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7. 为了解某班七年级男生的体能情况,随机抽取7名男生进行引体向上测试,测试成绩(单位:个,且均为整数)按从小到大排序为5,5,6,m,8,9,10,若这组数据的平均数小于这组数据的中位数,则这组数据的中位数为.
答案
解：
这组数据共有7个，按从小到大排序后，中位数为第4个数据，即$m$。
由排序规则可知，$6 ≤ m ≤ 8$，且$m$为整数。
这组数据的平均数为：
$\bar{x} = \frac{5+5+6+m+8+9+10}{7} = \frac{43+m}{7}$
根据题意，平均数小于中位数，列不等式：
$\frac{43+m}{7} ＜ m$
解得：
$43 + m ＜ 7m$
$6m ＞ 43$
$m ＞ \frac{43}{6} \approx 7.17$
结合$6 ≤ m ≤ 8$且$m$为整数，可得$m=8$。
即这组数据的中位数为$\boldsymbol{8}$。
这组数据共有7个，按从小到大排序后，中位数为第4个数据，即$m$。
由排序规则可知，$6 ≤ m ≤ 8$，且$m$为整数。
这组数据的平均数为：
$\bar{x} = \frac{5+5+6+m+8+9+10}{7} = \frac{43+m}{7}$
根据题意，平均数小于中位数，列不等式：
$\frac{43+m}{7} ＜ m$
解得：
$43 + m ＜ 7m$
$6m ＞ 43$
$m ＞ \frac{43}{6} \approx 7.17$
结合$6 ≤ m ≤ 8$且$m$为整数，可得$m=8$。
即这组数据的中位数为$\boldsymbol{8}$。
8. 一个样本为1,3,2,2,a,b,c. 已知这个样本的众数为3,平均数为2,那么这个样本的方差为.
答案
$\boldsymbol{\frac{8}{7}}$
解析
解：
∵ 样本共有7个数据，平均数为2
∴ 样本数据总和为 $7 × 2 = 14$
∴ $a + b + c = 14 - (1 + 3 + 2 + 2) = 6$
∵ 样本众数为3，现有数据中2已出现2次，3仅出现1次
∴ 3的出现次数最多，即a,b,c中有2个值为3
∴ a,b,c中剩余的数值为 $6 - 3 - 3 = 0$
∴ 样本方差为：
$\begin{aligned}S^2&=\frac{1}{7}[(1-2)^2 + (3-2)^2 + (2-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2 + (3-2)^2 + (0-2)^2]\\&=\frac{1}{7}×(1 + 1 + 0 + 0 + 1 + 1 + 4)\\&=\frac{8}{7}\end{aligned}$
最终
∵ 样本共有7个数据，平均数为2
∴ 样本数据总和为 $7 × 2 = 14$
∴ $a + b + c = 14 - (1 + 3 + 2 + 2) = 6$
∵ 样本众数为3，现有数据中2已出现2次，3仅出现1次
∴ 3的出现次数最多，即a,b,c中有2个值为3
∴ a,b,c中剩余的数值为 $6 - 3 - 3 = 0$
∴ 样本方差为：
$\begin{aligned}S^2&=\frac{1}{7}[(1-2)^2 + (3-2)^2 + (2-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2 + (3-2)^2 + (0-2)^2]\\&=\frac{1}{7}×(1 + 1 + 0 + 0 + 1 + 1 + 4)\\&=\frac{8}{7}\end{aligned}$
最终
9.饮料店为了了解本店罐装饮料上半年的销售情况,随机调查了8天该种饮料的日销售量(单位:听),结果如下:33,32,28,32,25,24,31,35.
(1)这8天的平均日销售量是多少听?
(2)根据上面的计算结果,估计上半年(按181天计算)该店能销售这种饮料多少听?
(1)这8天的平均日销售量是多少听?
(2)根据上面的计算结果,估计上半年(按181天计算)该店能销售这种饮料多少听?
答案
解：
(1) 这8天的平均日销售量为：
$\frac{1}{8}×(33+32+28+32+25+24+31+35) = \frac{240}{8} = 30$（听）
(2) 估计上半年该饮料总销售量为：
$30×181 = 5430$（听）
答：(1) 这8天的平均日销售量是30听；(2) 估计上半年该店能销售这种饮料5430听。
(1) 这8天的平均日销售量为：
$\frac{1}{8}×(33+32+28+32+25+24+31+35) = \frac{240}{8} = 30$（听）
(2) 估计上半年该饮料总销售量为：
$30×181 = 5430$（听）
答：(1) 这8天的平均日销售量是30听；(2) 估计上半年该店能销售这种饮料5430听。
10. 某校在11月9日消防日当天，组织七、八年级学生开展了一次消防知识竞赛，成绩分别为A,B,C,D四个等级，相应等级赋分为10分、9分、8分、7分。学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题。
(1)根据以上信息可以求出a=,b=,并把七年级竞赛成绩统计图补充完整.
(2)依据上表,你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好?并说明理由.
(3)该校七、八年级共有1600人参加本次知识竞赛,且规定9分及以上的成绩为优秀,请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生人数.
(1)根据以上信息可以求出a=,b=,并把七年级竞赛成绩统计图补充完整.
(2)依据上表,你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好?并说明理由.
(3)该校七、八年级共有1600人参加本次知识竞赛,且规定9分及以上的成绩为优秀,请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生人数.
答案
(1) $\boldsymbol{a=9}$，$\boldsymbol{b=10}$；七年级C等级人数为2，补充对应高度为2的柱状图即可。
(2) 七年级成绩更好，理由：两个年级平均分相等，七年级中位数更高，且方差更小，成绩更稳定。
(3) 估计该校七、八年级成绩为优秀的学生人数为 $\boldsymbol{960}$ 人。
(2) 七年级成绩更好，理由：两个年级平均分相等，七年级中位数更高，且方差更小，成绩更稳定。
(3) 估计该校七、八年级成绩为优秀的学生人数为 $\boldsymbol{960}$ 人。
解析
(1) 计算七年级C等级人数：七年级共抽取25名学生，已知A等级6人、B等级12人、D等级5人，因此C等级人数为 $25-6-12-5=2$。
将七年级25名学生的成绩从小到大排序，中位数是第13个数据：前6个数据为10分（A级），第7~18个数据为9分（B级），第13个数据为9，因此 $a=9$。
计算八年级各等级人数：A级人数为 $25×44\%=11$，B级人数为 $25×4\%=1$，C级人数为 $25×36\%=9$，D级人数为 $25×16\%=4$，其中10分（A级）的人数最多，因此众数 $b=10$。补充统计图：在七年级竞赛成绩统计图的C等级位置，绘制高度为2的长方形即可。
(2) 两个年级的平均分相同，七年级的中位数9大于八年级的中位数8，且七年级方差1.06小于八年级方差1.38，说明七年级中等水平的成绩更高，同时成绩波动更小、更稳定，因此七年级成绩更好。
(3) 抽取的样本中，七年级9分及以上的优秀人数为 $6+12=18$，八年级9分及以上的优秀人数为 $11+1=12$，总优秀率为 $\frac{18+12}{25+25}=60\%$。用样本估计总体，总人数1600，因此优秀人数估计为 $1600×60\%=960$。
将七年级25名学生的成绩从小到大排序，中位数是第13个数据：前6个数据为10分（A级），第7~18个数据为9分（B级），第13个数据为9，因此 $a=9$。
计算八年级各等级人数：A级人数为 $25×44\%=11$，B级人数为 $25×4\%=1$，C级人数为 $25×36\%=9$，D级人数为 $25×16\%=4$，其中10分（A级）的人数最多，因此众数 $b=10$。补充统计图：在七年级竞赛成绩统计图的C等级位置，绘制高度为2的长方形即可。
(2) 两个年级的平均分相同，七年级的中位数9大于八年级的中位数8，且七年级方差1.06小于八年级方差1.38，说明七年级中等水平的成绩更高，同时成绩波动更小、更稳定，因此七年级成绩更好。
(3) 抽取的样本中，七年级9分及以上的优秀人数为 $6+12=18$，八年级9分及以上的优秀人数为 $11+1=12$，总优秀率为 $\frac{18+12}{25+25}=60\%$。用样本估计总体，总人数1600，因此优秀人数估计为 $1600×60\%=960$。
