登录
3. 如图,在$\odot O$中,AB切$\odot O$于点A,连接OB交$\odot O$于点C,过点A作$AD// OB$交$\odot O$于点D,连接CD.若$∠ B=50°$,则$∠ OCD$的度数为 （
A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
B
）A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
答案
3.B 【解析】如图,连接OA.
∵AB切$\odot O$于点A,
∴OA⊥AB,
∴∠OAB=90°.
∵∠B=50°,
∴∠O=180°−∠OAB−∠B=40°. 由圆周角定理,得∠D=$\frac{1}{2}$∠O=20°.
∵AD//OB,
∴∠OCD=∠D=20°.
解析
【分析】
解决本题的核心是利用切线的性质构造辅助线：首先看到AB是圆的切线，根据切线性质，切线垂直于过切点的半径，因此连接OA得到直角三角形OAB；在直角三角形中已知∠B的度数，可求出圆心角∠AOC的度数；再依据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，算出∠ADC的度数；最后结合AD平行OB的条件，利用平行线内错角相等即可求出∠OCD的度数。
【解析】
如图，连接OA。
∵AB切$\odot O$于点A，
∴$OA⊥ AB$，$∠ OAB=90°$。
∵$∠ B=50°$，
∴$∠ AOC=180°-∠ OAB-∠ B=180°-90°-50°=40°$。
由圆周角定理可得，同弧$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角$∠ ADC=\frac{1}{2}∠ AOC=20°$。
∵$AD// OB$，
∴$∠ OCD=∠ ADC=20°$（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，平行线的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是掌握切线类问题的常用辅助线作法：连接切点与圆心，再结合圆周角定理、平行线的性质即可求解，是圆章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是利用切线的性质构造辅助线：首先看到AB是圆的切线，根据切线性质，切线垂直于过切点的半径，因此连接OA得到直角三角形OAB；在直角三角形中已知∠B的度数，可求出圆心角∠AOC的度数；再依据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，算出∠ADC的度数；最后结合AD平行OB的条件，利用平行线内错角相等即可求出∠OCD的度数。
【解析】
如图，连接OA。
∵AB切$\odot O$于点A，
∴$OA⊥ AB$，$∠ OAB=90°$。
∵$∠ B=50°$，
∴$∠ AOC=180°-∠ OAB-∠ B=180°-90°-50°=40°$。
由圆周角定理可得，同弧$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角$∠ ADC=\frac{1}{2}∠ AOC=20°$。
∵$AD// OB$，
∴$∠ OCD=∠ ADC=20°$（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，平行线的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是掌握切线类问题的常用辅助线作法：连接切点与圆心，再结合圆周角定理、平行线的性质即可求解，是圆章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
4.如图，AC是$\odot O$的切线，B为切点，连接OA，OC.若$∠ A=30°$，$AB=2\sqrt{3}$，$BC=3$，则OC的长度是________.
答案
4.$\sqrt{13}$ 【解析】如图,连接OB.
∵AC是$\odot O$的切线,B为切点,
∴∠ABO=∠CBO=90°.
∵∠A=30°,
∴AO=2BO. 在Rt△ABO中,$AO^2=AB^2+BO^2$,即$(2BO)^2=(2\sqrt{3})^2+BO^2$,解得$BO=2$. 在Rt△CBO中,$OC=\sqrt{BO^2+BC^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$.
解析
【分析】
遇到切线和切点的条件，首先根据切线的性质，连接过切点的半径构造直角三角形。本题先连接OB，可得OB⊥AC，得到两个直角三角形。先在Rt△ABO中，利用30°直角三角形的边的关系结合勾股定理求出半径OB的长度，再在Rt△OBC中用勾股定理计算OC的长度即可。
【解析】
如图，连接OB。
∵AC是$\odot O$的切线，B为切点，
∴$∠ ABO=∠ CBO=90°$。
在$Rt△ ABO$中，$∠ A=30°$，
∴$AO=2BO$。
由勾股定理得：$AO^2=AB^2+BO^2$，
代入$AO=2BO$，$AB=2\sqrt{3}$，得$(2BO)^2=(2\sqrt{3})^2+BO^2$，
整理得$3BO^2=12$，解得$BO=2$。
在$Rt△ CBO$中，$BO=2$，$BC=3$，
由勾股定理得：$OC=\sqrt{BO^2+BC^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
切线的性质；勾股定理；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的性质应用的基础题型，解题核心是熟练掌握切线的性质，正确作出辅助线构造直角三角形，结合直角三角形的相关性质求解线段长度，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
遇到切线和切点的条件，首先根据切线的性质，连接过切点的半径构造直角三角形。本题先连接OB，可得OB⊥AC，得到两个直角三角形。先在Rt△ABO中，利用30°直角三角形的边的关系结合勾股定理求出半径OB的长度，再在Rt△OBC中用勾股定理计算OC的长度即可。
【解析】
如图，连接OB。
∵AC是$\odot O$的切线，B为切点，
∴$∠ ABO=∠ CBO=90°$。
在$Rt△ ABO$中，$∠ A=30°$，
∴$AO=2BO$。
由勾股定理得：$AO^2=AB^2+BO^2$，
代入$AO=2BO$，$AB=2\sqrt{3}$，得$(2BO)^2=(2\sqrt{3})^2+BO^2$，
整理得$3BO^2=12$，解得$BO=2$。
在$Rt△ CBO$中，$BO=2$，$BC=3$，
由勾股定理得：$OC=\sqrt{BO^2+BC^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
切线的性质；勾股定理；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的性质应用的基础题型，解题核心是熟练掌握切线的性质，正确作出辅助线构造直角三角形，结合直角三角形的相关性质求解线段长度，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
5.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=119°，BD为直径，CP与⊙O相切，交BD的延长线于点P，则∠P的度数为
32°
。答案
5.$32°$
解析
【分析】
解题思路如下：①遇到切线要先联想切线的性质，即切线垂直于过切点的半径，因此先连接辅助线OC，可得到∠OCP=90°；②已知圆周角∠BAC=119°，根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，钝角∠BAC对应优弧BC，先求出优弧BC的度数，再计算劣弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；③∠BOC和∠COP为邻补角，可求出∠COP的度数；④在Rt△OCP中，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠P的度数。
【解析】
解：连接OC，
1.
∵∠BAC是⊙O的圆周角，且∠BAC=119°，它所对的弧为优弧BC，
∴优弧BC的度数=2×119°=238°，
∴劣弧BC的度数=360°-238°=122°，
∴劣弧BC对应的圆心角∠BOC=122°；
2.
∵CP与⊙O相切，OC是⊙O的半径，
∴OC⊥CP，即∠OCP=90°；
3.
∵点O在BD上，∠BOC与∠COP为邻补角，
∴∠COP=180°-∠BOC=180°-122°=58°；
4. 在Rt△OCP中，∠P+∠COP=90°，
∴∠P=90°-58°=32°。
【答案】
32°
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆性质应用的典型题型，解题的关键是正确添加连接切点和圆心的辅助线，再结合圆周角定理、切线性质逐步推导角度关系，整体逻辑清晰，注重基础知识点的综合运用。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：①遇到切线要先联想切线的性质，即切线垂直于过切点的半径，因此先连接辅助线OC，可得到∠OCP=90°；②已知圆周角∠BAC=119°，根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，钝角∠BAC对应优弧BC，先求出优弧BC的度数，再计算劣弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；③∠BOC和∠COP为邻补角，可求出∠COP的度数；④在Rt△OCP中，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠P的度数。
【解析】
解：连接OC，
1.
∵∠BAC是⊙O的圆周角，且∠BAC=119°，它所对的弧为优弧BC，
∴优弧BC的度数=2×119°=238°，
∴劣弧BC的度数=360°-238°=122°，
∴劣弧BC对应的圆心角∠BOC=122°；
2.
∵CP与⊙O相切，OC是⊙O的半径，
∴OC⊥CP，即∠OCP=90°；
3.
∵点O在BD上，∠BOC与∠COP为邻补角，
∴∠COP=180°-∠BOC=180°-122°=58°；
4. 在Rt△OCP中，∠P+∠COP=90°，
∴∠P=90°-58°=32°。
【答案】
32°
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆性质应用的典型题型，解题的关键是正确添加连接切点和圆心的辅助线，再结合圆周角定理、切线性质逐步推导角度关系，整体逻辑清晰，注重基础知识点的综合运用。
【难度系数】
0.7
6.如下图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点O在边AB上,以点O为圆心,OB长为半径的半圆,交BC于点D,与AC相切于点E,连接OD,OE.
(1)求证:$OD ⊥ OE$.
(2)若$AB=BC$,$OB=\sqrt{3}$,求四边形ODCE的面积.
(1)求证:$OD ⊥ OE$.
(2)若$AB=BC$,$OB=\sqrt{3}$,求四边形ODCE的面积.
答案
6. 解:(1)证明:$\because AB=AC,\therefore ∠ B=∠ C.$
$\because OB=OD,\therefore ∠ B=∠ ODB,$
$\therefore ∠ C=∠ ODB,\therefore OD//AC.$
$\because \odot O$与AC相切于点E,$\therefore OE⊥AC,$
$\therefore OD⊥OE.$
(2)$\because BC=AB=AC,\therefore △ABC$是等边三角形,
$\therefore ∠ A=∠ B=∠ C=60°.$又$\because OB=\sqrt{3},\therefore OD=OE=OB=\sqrt{3}.$
在$\mathrm{Rt}△ AEO$中,$\because ∠ AOE=90°−60°=30°,$
$\therefore AE=\frac{1}{2}OA.$
$\because AE^2+OE^2=OA^2,$
$\therefore (\frac{1}{2}OA)^2+(\sqrt{3})^2=OA^2,$
解得$OA=2,\therefore AE=1,$
$\therefore AB=BC=AC=OA+OB=2+\sqrt{3},$
$\therefore CE=AC−AE=1+\sqrt{3},$
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ODCE}=\frac{1}{2}(OD+CE)· OE=\frac{\sqrt{3}}{2}+3.$
$\because OB=OD,\therefore ∠ B=∠ ODB,$
$\therefore ∠ C=∠ ODB,\therefore OD//AC.$
$\because \odot O$与AC相切于点E,$\therefore OE⊥AC,$
$\therefore OD⊥OE.$
(2)$\because BC=AB=AC,\therefore △ABC$是等边三角形,
$\therefore ∠ A=∠ B=∠ C=60°.$又$\because OB=\sqrt{3},\therefore OD=OE=OB=\sqrt{3}.$
在$\mathrm{Rt}△ AEO$中,$\because ∠ AOE=90°−60°=30°,$
$\therefore AE=\frac{1}{2}OA.$
$\because AE^2+OE^2=OA^2,$
$\therefore (\frac{1}{2}OA)^2+(\sqrt{3})^2=OA^2,$
解得$OA=2,\therefore AE=1,$
$\therefore AB=BC=AC=OA+OB=2+\sqrt{3},$
$\therefore CE=AC−AE=1+\sqrt{3},$
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ODCE}=\frac{1}{2}(OD+CE)· OE=\frac{\sqrt{3}}{2}+3.$
解析
【分析】
(1) 要证$OD⊥OE$，已知AC是$\odot O$的切线，由切线性质可得$OE⊥AC$，因此只需证明$OD// AC$即可。结合$AB=AC$、$OB=OD$的条件，可通过角的等量代换得到$∠C=∠ODB$，从而推出$OD// AC$，即可得证垂直关系。
(2) 已知$AB=AC$且$AB=BC$，可先判定$△ ABC$是等边三角形，得到三个内角均为$60°$。再在$Rt△ AEO$中利用30°角的性质和勾股定理求出$OA$、$AE$的长度，进而得到$AC$、$CE$的长度，结合(1)的结论可知四边形$ODCE$是直角梯形，代入梯形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：$\because AB=AC,\therefore ∠ B=∠ C.$
$\because OB=OD$（同圆半径相等），$\therefore ∠ B=∠ ODB,$
$\therefore ∠ C=∠ ODB,\therefore OD// AC$（同位角相等，两直线平行）。
$\because \odot O$与AC相切于点E，$\therefore OE⊥AC$（圆的切线垂直于过切点的半径），
$\therefore OD⊥OE$。
(2) 解：$\because BC=AB=AC,\therefore △ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ A=∠ B=∠ C=60°$。又$\because OB=\sqrt{3},\therefore OD=OE=OB=\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ AEO$中，$\because ∠ AOE=90°−60°=30°,$
$\therefore AE=\frac{1}{2}OA$（直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半）。
$\because AE^2+OE^2=OA^2,$
$\therefore (\frac{1}{2}OA)^2+(\sqrt{3})^2=OA^2,$
解得$OA=2,\therefore AE=1,$
$\therefore AB=BC=AC=OA+OB=2+\sqrt{3},$
$\therefore CE=AC−AE=1+\sqrt{3},$
由(1)知$OD// AC$，$OE⊥AC$、$OE⊥OD$，即四边形$ODCE$为直角梯形，
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ODCE}=\frac{1}{2}(OD+CE)· OE=\frac{1}{2}×(\sqrt{3}+1+\sqrt{3})×\sqrt{3}=3+\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1) $OD⊥OE$得证；
(2) 四边形$ODCE$的面积为$\boxed{3+\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$（或$\dfrac{\sqrt{3}}{2}+3$）。
【知识点】
切线的性质，等边三角形的判定与性质，梯形面积计算
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型综合题，既考查了几何证明的逻辑推导能力，也考查了特殊三角形性质、勾股定理及面积公式的应用，解题的关键是通过角的等量代换得到平行线关系，结合切线性质转化垂直条件。
【难度系数】
0.65
(1) 要证$OD⊥OE$，已知AC是$\odot O$的切线，由切线性质可得$OE⊥AC$，因此只需证明$OD// AC$即可。结合$AB=AC$、$OB=OD$的条件，可通过角的等量代换得到$∠C=∠ODB$，从而推出$OD// AC$，即可得证垂直关系。
(2) 已知$AB=AC$且$AB=BC$，可先判定$△ ABC$是等边三角形，得到三个内角均为$60°$。再在$Rt△ AEO$中利用30°角的性质和勾股定理求出$OA$、$AE$的长度，进而得到$AC$、$CE$的长度，结合(1)的结论可知四边形$ODCE$是直角梯形，代入梯形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：$\because AB=AC,\therefore ∠ B=∠ C.$
$\because OB=OD$（同圆半径相等），$\therefore ∠ B=∠ ODB,$
$\therefore ∠ C=∠ ODB,\therefore OD// AC$（同位角相等，两直线平行）。
$\because \odot O$与AC相切于点E，$\therefore OE⊥AC$（圆的切线垂直于过切点的半径），
$\therefore OD⊥OE$。
(2) 解：$\because BC=AB=AC,\therefore △ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ A=∠ B=∠ C=60°$。又$\because OB=\sqrt{3},\therefore OD=OE=OB=\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ AEO$中，$\because ∠ AOE=90°−60°=30°,$
$\therefore AE=\frac{1}{2}OA$（直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半）。
$\because AE^2+OE^2=OA^2,$
$\therefore (\frac{1}{2}OA)^2+(\sqrt{3})^2=OA^2,$
解得$OA=2,\therefore AE=1,$
$\therefore AB=BC=AC=OA+OB=2+\sqrt{3},$
$\therefore CE=AC−AE=1+\sqrt{3},$
由(1)知$OD// AC$，$OE⊥AC$、$OE⊥OD$，即四边形$ODCE$为直角梯形，
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ODCE}=\frac{1}{2}(OD+CE)· OE=\frac{1}{2}×(\sqrt{3}+1+\sqrt{3})×\sqrt{3}=3+\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1) $OD⊥OE$得证；
(2) 四边形$ODCE$的面积为$\boxed{3+\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$（或$\dfrac{\sqrt{3}}{2}+3$）。
【知识点】
切线的性质，等边三角形的判定与性质，梯形面积计算
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型综合题，既考查了几何证明的逻辑推导能力，也考查了特殊三角形性质、勾股定理及面积公式的应用，解题的关键是通过角的等量代换得到平行线关系，结合切线性质转化垂直条件。
【难度系数】
0.65
7. 如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝25°，OD的延长线交直线BC于点C，且∠OCB＝40°，则直线BC和⊙O的位置关系为
相切
。答案
7.相切
解析
【分析】
要判断直线BC和⊙O的位置关系，核心是判断半径OB与BC是否垂直，即验证∠OBC是否为90°：首先利用圆周角定理，由已知圆周角∠A求出同弧对应的圆心角∠BOD的度数；再在△OBC中利用三角形内角和定理计算∠OBC的度数，若为90°即可判定BC与⊙O相切。
【解析】
连接OB，
∵ 同弧BD所对的圆周角为∠A，圆心角为∠BOD，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ ∠BOD = 2∠A = 2×25° = 50°，
在△OBC中，∠BOC=∠BOD=50°，∠OCB=40°，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠OBC = 180° - ∠BOC - ∠OCB = 180° - 50° - 40° = 90°，
∴ OB⊥BC，
又
∵ OB是⊙O的半径，根据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于该半径的直线是圆的切线，
∴ 直线BC与⊙O相切。
【答案】
相切
【知识点】
圆周角定理，三角形内角和，切线的判定
【点评】
本题是切线判定的基础题型，解题关键是通过角度推导证明半径与待判断直线垂直，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
要判断直线BC和⊙O的位置关系，核心是判断半径OB与BC是否垂直，即验证∠OBC是否为90°：首先利用圆周角定理，由已知圆周角∠A求出同弧对应的圆心角∠BOD的度数；再在△OBC中利用三角形内角和定理计算∠OBC的度数，若为90°即可判定BC与⊙O相切。
【解析】
连接OB，
∵ 同弧BD所对的圆周角为∠A，圆心角为∠BOD，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ ∠BOD = 2∠A = 2×25° = 50°，
在△OBC中，∠BOC=∠BOD=50°，∠OCB=40°，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠OBC = 180° - ∠BOC - ∠OCB = 180° - 50° - 40° = 90°，
∴ OB⊥BC，
又
∵ OB是⊙O的半径，根据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于该半径的直线是圆的切线，
∴ 直线BC与⊙O相切。
【答案】
相切
【知识点】
圆周角定理，三角形内角和，切线的判定
【点评】
本题是切线判定的基础题型，解题关键是通过角度推导证明半径与待判断直线垂直，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
8.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ B=30°$,以点A为圆心,3 cm长为半径作$\odot A$.当AB=
6 cm
时,BC和$\odot A$的位置关系为相切.答案
8.6 cm
解析
【分析】
解决本题首先从BC和⊙A相切的条件入手，回忆切线的性质：圆心到切线的距离等于圆的半径，因此需要过点A作BC的垂线段，该垂线段的长度等于⊙A的半径3cm。结合已知∠B=30°，垂线段与AB可构成含30°角的直角三角形，利用特殊直角三角形的边长关系即可求出AB的长度。
【解析】
过点A作$AD⊥ BC$于点D。
∵BC与$\odot A$相切，
∴AD为$\odot A$的半径，即$AD=3\mathrm{cm}$。
在$Rt△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，$∠ B=30°$，根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”可得：
$AD=\frac{1}{2}AB$，
因此$AB=2AD=2×3=6\mathrm{cm}$。
【答案】
6 cm
【知识点】
切线的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将切线的性质和特殊直角三角形的性质结合考查，解题的关键是根据切线的性质作出辅助线，将问题转化为直角三角形的边长计算，解题思路清晰，难度不高。
【难度系数】
0.7
解决本题首先从BC和⊙A相切的条件入手，回忆切线的性质：圆心到切线的距离等于圆的半径，因此需要过点A作BC的垂线段，该垂线段的长度等于⊙A的半径3cm。结合已知∠B=30°，垂线段与AB可构成含30°角的直角三角形，利用特殊直角三角形的边长关系即可求出AB的长度。
【解析】
过点A作$AD⊥ BC$于点D。
∵BC与$\odot A$相切，
∴AD为$\odot A$的半径，即$AD=3\mathrm{cm}$。
在$Rt△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，$∠ B=30°$，根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”可得：
$AD=\frac{1}{2}AB$，
因此$AB=2AD=2×3=6\mathrm{cm}$。
【答案】
6 cm
【知识点】
切线的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将切线的性质和特殊直角三角形的性质结合考查，解题的关键是根据切线的性质作出辅助线，将问题转化为直角三角形的边长计算，解题思路清晰，难度不高。
【难度系数】
0.7
9. 如下图,在$△ OAB$中,点$A$在$\odot O$上,边$OB$交$\odot O$于点$C$,$AD ⊥ OB$于点$D$,$AC$是$∠ BAD$的平分线.
(1)求证:$AB$为$\odot O$的切线.
(2)若$\odot O$的半径为$2$,$∠ AOB＝45°$,求$CB$的长.
(1)求证:$AB$为$\odot O$的切线.
(2)若$\odot O$的半径为$2$,$∠ AOB＝45°$,求$CB$的长.
答案
9. 解:(1)证明:$\because AD⊥OB,$
$\therefore ∠ DAC+∠ ACD=90°.$
$\because OA=OC,\therefore ∠ OAC=∠ OCA.$
$\because AC$平分$∠ BAD,\therefore ∠ DAC=∠ BAC,$
$\therefore ∠ OAB=∠ BAC+∠ OAC=∠ DAC+∠ OCA=90°$,即$OA⊥AB.$
又$\because OA$为$\odot O$的半径,$\therefore AB$为$\odot O$的切线.
(2)$\because ∠ AOB=45°,∠ OAB=90°,$
$\therefore △OAB$为等腰直角三角形，
$\therefore OB=\sqrt{2}OA=2\sqrt{2}.$
又$\because \odot O$的半径为2,即$OC=2,$
$\therefore CB=OB−OC=2\sqrt{2}−2.$
$\therefore ∠ DAC+∠ ACD=90°.$
$\because OA=OC,\therefore ∠ OAC=∠ OCA.$
$\because AC$平分$∠ BAD,\therefore ∠ DAC=∠ BAC,$
$\therefore ∠ OAB=∠ BAC+∠ OAC=∠ DAC+∠ OCA=90°$,即$OA⊥AB.$
又$\because OA$为$\odot O$的半径,$\therefore AB$为$\odot O$的切线.
(2)$\because ∠ AOB=45°,∠ OAB=90°,$
$\therefore △OAB$为等腰直角三角形，
$\therefore OB=\sqrt{2}OA=2\sqrt{2}.$
又$\because \odot O$的半径为2,即$OC=2,$
$\therefore CB=OB−OC=2\sqrt{2}−2.$
解析
【分析】
(1)要证明AB为$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明半径OA与AB垂直，即$∠ OAB=90°$。已知$AD⊥ OB$可得直角三角形两锐角互余，再结合$OA=OC$的等角关系、AC平分$∠ BAD$的等角关系，通过角的等量代换即可推导出$∠ OAB=90°$。
(2)已知$∠ AOB=45°$和已证的$∠ OAB=90°$，可判断$△ OAB$为等腰直角三角形，先利用等腰直角三角形的三边关系求出OB的长度，再减去$\odot O$的半径OC的长度，即可得到CB的长。
【解析】
(1)证明：$\because AD⊥ OB,$
$\therefore ∠ DAC+∠ ACD=90°.$
$\because OA=OC$（均为$\odot O$的半径）,$\therefore ∠ OAC=∠ OCA.$
$\because AC$平分$∠ BAD,\therefore ∠ DAC=∠ BAC,$
$\therefore ∠ OAB=∠ BAC+∠ OAC=∠ DAC+∠ OCA=90°$,即$OA⊥ AB.$
又$\because OA$为$\odot O$的半径,$\therefore AB$为$\odot O$的切线.
(2)解：$\because ∠ AOB=45°,∠ OAB=90°,$
$\therefore △ OAB$为等腰直角三角形，
$\therefore OB=\sqrt{2}OA=2\sqrt{2}.$
又$\because \odot O$的半径为2,即$OC=2,$
$\therefore CB=OB−OC=2\sqrt{2}−2.$
【答案】
(1)AB为$\odot O$的切线，证明成立；(2)$CB$的长为$2\sqrt{2}-2$
【知识点】
切线的判定；角平分线的性质；等腰直角三角形的计算
【点评】
本题是圆相关的基础典型题，解题核心是熟练掌握切线的判定方法，通过角的等量代换推导垂直关系，再结合特殊三角形的性质计算线段长度，对基础逻辑推导能力有一定考查作用。
【难度系数】
0.7
(1)要证明AB为$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明半径OA与AB垂直，即$∠ OAB=90°$。已知$AD⊥ OB$可得直角三角形两锐角互余，再结合$OA=OC$的等角关系、AC平分$∠ BAD$的等角关系，通过角的等量代换即可推导出$∠ OAB=90°$。
(2)已知$∠ AOB=45°$和已证的$∠ OAB=90°$，可判断$△ OAB$为等腰直角三角形，先利用等腰直角三角形的三边关系求出OB的长度，再减去$\odot O$的半径OC的长度，即可得到CB的长。
【解析】
(1)证明：$\because AD⊥ OB,$
$\therefore ∠ DAC+∠ ACD=90°.$
$\because OA=OC$（均为$\odot O$的半径）,$\therefore ∠ OAC=∠ OCA.$
$\because AC$平分$∠ BAD,\therefore ∠ DAC=∠ BAC,$
$\therefore ∠ OAB=∠ BAC+∠ OAC=∠ DAC+∠ OCA=90°$,即$OA⊥ AB.$
又$\because OA$为$\odot O$的半径,$\therefore AB$为$\odot O$的切线.
(2)解：$\because ∠ AOB=45°,∠ OAB=90°,$
$\therefore △ OAB$为等腰直角三角形，
$\therefore OB=\sqrt{2}OA=2\sqrt{2}.$
又$\because \odot O$的半径为2,即$OC=2,$
$\therefore CB=OB−OC=2\sqrt{2}−2.$
【答案】
(1)AB为$\odot O$的切线，证明成立；(2)$CB$的长为$2\sqrt{2}-2$
【知识点】
切线的判定；角平分线的性质；等腰直角三角形的计算
【点评】
本题是圆相关的基础典型题，解题核心是熟练掌握切线的判定方法，通过角的等量代换推导垂直关系，再结合特殊三角形的性质计算线段长度，对基础逻辑推导能力有一定考查作用。
【难度系数】
0.7
