7.(2025·泸州)如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,BD为$\odot O$的直径.若$AB=AC,∠ACB=70^{\circ },$则$∠CBD=$ ()

A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$

7.B

8.如图,半径为10的$\odot A$中,弦$BC,ED$所对的圆心角分别是$∠ BAC,∠ EAD$.已知$DE=12$,$∠ BAC+∠ EAD=180°$,则弦$BC$的长为________.

8.16

9.(2025·秦淮区二模)如图,AB是$\odot O$的直径,弦$CD⊥AB$,点E在$\overset{\frown}{AD}$上.若$∠AEC=\frac{3}{2}∠E$,则$\overset{\frown}{CD}$的度数为.

9.$144°$

10.如图,矩形ABCD的宽为10,长为12,E是矩形内的动点,AE⊥BE,则CE长的最小值为.

10.8

11. 如图，AB为$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，连接BC并延长至点D，使$CD=BC$，连接DA并延长交$\odot O$于点E，连接AC，CE.
(1)求证:$∠ E=∠ D$；
(2)若$AB=5$，$BC-AC=1$，求CE的长.

11.(1)证明:
∵AB是直径,
∴$AC⊥BD$.
∵$CD=BC$,
∴$AD=AB$,
∴$∠D=∠B$.
∵$∠E=∠B$,
∴$∠E=∠D$.
(2)解:
∵$BC-AC=1$,
∴$BC=AC+1$.
在$Rt△ABC$中,$AC^2+BC^2=AB^2$,
∴$AC^2+(AC+1)^2=25$,解得$AC=3$(负值舍去),
∴$BC=4$,
∴$DC=BC=4$.
∵$∠D=∠E$,
∴$CE=CD=4$.

12. 如图,以 AB 为直径的$\odot O$经过$△ ABC$的顶点 C,AE,BE 分别平分$∠ BAC$和$∠ ABC$,AE 的延长线交$\odot O$于点 D,连接 BD.
(1)判断$△ BDE$的形状,并证明你的结论;
(2)若$AB=10,BE=\sqrt{10}$,求 BC 的长.

第 12 题图

12.解:(1)$△BDE$为等腰直角三角形.
证明:
∵AE平分$∠BAC$,BE平分$∠ABC$,
∴$∠BAE=∠CAD=∠CBD$,$∠ABE=∠EBC$.
∵$∠BED = ∠BAE + ∠ABE$, $∠DBE = ∠DBC + ∠CBE$,
∴$∠BED=∠DBE$,
∴$BD=ED$.
∵AB为直径,
∴$∠ADB=90°$,
∴$△BDE$为等腰直角三角形.
(2)如答图,连接OC,CD,OD,OD交BC于点F.

第12题答图
∵$∠DBC=∠CAD=∠BAD=∠BCD$,
∴$BD=DC$.
∵$OB=OC$,
∴OD垂直平分BC.
∵$△BDE$是等腰直角三角形,$BE=\sqrt{10}$,
∴$BD=\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{10}=\sqrt{5}$.
∵$AB=10$,
∴$OB=OD=5$.
设$OF=t$,则$DF=5-t$.
在$Rt△BOF$和$Rt△BDF$中,$5^2-t^2=(\sqrt{5})^2-(5-t)^2$,
解得$t=4.5$,
∴$BF=\sqrt{5^2-4.5^2}=\frac{\sqrt{19}}{2}$,
∴$BC=2BF=\sqrt{19}$.