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1 [2025云南]若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为$90°$，母线长为40 cm，则该圆锥的底面圆的半径为（
A.9 cm
B.10 cm
C.11 cm
D.12 cm
B
）A.9 cm
B.10 cm
C.11 cm
D.12 cm
答案
1. B
解析
【分析】
解题的核心是明确圆锥和其侧面展开扇形的对应等量关系：圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。解题时先利用弧长公式算出展开扇形的弧长，再结合圆的周长公式列方程，即可求出底面圆的半径。
【解析】
设该圆锥底面圆的半径为$ r $ cm。
由题意可知，圆锥侧面展开扇形的半径等于母线长，即$ R=40\ \mathrm{cm} $，扇形圆心角$ n=90° $。
根据扇形弧长公式，可得扇形弧长：
$ l=\frac{nπ R}{180}=\frac{90π×40}{180}=20π\ \mathrm{cm} $
因为圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，底面圆周长$ C=2π r $，因此列方程：
$ 2π r=20π $
两边同时除以$ 2π $，解得$ r=10 $。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧展性质、弧长计算、圆的周长
【点评】
本题是圆锥相关的基础常考题，核心考察圆锥侧面展开图和底面圆的关联，掌握对应等量关系和基础公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题的核心是明确圆锥和其侧面展开扇形的对应等量关系：圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。解题时先利用弧长公式算出展开扇形的弧长，再结合圆的周长公式列方程，即可求出底面圆的半径。
【解析】
设该圆锥底面圆的半径为$ r $ cm。
由题意可知，圆锥侧面展开扇形的半径等于母线长，即$ R=40\ \mathrm{cm} $，扇形圆心角$ n=90° $。
根据扇形弧长公式，可得扇形弧长：
$ l=\frac{nπ R}{180}=\frac{90π×40}{180}=20π\ \mathrm{cm} $
因为圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，底面圆周长$ C=2π r $，因此列方程：
$ 2π r=20π $
两边同时除以$ 2π $，解得$ r=10 $。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧展性质、弧长计算、圆的周长
【点评】
本题是圆锥相关的基础常考题，核心考察圆锥侧面展开图和底面圆的关联，掌握对应等量关系和基础公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2 如图,在 Rt△ABC 中,AC=5 cm,BC=12 cm,∠ACB=90°.把 Rt△ABC 沿 BC 所在的直线旋转一周得到一个几何体,则这个几何体的侧面积为 （
A.$60π\ \mathrm{cm}^2$
B.$65π\ \mathrm{cm}^2$
C.$120π\ \mathrm{cm}^2$
D.$130π\ \mathrm{cm}^2$
（第2题）
B
）A.$60π\ \mathrm{cm}^2$
B.$65π\ \mathrm{cm}^2$
C.$120π\ \mathrm{cm}^2$
D.$130π\ \mathrm{cm}^2$
（第2题）答案
2. B
解析
【分析】
解题时首先判断旋转后得到的几何体是圆锥：Rt△ABC绕BC所在直线旋转时，BC为圆锥的高，AC为圆锥的底面半径，斜边AB为圆锥的母线。解题步骤为：第一步用勾股定理计算斜边AB的长度，第二步明确圆锥侧面积计算公式，第三步代入对应数值计算即可得到结果。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13\mathrm{cm}$
将Rt△ABC沿BC所在直线旋转一周得到圆锥，该圆锥的底面半径$r=AC=5\mathrm{cm}$，母线长$l=AB=13\mathrm{cm}$。
根据圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，代入数值计算得：
$S_{\mathrm{侧}}=π×5×13=65π\ \mathrm{cm^2}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；圆锥的认识；圆锥侧面积计算
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是准确对应旋转后圆锥的各参数与原直角三角形边长的关系，牢记圆锥侧面积公式就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先判断旋转后得到的几何体是圆锥：Rt△ABC绕BC所在直线旋转时，BC为圆锥的高，AC为圆锥的底面半径，斜边AB为圆锥的母线。解题步骤为：第一步用勾股定理计算斜边AB的长度，第二步明确圆锥侧面积计算公式，第三步代入对应数值计算即可得到结果。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13\mathrm{cm}$
将Rt△ABC沿BC所在直线旋转一周得到圆锥，该圆锥的底面半径$r=AC=5\mathrm{cm}$，母线长$l=AB=13\mathrm{cm}$。
根据圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，代入数值计算得：
$S_{\mathrm{侧}}=π×5×13=65π\ \mathrm{cm^2}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；圆锥的认识；圆锥侧面积计算
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是准确对应旋转后圆锥的各参数与原直角三角形边长的关系，牢记圆锥侧面积公式就能快速求解。
【难度系数】
0.7
3 已知一个圆锥的侧面展开图是一个扇形，圆锥的底面圆半径为2，则扇形的弧长是
4π
。答案
3. 4π
解析
【分析】
解题时首先要明确圆锥侧面展开图的对应关系：圆锥侧面展开得到的扇形的弧长与圆锥底面圆的周长是相等的。题目已经给出圆锥底面圆的半径，我们只需要利用圆的周长公式计算出底面圆的周长，即可得到扇形的弧长。
【解析】
根据圆锥的性质可知，圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长。
已知圆锥底面圆半径$r=2$，根据圆的周长公式$C=2π r$，代入数值计算：
$C=2π×2=4π$
因此扇形的弧长为$4π$。
【答案】
4π
【知识点】
圆锥侧面展开图性质；圆的周长计算
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是明确圆锥侧面展开后扇形弧长和底面周长的等量关系，记住对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确圆锥侧面展开图的对应关系：圆锥侧面展开得到的扇形的弧长与圆锥底面圆的周长是相等的。题目已经给出圆锥底面圆的半径，我们只需要利用圆的周长公式计算出底面圆的周长，即可得到扇形的弧长。
【解析】
根据圆锥的性质可知，圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长。
已知圆锥底面圆半径$r=2$，根据圆的周长公式$C=2π r$，代入数值计算：
$C=2π×2=4π$
因此扇形的弧长为$4π$。
【答案】
4π
【知识点】
圆锥侧面展开图性质；圆的周长计算
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是明确圆锥侧面展开后扇形弧长和底面周长的等量关系，记住对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.9
4（1）[2025潍坊]如图，圆锥的底面圆心为O，顶点为A，母线l长为4，母线l与高AO的夹角为30°，那么圆锥侧面展开图的面积为
（2）[2024徐州]将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为4π cm²，圆心角θ为90°，圆锥的底面圆的半径为
8π
；（2）[2024徐州]将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为4π cm²，圆心角θ为90°，圆锥的底面圆的半径为
1
cm。答案
4. (1) 8π (2) 1
解析
【分析】
（1）要计算圆锥侧面展开图的面积，首先回忆圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π rl$（其中$r$是底面圆半径，$l$是母线长）。本题已知母线长$l=4$，只需求出底面半径$r$即可：圆锥的高、底面半径、母线可构成直角三角形，已知母线与高的夹角为30°，30°角对的直角边为底面半径，长度为母线长的一半，据此求出$r$后代入公式计算即可。
（2）要求圆锥底面圆的半径，核心利用“圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长”这一关系。首先根据已知的扇形面积和圆心角，通过扇形面积公式求出母线长，再计算扇形的弧长，最后令弧长等于底面圆周长，即可解出底面半径。
【解析】
（1）在由圆锥的高$AO$、底面半径$OB$、母线$AB$构成的直角三角形中，$∠ OAB=30°$，母线$AB=l=4$，因此底面半径：
$r = AB·\sin30° = 4×\frac{1}{2}=2$
代入圆锥侧面积公式得：
$S_{侧}=π rl=π×2×4=8π$
（2）设圆锥母线长为$R$，底面圆半径为$r$。
根据扇形面积公式$S=\frac{θ}{360°}·π R^2$，代入$S=4π$、$θ=90°$得：
$4π=\frac{90°}{360°}·π R^2$
化简得$R^2=16$，取正值得$R=4$。
侧面展开扇形的弧长为：
$L=\frac{θ}{360°}·2π R=\frac{90°}{360°}×2π×4=2π$
根据扇形弧长等于底面圆周长，即$2π r=L$，代入得：
$2π r=2π$，解得$r=1$。
【答案】
(1) $8π$；(2) $1$
【知识点】
圆锥侧面积计算，圆锥与展开图的对应关系，直角三角形的性质
【点评】
这两道题是圆锥侧面积相关的基础题，解题关键是掌握圆锥和侧面展开扇形的等量关系，结合扇形、圆的相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
（1）要计算圆锥侧面展开图的面积，首先回忆圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π rl$（其中$r$是底面圆半径，$l$是母线长）。本题已知母线长$l=4$，只需求出底面半径$r$即可：圆锥的高、底面半径、母线可构成直角三角形，已知母线与高的夹角为30°，30°角对的直角边为底面半径，长度为母线长的一半，据此求出$r$后代入公式计算即可。
（2）要求圆锥底面圆的半径，核心利用“圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长”这一关系。首先根据已知的扇形面积和圆心角，通过扇形面积公式求出母线长，再计算扇形的弧长，最后令弧长等于底面圆周长，即可解出底面半径。
【解析】
（1）在由圆锥的高$AO$、底面半径$OB$、母线$AB$构成的直角三角形中，$∠ OAB=30°$，母线$AB=l=4$，因此底面半径：
$r = AB·\sin30° = 4×\frac{1}{2}=2$
代入圆锥侧面积公式得：
$S_{侧}=π rl=π×2×4=8π$
（2）设圆锥母线长为$R$，底面圆半径为$r$。
根据扇形面积公式$S=\frac{θ}{360°}·π R^2$，代入$S=4π$、$θ=90°$得：
$4π=\frac{90°}{360°}·π R^2$
化简得$R^2=16$，取正值得$R=4$。
侧面展开扇形的弧长为：
$L=\frac{θ}{360°}·2π R=\frac{90°}{360°}×2π×4=2π$
根据扇形弧长等于底面圆周长，即$2π r=L$，代入得：
$2π r=2π$，解得$r=1$。
【答案】
(1) $8π$；(2) $1$
【知识点】
圆锥侧面积计算，圆锥与展开图的对应关系，直角三角形的性质
【点评】
这两道题是圆锥侧面积相关的基础题，解题关键是掌握圆锥和侧面展开扇形的等量关系，结合扇形、圆的相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5 [2025 吴江区段考]如图，在半径为3 dm的圆形纸片中，剪出一个圆心角为$60°$的扇形（图中的涂色部分）。
（1）求这个扇形的半径；
（2）若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆半径。
（第5题）
（1）求这个扇形的半径；
（2）若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆半径。
（第5题）答案
5. (1) 如图,连接 BC,OB,OC,过点 O 作 OD ⊥ BC,垂足为 D,
∵ ∠BAC=60°,OB=OC=3 dm,AB=AC,
∴ △ABC 是等边三角形,∠BOC=120°,
∴ ∠OBC=∠OCB=$\frac{1}{2}×(180°-∠BOC)=30°$.
∵ OD ⊥ BC,
∴ ∠ODB=90°.
∵ ∠OBD=30°,
∴ OD=$\frac{1}{2}BO=\frac{3}{2}$ dm. 在 Rt △BOD 中, BD=$\sqrt{BO^2-OD^2}=\sqrt{3^2-(\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$(dm).
∵ BO=OC, OD ⊥ BC,
∴ BC=2BD=$2×\frac{3\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$(dm).
∵ △ABC 是等边三角形,
∴ AB=BC=AC=$3\sqrt{3}$ dm，
∴ 这个扇形的半径为$3\sqrt{3}$ dm
(2) 设圆锥底面圆的半径为 r dm.根据题意,得$\frac{60×π×3\sqrt{3}}{180}=2πr$,解得 $r=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴ 所围成圆锥的底面圆半径为$\frac{\sqrt{3}}{2}$ dm
解析
【分析】
（1）要求扇形的半径即AB的长度，已知∠BAC=60°且AB=AC，可推出△ABC是等边三角形，因此求出BC的长度即可得到AB的长。我们可以连接OB、OC，根据圆周角定理得到圆心角∠BOC的度数，再过O作OD垂直BC，利用等腰三角形三线合一、直角三角形的性质和勾股定理求出BC的长度，进而得到扇形半径。
（2）圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，因此先求出扇形的弧长，再根据圆的周长公式列方程即可求解底面半径。
【解析】
(1) 如图，连接BC，OB，OC，过点O作OD ⊥ BC，垂足为D，
∵ ∠BAC=60°，OB=OC=3 dm，AB=AC，
∴ △ABC 是等边三角形，∠BOC=2∠BAC=120°，
∴ ∠OBC=∠OCB=$\frac{1}{2}×(180°-∠BOC)=30°$.
∵ OD ⊥ BC，
∴ ∠ODB=90°.
∵ ∠OBD=30°，
∴ OD=$\frac{1}{2}BO=\frac{3}{2}$ dm.
在 Rt △BOD 中, 由勾股定理得：BD=$\sqrt{BO^2-OD^2}=\sqrt{3^2-(\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$(dm).
∵ BO=OC，OD ⊥ BC，
∴ BC=2BD=$2×\frac{3\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$(dm).
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ AB=BC=AC=$3\sqrt{3}$ dm，
∴ 这个扇形的半径为$3\sqrt{3}$ dm。
(2) 设圆锥底面圆的半径为 r dm。
扇形的弧长公式为$l=\frac{nπR}{180}$（n为圆心角度数，R为扇形半径），圆锥底面圆周长为$2πr$，根据扇形弧长等于圆锥底面周长，得：
$\frac{60×π×3\sqrt{3}}{180}=2πr$，
解得 $r=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ 所围成圆锥的底面圆半径为$\frac{\sqrt{3}}{2}$ dm。
【答案】
(1) 这个扇形的半径为$3\sqrt{3}$ dm；
(2) 所围成圆锥的底面圆半径为$\frac{\sqrt{3}}{2}$ dm。
【知识点】
圆周角定理，等边三角形性质，圆锥侧面展开计算
【点评】
本题结合了圆的性质和圆锥的计算，解题关键是合理添加辅助线求出BC的长度，同时牢记扇形弧长和圆锥底面周长的等量关系，侧重考察基础公式的应用和几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
（1）要求扇形的半径即AB的长度，已知∠BAC=60°且AB=AC，可推出△ABC是等边三角形，因此求出BC的长度即可得到AB的长。我们可以连接OB、OC，根据圆周角定理得到圆心角∠BOC的度数，再过O作OD垂直BC，利用等腰三角形三线合一、直角三角形的性质和勾股定理求出BC的长度，进而得到扇形半径。
（2）圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，因此先求出扇形的弧长，再根据圆的周长公式列方程即可求解底面半径。
【解析】
(1) 如图，连接BC，OB，OC，过点O作OD ⊥ BC，垂足为D，
∵ ∠BAC=60°，OB=OC=3 dm，AB=AC，
∴ △ABC 是等边三角形，∠BOC=2∠BAC=120°，
∴ ∠OBC=∠OCB=$\frac{1}{2}×(180°-∠BOC)=30°$.
∵ OD ⊥ BC，
∴ ∠ODB=90°.
∵ ∠OBD=30°，
∴ OD=$\frac{1}{2}BO=\frac{3}{2}$ dm.
在 Rt △BOD 中, 由勾股定理得：BD=$\sqrt{BO^2-OD^2}=\sqrt{3^2-(\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$(dm).
∵ BO=OC，OD ⊥ BC，
∴ BC=2BD=$2×\frac{3\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$(dm).
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ AB=BC=AC=$3\sqrt{3}$ dm，
∴ 这个扇形的半径为$3\sqrt{3}$ dm。
(2) 设圆锥底面圆的半径为 r dm。
扇形的弧长公式为$l=\frac{nπR}{180}$（n为圆心角度数，R为扇形半径），圆锥底面圆周长为$2πr$，根据扇形弧长等于圆锥底面周长，得：
$\frac{60×π×3\sqrt{3}}{180}=2πr$，
解得 $r=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ 所围成圆锥的底面圆半径为$\frac{\sqrt{3}}{2}$ dm。
【答案】
(1) 这个扇形的半径为$3\sqrt{3}$ dm；
(2) 所围成圆锥的底面圆半径为$\frac{\sqrt{3}}{2}$ dm。
【知识点】
圆周角定理，等边三角形性质，圆锥侧面展开计算
【点评】
本题结合了圆的性质和圆锥的计算，解题关键是合理添加辅助线求出BC的长度，同时牢记扇形弧长和圆锥底面周长的等量关系，侧重考察基础公式的应用和几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
6 从一张圆形纸片上剪出一个小圆形和一个扇形分别作为圆锥的底面和侧面，其中小圆的直径是大圆的半径. 下列剪法恰好能配成一个圆锥的是 （
D
）答案
6. D
解析
【分析】
要判断哪种剪法能配成圆锥，核心依据是圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。首先设大圆半径，结合小圆直径与大圆半径的关系求出底面小圆的周长，再根据扇形弧长公式列等式求出扇形需要的圆心角度数，最后和选项对比即可得出答案。
【解析】
设大圆的半径为$R$。
已知小圆的直径是大圆的半径，因此小圆的半径$r=\frac{R}{2}$，则圆锥底面小圆的周长为：
$C_{\mathrm{底}}=2π r=2π×\frac{R}{2}=π R$
作为圆锥侧面的扇形半径等于大圆半径$R$，设扇形的圆心角为$n°$，根据扇形弧长公式，扇形弧长为：
$L_{\mathrm{弧}}=\frac{nπ R}{180}$
要配成圆锥，需满足扇形弧长等于底面圆周长，即：
$\frac{nπ R}{180}=π R$
两边同时约去$π R$（$R≠0$），解得$n=180$，即扇形圆心角为$180°$时恰好能配成圆锥，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
圆锥展开特征，扇形弧长公式，圆的周长公式
【点评】
本题是圆锥相关的基础常考题，解题关键是抓住“侧面展开扇形的弧长等于底面圆周长”这一核心等量关系，结合对应公式计算即可，能很好地考查对圆锥展开图性质的理解。
【难度系数】
0.7
要判断哪种剪法能配成圆锥，核心依据是圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。首先设大圆半径，结合小圆直径与大圆半径的关系求出底面小圆的周长，再根据扇形弧长公式列等式求出扇形需要的圆心角度数，最后和选项对比即可得出答案。
【解析】
设大圆的半径为$R$。
已知小圆的直径是大圆的半径，因此小圆的半径$r=\frac{R}{2}$，则圆锥底面小圆的周长为：
$C_{\mathrm{底}}=2π r=2π×\frac{R}{2}=π R$
作为圆锥侧面的扇形半径等于大圆半径$R$，设扇形的圆心角为$n°$，根据扇形弧长公式，扇形弧长为：
$L_{\mathrm{弧}}=\frac{nπ R}{180}$
要配成圆锥，需满足扇形弧长等于底面圆周长，即：
$\frac{nπ R}{180}=π R$
两边同时约去$π R$（$R≠0$），解得$n=180$，即扇形圆心角为$180°$时恰好能配成圆锥，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
圆锥展开特征，扇形弧长公式，圆的周长公式
【点评】
本题是圆锥相关的基础常考题，解题关键是抓住“侧面展开扇形的弧长等于底面圆周长”这一核心等量关系，结合对应公式计算即可，能很好地考查对圆锥展开图性质的理解。
【难度系数】
0.7
