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1 [2024 沭阳段考]学习了正多边形的知识后，小张用正三角形、正方形、正六边形设计了如图所示的一组图案，按照规律，第7个图案中正三角形的个数是 （
A.28
B.30
C.32
D.34
第1个图案
第2个图案
第3个图案
…
B
）A.28
B.30
C.32
D.34
第1个图案
第2个图案
第3个图案
…
答案
1. B
解析
【分析】
本题是图形规律探究题，解题思路如下：第一步先分别统计前3个图案中正三角形的个数，第二步观察数量与图案序号的变化关系，找到每次增加的固定数量，推导得出第n个图案中正三角形个数的通用表达式，第三步将n=7代入表达式计算，即可得到结果。
【解析】
首先统计前几个图案的正三角形个数：
第1个图案中正三角形的个数为6，可写成$4×1 + 2$；
第2个图案中正三角形的个数为10，可写成$4×2 + 2$；
第3个图案中正三角形的个数为14，可写成$4×3 + 2$；
……
由此可归纳规律：第n个图案中正三角形的个数为$4n + 2$。
当n=7时，正三角形的个数为$4×7 + 2 = 30$。
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究；列代数式；代数式求值
【点评】
本题是规律探究类的常见题型，解题核心是通过观察前几个图形的数量变化，找到固定增量，推导得到通用的代数式后代入计算即可，统计前几个图形的数量时要仔细，避免数错导致规律推导错误。
【难度系数】
0.7
本题是图形规律探究题，解题思路如下：第一步先分别统计前3个图案中正三角形的个数，第二步观察数量与图案序号的变化关系，找到每次增加的固定数量，推导得出第n个图案中正三角形个数的通用表达式，第三步将n=7代入表达式计算，即可得到结果。
【解析】
首先统计前几个图案的正三角形个数：
第1个图案中正三角形的个数为6，可写成$4×1 + 2$；
第2个图案中正三角形的个数为10，可写成$4×2 + 2$；
第3个图案中正三角形的个数为14，可写成$4×3 + 2$；
……
由此可归纳规律：第n个图案中正三角形的个数为$4n + 2$。
当n=7时，正三角形的个数为$4×7 + 2 = 30$。
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究；列代数式；代数式求值
【点评】
本题是规律探究类的常见题型，解题核心是通过观察前几个图形的数量变化，找到固定增量，推导得到通用的代数式后代入计算即可，统计前几个图形的数量时要仔细，避免数错导致规律推导错误。
【难度系数】
0.7
2 [2025 宿迁期中]观察如图所示的图形中的数字排列规律，在第5幅图中，c的值是
59
。答案
2. 59
解析
【分析】
我们可以分三步找规律：首先观察左上位置a的数字规律，其符号奇数项为正、偶数项为负，绝对值等于图形序号；再观察右上位置b的数字规律，依次是2的2次方、3次方、4次方……，即第n幅图的b为2的(n+1)次方；最后观察下方位置c的规律，通过前4幅图验证可得c等于b减去a，代入第5幅图的a、b值即可求出c。
【解析】
1. 求第5幅图的a：
观察前4幅图的a：1、-2、3、-4，可得规律：第n幅图的$a=(-1)^{n+1}· n$，当n=5时，$a=(-1)^{5+1}×5=5$。
2. 求第5幅图的b：
观察前4幅图的b：$4=2^2$、$8=2^3$、$16=2^4$、$32=2^5$，可得规律：第n幅图的$b=2^{n+1}$，当n=5时，$b=2^{5+1}=64$。
3. 求第5幅图的c：
验证前4幅图的c和a、b的关系：
第1幅：$3=4-1$，第2幅：$10=8-(-2)$，第3幅：$13=16-3$，第4幅：$36=32-(-4)$，可得规律$c=b-a$。
代入第5幅图的a、b得：$c=64-5=59$。
【答案】
59
【知识点】
数字规律探究，有理数运算，乘方运算
【点评】
本题需要先分别归纳单个位置的数字变化规律，再找到三个位置数字的运算关系，侧重考查观察和归纳能力，计算难度较低，找准规律是解题关键。
【难度系数】
0.7
我们可以分三步找规律：首先观察左上位置a的数字规律，其符号奇数项为正、偶数项为负，绝对值等于图形序号；再观察右上位置b的数字规律，依次是2的2次方、3次方、4次方……，即第n幅图的b为2的(n+1)次方；最后观察下方位置c的规律，通过前4幅图验证可得c等于b减去a，代入第5幅图的a、b值即可求出c。
【解析】
1. 求第5幅图的a：
观察前4幅图的a：1、-2、3、-4，可得规律：第n幅图的$a=(-1)^{n+1}· n$，当n=5时，$a=(-1)^{5+1}×5=5$。
2. 求第5幅图的b：
观察前4幅图的b：$4=2^2$、$8=2^3$、$16=2^4$、$32=2^5$，可得规律：第n幅图的$b=2^{n+1}$，当n=5时，$b=2^{5+1}=64$。
3. 求第5幅图的c：
验证前4幅图的c和a、b的关系：
第1幅：$3=4-1$，第2幅：$10=8-(-2)$，第3幅：$13=16-3$，第4幅：$36=32-(-4)$，可得规律$c=b-a$。
代入第5幅图的a、b得：$c=64-5=59$。
【答案】
59
【知识点】
数字规律探究，有理数运算，乘方运算
【点评】
本题需要先分别归纳单个位置的数字变化规律，再找到三个位置数字的运算关系，侧重考查观察和归纳能力，计算难度较低，找准规律是解题关键。
【难度系数】
0.7
3 新情境游戏活动 有一种“抢30”的游戏，规则如下：甲先说“1”或“1,2”，当甲先说“1”时，乙接着说“2”或“2,3”；当甲先说“1,2”时，乙接着说“3”或“3,4”，然后甲再接着按次序往下说一个或两个数。这样两个人反复轮流，每次每人说一个或两个数都可以，但不可以连说三个数，谁先说到“30”，谁就获胜。如果采取适当的策略，那么结果是
乙
获胜（填“甲”或“乙”）。答案
3. 乙
解析
【分析】
这是一道策略博弈类问题，可采用倒推法梳理获胜逻辑：要抢到30，需保证对方最后一次报数后，自己能直接报到30，因此上一轮必须抢到27（对方报1个数你就报2个，对方报2个数你就报1个，刚好到30）。以此类推，获胜的核心是抢到所有3的倍数（3、6、9……27、30）。再结合先后手的报数规则：甲先报，最多只能报到2，因此乙第一次就能抢到3，之后每轮保证两人共报3个数，就能一直抢占3的倍数，最终获胜。
【解析】
1. 倒推获胜关键：若想抢到30，需先抢到27。理由：抢到27后，若甲报1个数（28），乙报29、30即可获胜；若甲报2个数（28、29），乙报30即可获胜。
2. 同理可递推得到：要抢到27需先抢到24，依次类推，获胜需要抢占的数为3、6、9、……、27、30，均为3的倍数。
3. 首次报数应对：甲先报数，若甲报“1”，乙就报“2、3”；若甲报“1、2”，乙就报“3”，乙第一次就能抢到3。
4. 后续报数策略：之后每一轮，甲报1个数，乙就报2个数；甲报2个数，乙就报1个数，保证每轮两人合计报3个数，这样乙每次都能抢到3的倍数，最终抢到30。
【答案】
乙
【知识点】
倒推法，周期规律，博弈策略
【点评】
本题结合趣味游戏情境，重点考查逻辑推理能力，解题的核心是通过倒推找到抢占3的倍数的获胜规律，再结合先后手的报数特点确定最优策略，兼具趣味性和思维性。
【难度系数】
0.6
这是一道策略博弈类问题，可采用倒推法梳理获胜逻辑：要抢到30，需保证对方最后一次报数后，自己能直接报到30，因此上一轮必须抢到27（对方报1个数你就报2个，对方报2个数你就报1个，刚好到30）。以此类推，获胜的核心是抢到所有3的倍数（3、6、9……27、30）。再结合先后手的报数规则：甲先报，最多只能报到2，因此乙第一次就能抢到3，之后每轮保证两人共报3个数，就能一直抢占3的倍数，最终获胜。
【解析】
1. 倒推获胜关键：若想抢到30，需先抢到27。理由：抢到27后，若甲报1个数（28），乙报29、30即可获胜；若甲报2个数（28、29），乙报30即可获胜。
2. 同理可递推得到：要抢到27需先抢到24，依次类推，获胜需要抢占的数为3、6、9、……、27、30，均为3的倍数。
3. 首次报数应对：甲先报数，若甲报“1”，乙就报“2、3”；若甲报“1、2”，乙就报“3”，乙第一次就能抢到3。
4. 后续报数策略：之后每一轮，甲报1个数，乙就报2个数；甲报2个数，乙就报1个数，保证每轮两人合计报3个数，这样乙每次都能抢到3的倍数，最终抢到30。
【答案】
乙
【知识点】
倒推法，周期规律，博弈策略
【点评】
本题结合趣味游戏情境，重点考查逻辑推理能力，解题的核心是通过倒推找到抢占3的倍数的获胜规律，再结合先后手的报数特点确定最优策略，兼具趣味性和思维性。
【难度系数】
0.6
4 新情境 环境保护 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已被越来越多的家庭所喜爱。某汽车店计划购进甲、乙两种型号的新能源汽车进行销售。据了解，甲型号新能源汽车每辆的进价为25万元，乙型号新能源汽车每辆的进价为15万元。若该汽车店计划用不少于170万元，且不超过180万元的费用，购进甲、乙两种型号的新能源汽车共10辆，则有哪几种购车方案？从节约成本的角度考虑，应选择哪种购车方案？
答案
4. 如果购进甲型号新能源汽车1辆,乙型号新能源汽车9辆,那么所需费用为25×1+15×9=160(万元),不符合要求;如果购进甲型号新能源汽车2辆,乙型号新能源汽车8辆,那么所需费用为25×2+15×8=170(万元),符合要求;如果购进甲型号新能源汽车3辆,乙型号新能源汽车7辆,那么所需费用为25×3+15×7=180(万元),符合要求;如果购进甲型号新能源汽车4辆,乙型号新能源汽车6辆,那么所需费用为25×4+15×6=190(万元),不符合要求,易得甲型号新能源汽车辆数越多,所需费用越多.所以共有两种购车方案,方案1:购进甲型号新能源汽车2辆,乙型号新能源汽车8辆,所需费用为170万元;方案2:购进甲型号新能源汽车3辆,乙型号新能源汽车7辆,所需费用为180万元.从节约成本的角度考虑,应选择购车方案1
解析
【分析】
这是一道实际方案设计类题目，解题思路如下：首先合理设未知数，设购进甲型号新能源汽车x辆，那么乙型号的购进数量就是(10-x)辆；再提取题干中的不等关系：总购车费用不少于170万元、不超过180万元，结合“总费用=甲型号进价×甲购进量+乙型号进价×乙购进量”列出一元一次不等式组；接着解不等式组得到x的取值范围，结合x代表车辆数必须为正整数，筛选出符合要求的x值，即可得到所有购车方案；最后计算各方案的总费用，选择成本最低的方案即可。
【解析】
解：设购进甲型号新能源汽车x辆，则购进乙型号新能源汽车$(10-x)$辆。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}25x + 15(10-x) ≥ 170 \\25x + 15(10-x) ≤ 180 \end{cases}$
化简第一个不等式：
$25x + 150 -15x ≥ 170$
$10x ≥ 20$，解得$x≥2$
化简第二个不等式：
$25x + 150 -15x ≤ 180$
$10x ≤ 30$，解得$x≤3$
因此不等式组的解集为$2≤ x≤3$，由于x为车辆数，需取正整数，所以x可取2或3。
当$x=2$时，乙型号购进量为$10-2=8$辆，总费用为$25×2 +15×8=170$万元，符合要求；
当$x=3$时，乙型号购进量为$10-3=7$辆，总费用为$25×3 +15×7=180$万元，符合要求；
x取1、4等其他值时总费用不符合170~180万元的要求，故舍去。
由于要节约成本，选择总费用更低的方案即可。
【答案】
共有两种购车方案：方案1：购进甲型号新能源汽车2辆，乙型号新能源汽车8辆，所需费用为170万元；方案2：购进甲型号新能源汽车3辆，乙型号新能源汽车7辆，所需费用为180万元。从节约成本的角度考虑，应选择购车方案1
【知识点】
一元一次不等式组的应用，整数解的实际应用，方案优化选择
【点评】
本题结合低碳环保的热点情境，考查了不等式组在实际方案设计中的应用，解题的关键是准确提取题干中的不等关系列出不等式组，同时要注意未知数的实际意义，需取符合要求的正整数，最后通过比较各方案成本得到最优解。
【难度系数】
0.7
这是一道实际方案设计类题目，解题思路如下：首先合理设未知数，设购进甲型号新能源汽车x辆，那么乙型号的购进数量就是(10-x)辆；再提取题干中的不等关系：总购车费用不少于170万元、不超过180万元，结合“总费用=甲型号进价×甲购进量+乙型号进价×乙购进量”列出一元一次不等式组；接着解不等式组得到x的取值范围，结合x代表车辆数必须为正整数，筛选出符合要求的x值，即可得到所有购车方案；最后计算各方案的总费用，选择成本最低的方案即可。
【解析】
解：设购进甲型号新能源汽车x辆，则购进乙型号新能源汽车$(10-x)$辆。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}25x + 15(10-x) ≥ 170 \\25x + 15(10-x) ≤ 180 \end{cases}$
化简第一个不等式：
$25x + 150 -15x ≥ 170$
$10x ≥ 20$，解得$x≥2$
化简第二个不等式：
$25x + 150 -15x ≤ 180$
$10x ≤ 30$，解得$x≤3$
因此不等式组的解集为$2≤ x≤3$，由于x为车辆数，需取正整数，所以x可取2或3。
当$x=2$时，乙型号购进量为$10-2=8$辆，总费用为$25×2 +15×8=170$万元，符合要求；
当$x=3$时，乙型号购进量为$10-3=7$辆，总费用为$25×3 +15×7=180$万元，符合要求；
x取1、4等其他值时总费用不符合170~180万元的要求，故舍去。
由于要节约成本，选择总费用更低的方案即可。
【答案】
共有两种购车方案：方案1：购进甲型号新能源汽车2辆，乙型号新能源汽车8辆，所需费用为170万元；方案2：购进甲型号新能源汽车3辆，乙型号新能源汽车7辆，所需费用为180万元。从节约成本的角度考虑，应选择购车方案1
【知识点】
一元一次不等式组的应用，整数解的实际应用，方案优化选择
【点评】
本题结合低碳环保的热点情境，考查了不等式组在实际方案设计中的应用，解题的关键是准确提取题干中的不等关系列出不等式组，同时要注意未知数的实际意义，需取符合要求的正整数，最后通过比较各方案成本得到最优解。
【难度系数】
0.7
5 新考向 新定义题 [2024宜宾]如果一个数等于它的全部真因数(一个自然数除自身以外的因数)的和，那么这个数称为“完美数”.例如:6的真因数是1,2,3,且6=1+2+3,则称6为“完美数”.下列数中为“完美数”的是 (
A.8
B.18
C.28
D.32
C
)A.8
B.18
C.28
D.32
答案
5. C 【解析】8的真因数是1,2,4.因为1+2+4=7,所以8不是“完美数”.18的真因数是1,2,3,6,9.因为1+2+3+6+9=21,所以18不是“完美数”.28的真因数是1,2,4,7,14.因为1+2+4+7+14=28,所以28是“完美数”.32的真因数是1,2,4,8,16.因为1+2+4+8+16=31,所以32不是“完美数”.
解析
【分析】
解决本题首先要准确理解“完美数”的新定义，明确判断完美数的步骤：第一步找出目标数除自身以外的所有真因数，第二步计算这些真因数的和，第三步判断和是否等于该数本身。接下来只需对四个选项逐一按上述步骤验证即可得到答案。
【解析】
根据“完美数”的定义：一个自然数等于它全部真因数（除自身以外的因数）的和，这个数就是完美数，对各选项逐一分析：
选项A：8的真因数是1、2、4，和为$1+2+4=7$，$7≠8$，故8不是完美数；
选项B：18的真因数是1、2、3、6、9，和为$1+2+3+6+9=21$，$21≠18$，故18不是完美数；
选项C：28的真因数是1、2、4、7、14，和为$1+2+4+7+14=28$，和等于数本身，故28是完美数；
选项D：32的真因数是1、2、4、8、16，和为$1+2+4+8+16=31$，$31≠32$，故32不是完美数。
【答案】
C
【知识点】
新定义理解，因数的概念，有理数加法
【点评】
本题是典型的新定义题型，解题核心是准确理解题干给出的新定义，严格按照定义的要求进行运算验证即可，考查学生的阅读理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要准确理解“完美数”的新定义，明确判断完美数的步骤：第一步找出目标数除自身以外的所有真因数，第二步计算这些真因数的和，第三步判断和是否等于该数本身。接下来只需对四个选项逐一按上述步骤验证即可得到答案。
【解析】
根据“完美数”的定义：一个自然数等于它全部真因数（除自身以外的因数）的和，这个数就是完美数，对各选项逐一分析：
选项A：8的真因数是1、2、4，和为$1+2+4=7$，$7≠8$，故8不是完美数；
选项B：18的真因数是1、2、3、6、9，和为$1+2+3+6+9=21$，$21≠18$，故18不是完美数；
选项C：28的真因数是1、2、4、7、14，和为$1+2+4+7+14=28$，和等于数本身，故28是完美数；
选项D：32的真因数是1、2、4、8、16，和为$1+2+4+8+16=31$，$31≠32$，故32不是完美数。
【答案】
C
【知识点】
新定义理解，因数的概念，有理数加法
【点评】
本题是典型的新定义题型，解题核心是准确理解题干给出的新定义，严格按照定义的要求进行运算验证即可，考查学生的阅读理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
6 新考向 探究题 [2024成都]在综合实践活动中，数学兴趣小组对1~n这n个自然数，任取两数之和大于n的取法种数k进行了探究。发现：当n=2时，只有{1,2}一种取法，即k=1；当n=3时，有{1,3}和{2,3}两种取法，即k=2；当n=4时，可得k=4。若n=6，则k的值为
7（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了如图①②③所示的三幅图形，观察图中涂色部分构成的图案，请写出两个这三个图案的共同特征；
（2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征。
（第7题）
9
。7（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了如图①②③所示的三幅图形，观察图中涂色部分构成的图案，请写出两个这三个图案的共同特征；
（2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征。
（第7题）答案
6. 9 【解析】当n=6时,从1,2,3,4,5,6中取两个数,其和大于6的取法为{6,1},{6,2},{6,3},{6,4},{6,5},{5,2},{5,3},{5,4},{4,3},所以k=5+3+1=9.
7. 答案不唯一,如(1) ① 沿一条直线翻折后,直线两侧的图案可以重合;② 涂色部分的面积之和相等 (2)
解析
第6题
【分析】
要计算n=6时从1~6中任取两数之和大于6的取法种数，我们可以采用分类讨论的方法，固定两个数中较大的数，依次统计每类符合条件的取法，最后求和，这样能避免重复计数和漏算。
【解析】
当n=6时，按两数中较大的数分类计算：
1. 若较大数为6，另一个数可选1、2、3、4、5，共5种取法，和均大于6；
2. 若较大数为5，另一个数需满足和5相加＞6，即大于1，可选2、3、4，共3种取法；
3. 若较大数为4，另一个数需满足和4相加＞6，即大于2，只有3符合，共1种取法；
4. 若较大数≤3，两数最大和为3+2=5＜6，无符合条件的取法。
总取法数k=5+3+1=9。
【答案】
9
【知识点】
分类计数、有理数加法
【点评】
本题考查用分类讨论思想解决计数问题，固定较大数的分类方法是解决这类组合计数问题的常用思路，能有效避免重复或漏算。
【难度系数】
0.7
---
第7题
【分析】
（1）找三个图案的共同特征可从对称性、面积两个常见角度观察：首先看对称性，三个图案沿正方形的竖直/水平中线翻折，两侧部分都能重合，属于轴对称图形；再算面积，三个图案的涂色部分都可换算为4个小正方形的面积，大小相等。（2）设计图案时只要同时满足“是轴对称图形、涂色面积等于4个小正方形面积”即可。
【解析】
（1）观察三个涂色图案：
① 对称性：三个图案均为轴对称图形，沿某条直线翻折后，直线两侧的图案可以完全重合；
② 面积：设每个小正方形面积为1，图①涂色面积为4，图②、图③的涂色三角形可拼接为4个小正方形，面积也为4，即涂色部分面积之和相等。
（2）设计符合上述两个特征的图案即可，示例如下。
【答案】
（1）答案不唯一，示例：①沿一条直线翻折后，直线两侧的图案可以重合；②涂色部分的面积之和相等。（2）
【知识点】
轴对称图形、面积计算
【点评】
本题是开放性探究题，考查对图形特征的观察归纳能力，只要抓住轴对称、涂色面积相等两个核心特征，就能快速解题和设计符合要求的图案。
【难度系数】
0.8
【分析】
要计算n=6时从1~6中任取两数之和大于6的取法种数，我们可以采用分类讨论的方法，固定两个数中较大的数，依次统计每类符合条件的取法，最后求和，这样能避免重复计数和漏算。
【解析】
当n=6时，按两数中较大的数分类计算：
1. 若较大数为6，另一个数可选1、2、3、4、5，共5种取法，和均大于6；
2. 若较大数为5，另一个数需满足和5相加＞6，即大于1，可选2、3、4，共3种取法；
3. 若较大数为4，另一个数需满足和4相加＞6，即大于2，只有3符合，共1种取法；
4. 若较大数≤3，两数最大和为3+2=5＜6，无符合条件的取法。
总取法数k=5+3+1=9。
【答案】
9
【知识点】
分类计数、有理数加法
【点评】
本题考查用分类讨论思想解决计数问题，固定较大数的分类方法是解决这类组合计数问题的常用思路，能有效避免重复或漏算。
【难度系数】
0.7
---
第7题
【分析】
（1）找三个图案的共同特征可从对称性、面积两个常见角度观察：首先看对称性，三个图案沿正方形的竖直/水平中线翻折，两侧部分都能重合，属于轴对称图形；再算面积，三个图案的涂色部分都可换算为4个小正方形的面积，大小相等。（2）设计图案时只要同时满足“是轴对称图形、涂色面积等于4个小正方形面积”即可。
【解析】
（1）观察三个涂色图案：
① 对称性：三个图案均为轴对称图形，沿某条直线翻折后，直线两侧的图案可以完全重合；
② 面积：设每个小正方形面积为1，图①涂色面积为4，图②、图③的涂色三角形可拼接为4个小正方形，面积也为4，即涂色部分面积之和相等。
（2）设计符合上述两个特征的图案即可，示例如下。
【答案】
（1）答案不唯一，示例：①沿一条直线翻折后，直线两侧的图案可以重合；②涂色部分的面积之和相等。（2）
【知识点】
轴对称图形、面积计算
【点评】
本题是开放性探究题，考查对图形特征的观察归纳能力，只要抓住轴对称、涂色面积相等两个核心特征，就能快速解题和设计符合要求的图案。
【难度系数】
0.8
