ∠ D=∠ OBD,\therefore CD// AB.$
又$\because AC// BD,\therefore$四边形$ABDC$为平行四边形,$\therefore ∠ A=∠ D=30°,\therefore ∠ OCA=180°-∠ A-∠ O=90°$,即$OC⊥ AC$.
又$\because OC$是$\odot O$的半径,
$\therefore AC$是$\odot O$的切线.
(2)如图,设$OC$与$BD$相交于点$E$.
由(1)知,$OC⊥ AC$.
$\because AC// BD,\therefore OC⊥ BD,\therefore BE=DE.$
$\because$在$\mathrm{Rt}△ BEO$中,$∠ OBD=30°,OB=4,$
$\therefore OE=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}×4=2,$
$\therefore BE=\sqrt{OB^2-OE^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3},$
$\therefore BD=2BE=4\sqrt{3}.$
(1)求证:$AC$是$\odot O$的切线.
(2)求弦$BD$的长.
【点拨】(1)连接$OC$,根据圆周角定理求得$∠ O=2∠ D=60°$,然后证明四边形$ABDC$为平行四边形,从而证得$∠ A=∠ D=30°$.根据三角形的内角和定理证得$∠ OCA=180°-∠ A-∠ O=90°$,即$OC⊥ AC$,从而证得$AC$是$\odot O$的切线;(2)设$OC$与$BD$相交于点$E$.由$OC⊥ AC$,$AC// BD$得出$OC⊥ BD$.根据垂径定理可得$BE=DE$,然后根据直角三角形中$30°$所对
的直角边是斜边的一半求出$OE$,再由勾股定理求得$BE$,从而求得$BD$的长.
【解】(1)证明:如图,连接$OC$.
$\because ∠ D=30°,$
$\therefore ∠ O=2∠ D=60°.$
$\because ∠ D=∠ OBD,\therefore CD// AB.$
又$\because AC// BD,\therefore$四边形$ABDC$为平行四边形,$\therefore ∠ A=∠ D=30°,\therefore ∠ OCA=180°-∠ A-∠ O=90°$,即$OC⊥ AC$.
又$\because OC$是$\odot O$的半径,
$\therefore AC$是$\odot O$的切线.
(2)如图,设$OC$与$BD$相交于点$E$.
由(1)知,$OC⊥ AC$.
$\because AC// BD,\therefore OC⊥ BD,\therefore BE=DE.$
$\because$在$\mathrm{Rt}△ BEO$中,$∠ OBD=30°,OB=4,$
$\therefore OE=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}×4=2,$
$\therefore BE=\sqrt{OB^2-OE^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3},$
$\therefore BD=2BE=4\sqrt{3}.$
答案
(1)证明：如图，连接$OC$。
$\because ∠D=30°,$
$\therefore ∠BOC=2∠D=60°.$
$\because ∠D=∠OBD=30°,$
$\therefore CD// AB.$
又$\because AC// BD,$
$\therefore$ 四边形$ABDC$为平行四边形，
$\therefore ∠A=∠D=30°.$
在$△ OAC$中，$∠ OCA=180°-∠ A-∠ BOC=180°-30°-60°=90°$，即$OC⊥ AC$。
又$\because OC$是$\odot O$的半径，
$\therefore AC$是$\odot O$的切线。
(2)解：设$OC$与$BD$相交于点$E$。
由(1)知，$OC⊥ AC$。
$\because AC// BD,$
$\therefore OC⊥ BD,$
由垂径定理得$BE=DE$。
在$\mathrm{Rt}△ BEO$中，$∠ OBD=30°$，$OB=4$，
$\therefore OE=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}×4=2,$
由勾股定理得$BE=\sqrt{OB^2-OE^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3},$
$\therefore BD=2BE=4\sqrt{3}.$
答：弦$BD$的长为$4\sqrt{3}$。
$\because ∠D=30°,$
$\therefore ∠BOC=2∠D=60°.$
$\because ∠D=∠OBD=30°,$
$\therefore CD// AB.$
又$\because AC// BD,$
$\therefore$ 四边形$ABDC$为平行四边形，
$\therefore ∠A=∠D=30°.$
在$△ OAC$中，$∠ OCA=180°-∠ A-∠ BOC=180°-30°-60°=90°$，即$OC⊥ AC$。
又$\because OC$是$\odot O$的半径，
$\therefore AC$是$\odot O$的切线。
(2)解：设$OC$与$BD$相交于点$E$。
由(1)知，$OC⊥ AC$。
$\because AC// BD,$
$\therefore OC⊥ BD,$
由垂径定理得$BE=DE$。
在$\mathrm{Rt}△ BEO$中，$∠ OBD=30°$，$OB=4$，
$\therefore OE=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}×4=2,$
由勾股定理得$BE=\sqrt{OB^2-OE^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3},$
$\therefore BD=2BE=4\sqrt{3}.$
答：弦$BD$的长为$4\sqrt{3}$。
解析
【分析】
（1）要证明AC是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明AC垂直于过切点的半径，因此先连接OC，接下来推导$∠ OCA=90°$即可：首先根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求出$∠ BOC=60°$；再由$∠ D=∠ OBD$推出$CD// AB$，结合$AC// BD$可证四边形ABDC是平行四边形，得到$∠ A=30°$，最后利用三角形内角和定理计算$∠ OCA$的度数，即可证得$OC⊥ AC$。
（2）求弦BD的长，可利用垂径定理将问题转化为求BD一半的长度：由$OC⊥ AC$、$AC// BD$可得$OC⊥ BD$，根据垂径定理得$BE=DE$，再在$\mathrm{Rt}△ BEO$中，利用30°直角三角形的性质求出OE的长度，最后用勾股定理求出BE，乘以2即可得到BD的长。
【解析】
(1)证明：如图，连接$OC$。
$\because ∠D=30°,$
$\therefore ∠BOC=2∠D=60°.$
$\because ∠D=∠OBD=30°,$
$\therefore CD// AB.$
又$\because AC// BD,$
$\therefore$ 四边形$ABDC$为平行四边形，
$\therefore ∠A=∠D=30°.$
在$△ OAC$中，$∠ OCA=180°-∠ A-∠ BOC=180°-30°-60°=90°$，即$OC⊥ AC$。
又$\because OC$是$\odot O$的半径，
$\therefore AC$是$\odot O$的切线。
(2)解：设$OC$与$BD$相交于点$E$。
由(1)知，$OC⊥ AC$。
$\because AC// BD,$
$\therefore OC⊥ BD,$
由垂径定理得$BE=DE$。
在$\mathrm{Rt}△ BEO$中，$∠ OBD=30°$，$OB=4$，
$\therefore OE=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}×4=2,$
由勾股定理得$BE=\sqrt{OB^2-OE^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3},$
$\therefore BD=2BE=4\sqrt{3}.$
【答案】
(1) $AC$是$\odot O$的切线，得证；
(2) 弦$BD$的长为$4\sqrt{3}$。
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；垂径定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，将平行四边形判定、直角三角形性质与圆的核心定理结合考查，解题的关键是根据切线判定、弦长求解的需求正确作出辅助线，熟练掌握各基础定理的应用场景即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
（1）要证明AC是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明AC垂直于过切点的半径，因此先连接OC，接下来推导$∠ OCA=90°$即可：首先根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求出$∠ BOC=60°$；再由$∠ D=∠ OBD$推出$CD// AB$，结合$AC// BD$可证四边形ABDC是平行四边形，得到$∠ A=30°$，最后利用三角形内角和定理计算$∠ OCA$的度数，即可证得$OC⊥ AC$。
（2）求弦BD的长，可利用垂径定理将问题转化为求BD一半的长度：由$OC⊥ AC$、$AC// BD$可得$OC⊥ BD$，根据垂径定理得$BE=DE$，再在$\mathrm{Rt}△ BEO$中，利用30°直角三角形的性质求出OE的长度，最后用勾股定理求出BE，乘以2即可得到BD的长。
【解析】
(1)证明：如图，连接$OC$。
$\because ∠D=30°,$
$\therefore ∠BOC=2∠D=60°.$
$\because ∠D=∠OBD=30°,$
$\therefore CD// AB.$
又$\because AC// BD,$
$\therefore$ 四边形$ABDC$为平行四边形，
$\therefore ∠A=∠D=30°.$
在$△ OAC$中，$∠ OCA=180°-∠ A-∠ BOC=180°-30°-60°=90°$，即$OC⊥ AC$。
又$\because OC$是$\odot O$的半径，
$\therefore AC$是$\odot O$的切线。
(2)解：设$OC$与$BD$相交于点$E$。
由(1)知，$OC⊥ AC$。
$\because AC// BD,$
$\therefore OC⊥ BD,$
由垂径定理得$BE=DE$。
在$\mathrm{Rt}△ BEO$中，$∠ OBD=30°$，$OB=4$，
$\therefore OE=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}×4=2,$
由勾股定理得$BE=\sqrt{OB^2-OE^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3},$
$\therefore BD=2BE=4\sqrt{3}.$
【答案】
(1) $AC$是$\odot O$的切线，得证；
(2) 弦$BD$的长为$4\sqrt{3}$。
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；垂径定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，将平行四边形判定、直角三角形性质与圆的核心定理结合考查，解题的关键是根据切线判定、弦长求解的需求正确作出辅助线，熟练掌握各基础定理的应用场景即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
1.如图,已知$△ ABC$,以AB为直径的$\odot O$交BC于点D,与AC相切于点A,连接OD.若$∠ AOD=80°$,则$∠ C$的度数为 (
A.$30°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$50°$
D
)A.$30°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$50°$
答案
1.D
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：①先根据切线的性质，AC与$\odot O$相切于A，AB是直径，可得AC垂直AB，即$△ ABC$是直角三角形，$∠ BAC=90°$，因此$∠ C$和$∠ B$互余，只需要求出$∠ B$的度数就能计算$∠ C$；②$∠ AOD$是弧$AD$对应的圆心角，$∠ B$是弧$AD$对应的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可求出$∠ B$的度数；③最后用直角三角形两锐角互余计算$∠ C$即可。
【解析】
解：$\because AC$是$\odot O$的切线，$AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore$根据切线的性质，$AC⊥ AB$，即$∠ BAC=90°$，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B + ∠ C = 90°$。
$\because ∠ AOD$是弧$AD$所对的圆心角，$∠ B$是弧$AD$所对的圆周角，
$\therefore$根据圆周角定理，$∠ B = \frac{1}{2}∠ AOD$，
已知$∠ AOD=80°$，代入得$∠ B = \frac{1}{2}×80°=40°$，
$\therefore ∠ C = 90° - ∠ B = 90° - 40°=50°$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的核心是熟练掌握切线性质和圆周角定理，通过已知圆心角推导圆周角，再结合直角三角形的角度关系求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
解题时可按以下思路推导：①先根据切线的性质，AC与$\odot O$相切于A，AB是直径，可得AC垂直AB，即$△ ABC$是直角三角形，$∠ BAC=90°$，因此$∠ C$和$∠ B$互余，只需要求出$∠ B$的度数就能计算$∠ C$；②$∠ AOD$是弧$AD$对应的圆心角，$∠ B$是弧$AD$对应的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可求出$∠ B$的度数；③最后用直角三角形两锐角互余计算$∠ C$即可。
【解析】
解：$\because AC$是$\odot O$的切线，$AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore$根据切线的性质，$AC⊥ AB$，即$∠ BAC=90°$，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B + ∠ C = 90°$。
$\because ∠ AOD$是弧$AD$所对的圆心角，$∠ B$是弧$AD$所对的圆周角，
$\therefore$根据圆周角定理，$∠ B = \frac{1}{2}∠ AOD$，
已知$∠ AOD=80°$，代入得$∠ B = \frac{1}{2}×80°=40°$，
$\therefore ∠ C = 90° - ∠ B = 90° - 40°=50°$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的核心是熟练掌握切线性质和圆周角定理，通过已知圆心角推导圆周角，再结合直角三角形的角度关系求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
2. (2025—2026 新余第四中学期末)如图，在⊙O上有A，B，C三点，∠B=27°，DC与⊙O相切于点C，交OA的延长线于点D，则
∠D的度数为 （
A.27°
B.36°
C.46°
D.54°
∠D的度数为 （
B
）A.27°
B.36°
C.46°
D.54°
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先根据切线的性质，切线与过切点的半径垂直，因此先连接辅助线OC构造直角三角形；再结合圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出圆心角∠AOC的度数，最后在直角三角形中利用两锐角互余即可求出∠D的度数。
【解析】
连接OC，
∵ DC与⊙O相切于点C，
∴ OC⊥CD，即∠OCD=90°，
∵ 弧AC所对的圆周角为∠B，圆心角为∠AOC，
∴ ∠AOC=2∠B=2×27°=54°，
在Rt△OCD中，∠D+∠AOC=90°，
∴ ∠D=90°-54°=36°。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于圆的基础计算题，核心考查切线性质与圆周角定理的结合应用，解题关键是熟练掌握"遇到切线作过切点的半径"这一常用辅助线做法，熟悉圆内角度换算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据切线的性质，切线与过切点的半径垂直，因此先连接辅助线OC构造直角三角形；再结合圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出圆心角∠AOC的度数，最后在直角三角形中利用两锐角互余即可求出∠D的度数。
【解析】
连接OC，
∵ DC与⊙O相切于点C，
∴ OC⊥CD，即∠OCD=90°，
∵ 弧AC所对的圆周角为∠B，圆心角为∠AOC，
∴ ∠AOC=2∠B=2×27°=54°，
在Rt△OCD中，∠D+∠AOC=90°，
∴ ∠D=90°-54°=36°。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于圆的基础计算题，核心考查切线性质与圆周角定理的结合应用，解题关键是熟练掌握"遇到切线作过切点的半径"这一常用辅助线做法，熟悉圆内角度换算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.7
