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8 新考向 探究题 七年级学生站队，每排5人多2人，每排6人多3人，每排4人少3人.如果七年级学生的人数不超过200，那么七年级学生最多有多少人？
答案
8. 由题意,得七年级学生每排5人少3人,每排6人少3人,每排4人多1人.因为5,6互质,所以5,6的最小公倍数为5×6=30.因为七年级学生的人数不超过200,所以200以内5,6的公倍数有30,60,90,120,150,180.所以七年级学生可能有30-3=27(人),60-3=57(人),90-3=87(人),120-3=117(人),150-3=147(人),180-3=177(人).把可能的人数除以4,如果还剩下1人,那么这个数就是七年级的学生人数.27÷4=6(排)……3(人),不符合题意;57÷4=14(排)……1(人),符合题意;87÷4=21(排)……3(人),不符合题意;117÷4=29(排)……1(人),符合题意;147÷4=36(排)……3(人),不符合题意;177÷4=44(排)……1(人),符合题意.因为57＜117＜177,所以七年级学生最多有177人
解析
【分析】
解题时首先对题目中的余数条件进行等价转化：每排5人多2人等价于总人数比5的倍数少3，每排6人多3人等价于总人数比6的倍数少3，因此总人数一定比5和6的公倍数少3。先找出200以内5和6的所有公倍数，计算出对应可能的总人数，再验证这些数是否满足“每排4人少3人”（即除以4余1）的条件，最终选出最大的符合要求的数即可。
【解析】
第一步：转化条件
由题意得：总人数除以5余2，即总人数=5的倍数-3；总人数除以6余3，即总人数=6的倍数-3；总人数除以4余$4-3=1$，即总人数除以4余数为1。
第二步：计算5和6的公倍数
5和6互质，最小公倍数为$5×6=30$，200以内5和6的公倍数有：30、60、90、120、150、180。
第三步：列出符合前两个条件的可能人数
对应总人数可能为：$30-3=27$，$60-3=57$，$90-3=87$，$120-3=117$，$150-3=147$，$180-3=177$。
第四步：验证第三个条件，筛选最大数
分别除以4求余数：
$27÷4=6······3$，不符合题意；
$57÷4=14······1$，符合题意；
$87÷4=21······3$，不符合题意；
$117÷4=29······1$，符合题意；
$147÷4=36······3$，不符合题意；
$177÷4=44······1$，符合题意。
符合条件的数中最大的是177。
【答案】
177人
【知识点】
1. 公倍数的应用
2. 有余数的除法
【点评】
本题是结合生活实际的余数探究题，解题核心是将不同的余数表述进行等价转化，先通过公倍数确定符合部分条件的候选数，再逐一验证剩余条件筛选结果，能有效考查逻辑转化能力和有序分析问题的能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先对题目中的余数条件进行等价转化：每排5人多2人等价于总人数比5的倍数少3，每排6人多3人等价于总人数比6的倍数少3，因此总人数一定比5和6的公倍数少3。先找出200以内5和6的所有公倍数，计算出对应可能的总人数，再验证这些数是否满足“每排4人少3人”（即除以4余1）的条件，最终选出最大的符合要求的数即可。
【解析】
第一步：转化条件
由题意得：总人数除以5余2，即总人数=5的倍数-3；总人数除以6余3，即总人数=6的倍数-3；总人数除以4余$4-3=1$，即总人数除以4余数为1。
第二步：计算5和6的公倍数
5和6互质，最小公倍数为$5×6=30$，200以内5和6的公倍数有：30、60、90、120、150、180。
第三步：列出符合前两个条件的可能人数
对应总人数可能为：$30-3=27$，$60-3=57$，$90-3=87$，$120-3=117$，$150-3=147$，$180-3=177$。
第四步：验证第三个条件，筛选最大数
分别除以4求余数：
$27÷4=6······3$，不符合题意；
$57÷4=14······1$，符合题意；
$87÷4=21······3$，不符合题意；
$117÷4=29······1$，符合题意；
$147÷4=36······3$，不符合题意；
$177÷4=44······1$，符合题意。
符合条件的数中最大的是177。
【答案】
177人
【知识点】
1. 公倍数的应用
2. 有余数的除法
【点评】
本题是结合生活实际的余数探究题，解题核心是将不同的余数表述进行等价转化，先通过公倍数确定符合部分条件的候选数，再逐一验证剩余条件筛选结果，能有效考查逻辑转化能力和有序分析问题的能力。
【难度系数】
0.6
9 生活与数学.
（1）如图①，小明在某月的月历上框出$2×2$个数，正方形框内的四个数的和是32，那么左上角的数是
（2）如图②，小丽也在（1）中的月历上框出$2×2$个数，斜框内的四个数的和是42，则它们分别是
（3）如图③，小慧在月历上框出5个数，呈十字形，它们的和是50，则正中间的数是
（4）某月5个星期日对应的数的和是75，则这个月中最后一个星期日是
（5）如图④，若干个偶数按每行8个数排列.
① 图④中正方形框内的9个数的和与正中间的数的关系是
② 在图④中，用图⑤中的斜框框出9个数，且框内9个数的和为360，则斜框的正中间的数是
（1）如图①，小明在某月的月历上框出$2×2$个数，正方形框内的四个数的和是32，那么左上角的数是
4
.（2）如图②，小丽也在（1）中的月历上框出$2×2$个数，斜框内的四个数的和是42，则它们分别是
7,8,13,14
.（3）如图③，小慧在月历上框出5个数，呈十字形，它们的和是50，则正中间的数是
10
.（4）某月5个星期日对应的数的和是75，则这个月中最后一个星期日是
29
号.（5）如图④，若干个偶数按每行8个数排列.
① 图④中正方形框内的9个数的和与正中间的数的关系是
9个数的和是正中间的数的9倍
；② 在图④中，用图⑤中的斜框框出9个数，且框内9个数的和为360，则斜框的正中间的数是
40
.答案
9. (1) 4 (2) 7,8,13,14 (3) 10 (4) 29 (5) ① 9个数的和是正中间的数的9倍 ② 40
解析
【分析】
本题属于数表规律与一元一次方程结合的应用类问题，解题思路可分为两步：第一步先明确数表的数字规律：月历中同一行相邻数相差1，同一列相邻数相差7；偶数排列数表中同一行相邻偶数相差2，同一列相邻偶数相差16；第二步设目标数为未知数，根据规律用含未知数的式子表示其他关联数，再结合题目给出的和的条件列方程求解即可。
【解析】
(1) 设左上角的数为$x$，则其余三个数分别为$x+1$、$x+7$、$x+8$。
根据四个数的和是32，列方程：
$x+(x+1)+(x+7)+(x+8)=32$
化简得$4x+16=32$，解得$x=4$。
(2) 设斜框左上角的数为$x$，则其余三个数分别为$x+1$、$x+6$、$x+7$。
根据四个数的和是42，列方程：
$x+(x+1)+(x+6)+(x+7)=42$
化简得$4x+14=42$，解得$x=7$，因此四个数分别为7、8、13、14。
(3) 设十字形正中间的数为$x$，则其余四个数分别为$x-7$、$x-1$、$x+1$、$x+7$。
根据五个数的和是50，列方程：
$(x-7)+(x-1)+x+(x+1)+(x+7)=50$
化简得$5x=50$，解得$x=10$。
(4) 设5个星期日对应的正中间的数为$x$，则其余四个星期日的数分别为$x-14$、$x-7$、$x+7$、$x+14$。
根据5个数的和是75，列方程：
$(x-14)+(x-7)+x+(x+7)+(x+14)=75$
化简得$5x=75$，解得$x=15$，因此最后一个星期日是$15+14=29$号。
(5) ① 计算框内9个数的和：$2+4+6+18+20+22+34+36+38=180$，中间数为20，$180÷20=9$，因此9个数的和是正中间的数的9倍。
② 设斜框正中间的数为$x$，根据①的规律，9个数的和为$9x$，列方程：
$9x=360$，解得$x=40$。
【答案】
(1) 4 (2) 7,8,13,14 (3) 10 (4) 29 (5) ① 9个数的和是正中间的数的9倍 ② 40
【知识点】
数表规律探究，一元一次方程的应用，数字关系归纳
【点评】
本题结合生活中的月历和偶数排列数表设置问题，核心考查规律观察能力和方程思想的应用，只要准确找出数表中数字的差量规律，就能快速设未知数列方程求解，属于规律类基础题。
【难度系数】
0.7
本题属于数表规律与一元一次方程结合的应用类问题，解题思路可分为两步：第一步先明确数表的数字规律：月历中同一行相邻数相差1，同一列相邻数相差7；偶数排列数表中同一行相邻偶数相差2，同一列相邻偶数相差16；第二步设目标数为未知数，根据规律用含未知数的式子表示其他关联数，再结合题目给出的和的条件列方程求解即可。
【解析】
(1) 设左上角的数为$x$，则其余三个数分别为$x+1$、$x+7$、$x+8$。
根据四个数的和是32，列方程：
$x+(x+1)+(x+7)+(x+8)=32$
化简得$4x+16=32$，解得$x=4$。
(2) 设斜框左上角的数为$x$，则其余三个数分别为$x+1$、$x+6$、$x+7$。
根据四个数的和是42，列方程：
$x+(x+1)+(x+6)+(x+7)=42$
化简得$4x+14=42$，解得$x=7$，因此四个数分别为7、8、13、14。
(3) 设十字形正中间的数为$x$，则其余四个数分别为$x-7$、$x-1$、$x+1$、$x+7$。
根据五个数的和是50，列方程：
$(x-7)+(x-1)+x+(x+1)+(x+7)=50$
化简得$5x=50$，解得$x=10$。
(4) 设5个星期日对应的正中间的数为$x$，则其余四个星期日的数分别为$x-14$、$x-7$、$x+7$、$x+14$。
根据5个数的和是75，列方程：
$(x-14)+(x-7)+x+(x+7)+(x+14)=75$
化简得$5x=75$，解得$x=15$，因此最后一个星期日是$15+14=29$号。
(5) ① 计算框内9个数的和：$2+4+6+18+20+22+34+36+38=180$，中间数为20，$180÷20=9$，因此9个数的和是正中间的数的9倍。
② 设斜框正中间的数为$x$，根据①的规律，9个数的和为$9x$，列方程：
$9x=360$，解得$x=40$。
【答案】
(1) 4 (2) 7,8,13,14 (3) 10 (4) 29 (5) ① 9个数的和是正中间的数的9倍 ② 40
【知识点】
数表规律探究，一元一次方程的应用，数字关系归纳
【点评】
本题结合生活中的月历和偶数排列数表设置问题，核心考查规律观察能力和方程思想的应用，只要准确找出数表中数字的差量规律，就能快速设未知数列方程求解，属于规律类基础题。
【难度系数】
0.7
