18.（2024·长沙）如图，点C在线段AD上，AB=AD，∠B=∠D，BC=DE.
（1）求证：$△ ABC ≌ △ ADE$；
（2）若$∠ BAC=60°$，求$∠ ACE$的度数.

18. (1) 证 明： 在 $△ ABC$ 和 $△ ADE$ 中,
$\{\begin{array}{l}BC=DE, \\∠B=∠D, \\AB=AD,\end{array} \therefore △ ABC ≌ △ ADE(\mathrm{SAS}).$
(2) 解:由(1)得$△ ABC ≌ △ ADE$. $\therefore AC=AE,∠BAC=∠DAE=60°,\therefore ∠AEC=∠ACE,\because ∠AEC+∠ACE=2∠ACE=180°-∠DAE=120°,\therefore ∠ACE=60°.$
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19. (2023·长沙)如图，AB=AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E。求证：△ABE≌△ACD。

19. $\because CD ⊥ AB,\ BE ⊥ AC,\therefore ∠AEB=∠ADC=90°$. 在$△ ABE$ 和$△ ACD$ 中,
$\{\begin{array}{l}∠AEB=∠ADC, \\∠BAE=∠CAD, \\AB=AC,\end{array} \therefore △ ABE ≌ △ ACD \ (\mathrm{AAS}).$
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20. (2023·大连)如图,在△ABC和△ADE中,延长BC交DE于F.BC=DE,AC=AE,∠ACF+∠AED=180°.求证:AB=AD.

20. $\because ∠ACB+∠ACF=∠ACF+∠AED=180°,\therefore ∠ACB = ∠AED$. 在 $△ ABC$ 和 $△ ADE$ 中,
$\{\begin{array}{l}BC=DE, \\∠ACB=∠AED, \\AC=AE,\end{array} \therefore △ ABC ≌ △ ADE \ (\mathrm{SAS}),\therefore AB=AD.$
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21. (2024·南充)如图,在△ABC中,点D为BC边的中点,过点B作BE//AC交AD的延长线于点E.
(1) 求证:△BDE≌△CDA.
(2) 若AD⊥BC,求证:BA=BE.

21. (1) 证明:$\because$ 点 D 为 BC 的中点,$\therefore BD=CD,\because BE// AC,\therefore ∠EBD=∠C,∠E=∠CAD$, 在$△ BDE$ 和$△ CDA$ 中, $\{\begin{array}{l}∠EBD=∠C, \\∠E=∠CAD, \\BD=CD,\end{array} $
$\therefore △ BDE ≌ △ CDA(\mathrm{AAS})$；
(2) 证明:$\because$ 点 D 为BC 的中点,$AD⊥ BC,\therefore$ 直线 AD 为线段 BC 的垂直平分线,$\therefore BA=CA$,由(1)可知:$△ BDE ≌ △ CDA$,$\therefore BE = CA,\therefore BA = BE.$
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