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1. 下列化简正确的是()
A.$\sqrt{6} ÷ \sqrt{3} = \sqrt{2}$
B.$\sqrt{(-2)^2} = -2$
C.$(\sqrt{5})^2 = 25$
D.$\sqrt{16} = \pm4$
A.$\sqrt{6} ÷ \sqrt{3} = \sqrt{2}$
B.$\sqrt{(-2)^2} = -2$
C.$(\sqrt{5})^2 = 25$
D.$\sqrt{16} = \pm4$
答案
A
解析
根据二次根式的运算法则逐一验证选项：
1. 选项A：$\sqrt{6}÷\sqrt{3}=\sqrt{6÷3}=\sqrt{2}$，计算正确；
2. 选项B：$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$，不等于$-2$，错误；
3. 选项C：$(\sqrt{5})^2=5$，不等于$25$，错误；
4. 选项D：$\sqrt{16}$是16的算术平方根，结果为$4$，不等于$\pm4$，错误。
1. 选项A：$\sqrt{6}÷\sqrt{3}=\sqrt{6÷3}=\sqrt{2}$，计算正确；
2. 选项B：$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$，不等于$-2$，错误；
3. 选项C：$(\sqrt{5})^2=5$，不等于$25$，错误；
4. 选项D：$\sqrt{16}$是16的算术平方根，结果为$4$，不等于$\pm4$，错误。
2. 在$□ ABCD$中，$∠ A + ∠ C = 130°$，则$∠ D$的度数是（）
A.$50°$
B.$65°$
C.$115°$
D.$130°$
A.$50°$
B.$65°$
C.$115°$
D.$130°$
答案
C
解析
根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，可得∠A=∠C。已知∠A+∠C=130°，因此∠A=130°÷2=65°。再由平行四边形邻角互补，即∠A+∠D=180°，计算得∠D=180°-65°=115°。
3. 从我校4月30日的春季运动会中，抽取了甲、乙、丙3位同学的跳远成绩进行分析，这3位同学三次跳远平均成绩大致相同，他们的方差分别是$s^2_{甲}=2.5$，$s^2_{乙}=1.0$，$s^2_{丙}=4.5$，则这3位同学三次跳远成绩发挥最稳定的是()
A.甲
B.乙
C.丙
D.无法确定
A.甲
B.乙
C.丙
D.无法确定
答案
B
解析
方差是衡量数据波动大小的统计量，方差越小，数据的波动越小，成绩发挥越稳定。对比三人的方差可得：$s^2_乙=1.0 ＜ s^2_甲=2.5 ＜ s^2_丙=4.5$，乙的方差最小，因此乙的跳远成绩发挥最稳定。
4. 估算$\sqrt{5} × (2\sqrt{5} + \sqrt{6})$的结果应在（）
A.13 和 14 之间
B.14 和 15 之间
C.15 和 16 之间
D.25 和 26 之间
A.13 和 14 之间
B.14 和 15 之间
C.15 和 16 之间
D.25 和 26 之间
答案
C
解析
先利用二次根式乘法运算法则展开化简原式：
$\sqrt{5} × (2\sqrt{5} + \sqrt{6}) = \sqrt{5} × 2\sqrt{5} + \sqrt{5} × \sqrt{6} = 10 + \sqrt{30}$
再估算$\sqrt{30}$的范围：
因为$5^2=25$，$5.5^2=30.25$，所以$5 ＜ \sqrt{30} ＜ 5.5$，因此$10+5 ＜ 10+\sqrt{30} ＜ 10+5.5$，即$15 ＜ $原式结果$＜15.5$，可知结果在15和16之间。
$\sqrt{5} × (2\sqrt{5} + \sqrt{6}) = \sqrt{5} × 2\sqrt{5} + \sqrt{5} × \sqrt{6} = 10 + \sqrt{30}$
再估算$\sqrt{30}$的范围：
因为$5^2=25$，$5.5^2=30.25$，所以$5 ＜ \sqrt{30} ＜ 5.5$，因此$10+5 ＜ 10+\sqrt{30} ＜ 10+5.5$，即$15 ＜ $原式结果$＜15.5$，可知结果在15和16之间。
5. 计算：$\sqrt{9}+(π-3.14)^0=$.
答案
解：
$\sqrt{9}+(π-3.14)^0$
$=3+1$
$=4$
$\sqrt{9}+(π-3.14)^0$
$=3+1$
$=4$
6. 学校举行篮球技能大赛,评委从控球技能、投球技能和防守技能三个方面为选手打分,三项成绩依次按40%,30%,30%的比例计入成绩.某个学生的技能成绩统计如下表：
则此学生的总成绩是.
则此学生的总成绩是.
答案
89.5
解析
解：
此学生的总成绩为：
$\begin{aligned}&85×40\% + 90×30\% + 95×30\%\\=&34 + 27 + 28.5\\=&89.5\end{aligned}$
此学生的总成绩为：
$\begin{aligned}&85×40\% + 90×30\% + 95×30\%\\=&34 + 27 + 28.5\\=&89.5\end{aligned}$
7. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,BD=8,BC=5,则菱形ABCD的面积是.
答案
$\boldsymbol{24}$
解析
解：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，OC=OA，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD。
∵ BD=8，
∴ OB=4。
在Rt△BOC中，BC=5，OB=4，由勾股定理得：
OC=$\sqrt{BC^2 - OB^2}$=$\sqrt{5^2 - 4^2}$=3，
∴ AC=2OC=6。
∴ 菱形ABCD的面积$S=\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×6×8=24$。
最终
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，OC=OA，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD。
∵ BD=8，
∴ OB=4。
在Rt△BOC中，BC=5，OB=4，由勾股定理得：
OC=$\sqrt{BC^2 - OB^2}$=$\sqrt{5^2 - 4^2}$=3，
∴ AC=2OC=6。
∴ 菱形ABCD的面积$S=\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×6×8=24$。
最终
8. 一次函数$y_1=ax+b(a≠0)$与$y_2=mx+n(m≠0)$的图象如图所示，则关于$x$的不等式$mx+n≥ax+b$的解集为。
答案
解：观察图象可知，两个一次函数图象的交点横坐标为1，
当$x ≤ 1$时，$y_2=mx+n$的函数值大于或等于$y_1=ax+b$的函数值，即满足$mx+n ≥ ax+b$。
所以不等式$mx+n ≥ ax+b$的解集为$\boldsymbol{x ≤ 1}$。
当$x ≤ 1$时，$y_2=mx+n$的函数值大于或等于$y_1=ax+b$的函数值，即满足$mx+n ≥ ax+b$。
所以不等式$mx+n ≥ ax+b$的解集为$\boldsymbol{x ≤ 1}$。
9. 若关于$x$的一次函数$y=x+2a-5$的图象经过第二象限，且关于$y$的分式方程$\frac{y+a}{y-2}-\frac{2y-10}{2-y}=1$的解为非负整数，则所有满足条件的整数$a$的值之和为.
答案
$\boldsymbol{14}$
解析
解：
由一次函数$y=x+2a-5$的图象经过第二象限，
该函数斜率$k=1＞0$，因此函数与$y$轴的交点在正半轴，即$2a-5＞0$，
解得$a＞\frac{5}{2}$。
解分式方程$\frac{y+a}{y-2}-\frac{2y-10}{2-y}=1$：
方程变形为$\frac{y+a}{y-2}+\frac{2y-10}{y-2}=1$，
两边同乘$y-2$（$y≠2$）得：
$y+a+2y-10=y-2$，
整理得$2y=8-a$，
解得$y=\frac{8-a}{2}$。
由分式方程的解为非负整数：
1. 解非负：$\frac{8-a}{2}≥0$，解得$a≤8$；
2. 分母不为0：$y≠2$，即$\frac{8-a}{2}≠2$，解得$a≠4$；
3. $y$为整数，因此$8-a$为非负偶数。
结合$a＞\frac{5}{2}$、$a≤8$、$a≠4$，且$a$为整数，可得符合条件的整数$a$为6和8。
所有满足条件的整数$a$的值之和为$6+8=14$。
最终
由一次函数$y=x+2a-5$的图象经过第二象限，
该函数斜率$k=1＞0$，因此函数与$y$轴的交点在正半轴，即$2a-5＞0$，
解得$a＞\frac{5}{2}$。
解分式方程$\frac{y+a}{y-2}-\frac{2y-10}{2-y}=1$：
方程变形为$\frac{y+a}{y-2}+\frac{2y-10}{y-2}=1$，
两边同乘$y-2$（$y≠2$）得：
$y+a+2y-10=y-2$，
整理得$2y=8-a$，
解得$y=\frac{8-a}{2}$。
由分式方程的解为非负整数：
1. 解非负：$\frac{8-a}{2}≥0$，解得$a≤8$；
2. 分母不为0：$y≠2$，即$\frac{8-a}{2}≠2$，解得$a≠4$；
3. $y$为整数，因此$8-a$为非负偶数。
结合$a＞\frac{5}{2}$、$a≤8$、$a≠4$，且$a$为整数，可得符合条件的整数$a$为6和8。
所有满足条件的整数$a$的值之和为$6+8=14$。
最终
10. 如图，在四边形ABCD中，连接AC，BD相交于点O，点O为BD的中点，点E，F是BD上两点，BE=DF，且$AF// CE$。
(1)求证：$△ AOF ≌ △ COE$；
(2)如果$AC=2OD$，试判断四边形ABCD的形状，并证明。
(1)求证：$△ AOF ≌ △ COE$；
(2)如果$AC=2OD$，试判断四边形ABCD的形状，并证明。
答案
(1) 证明：
∵ 点O为BD的中点，
∴ $OB = OD$。
∵ $BE = DF$，
∴ $OD - DF = OB - BE$，即 $OF = OE$。
∵ $AF// CE$，
∴ $∠ AFO = ∠ CEO$。
在$△ AOF$和$△ COE$中：
$\begin{cases}∠ AFO = ∠ CEO \\OF = OE \\∠ AOF = ∠ COE\end{cases}$
∴ $△ AOF ≌ △ COE$（ASA）。
---
(2) 四边形ABCD是矩形，证明如下：
由$△ AOF ≌ △ COE$，可得 $AO = CO$。
∵ 点O为BD的中点，
∴ $BO = DO$，
∴ 四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∵ $BD = 2OD$，且已知 $AC = 2OD$，
∴ $BD = AC$，
∴ 平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
∵ 点O为BD的中点，
∴ $OB = OD$。
∵ $BE = DF$，
∴ $OD - DF = OB - BE$，即 $OF = OE$。
∵ $AF// CE$，
∴ $∠ AFO = ∠ CEO$。
在$△ AOF$和$△ COE$中：
$\begin{cases}∠ AFO = ∠ CEO \\OF = OE \\∠ AOF = ∠ COE\end{cases}$
∴ $△ AOF ≌ △ COE$（ASA）。
---
(2) 四边形ABCD是矩形，证明如下：
由$△ AOF ≌ △ COE$，可得 $AO = CO$。
∵ 点O为BD的中点，
∴ $BO = DO$，
∴ 四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∵ $BD = 2OD$，且已知 $AC = 2OD$，
∴ $BD = AC$，
∴ 平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
