一、先填表，再填空。

1. 18和30的公因数有(),最大公因数是()。
2. 18和36的公因数有(),最大公因数是()。
3. 30和36的公因数有(),最大公因数是()。
4. 18、30和36的公因数有(),最大公因数是()。

填写表格
| | 所有因数 |
| ---- | ---- |
| 18 | 1,2,3,6,9,18 |
| 30 | 1,2,3,5,6,10,15,30 |
| 36 | 1,2,3,4,6,9,12,18,36 |
1. 18和30的公因数有(1,2,3,6)，最大公因数是(6)。
2. 18和36的公因数有(1,2,3,6,9,18)，最大公因数是(18)。
3. 30和36的公因数有(1,2,3,6)，最大公因数是(6)。
4. 18、30和36的公因数有(1,2,3,6)，最大公因数是(6)。

【分析】
解题前先明确两个核心方法：①找一个数的因数：从1开始按顺序找乘积等于这个数的整数对，每对的两个数都是该数的因数，按从小到大排列即可，能避免重复遗漏；②公因数是几个数共有的因数，其中数值最大的就是这几个数的最大公因数。解题时先分别找出18、30、36的所有因数填入表格，再对照每组数的因数，筛选出共有的因数和其中最大的数即可。
【解析】
第一步：找出各数的因数，填写表格
1. 找18的因数：$1×18=18$，$2×9=18$，$3×6=18$，因此18的因数为1、2、3、6、9、18；
2. 找30的因数：$1×30=30$，$2×15=30$，$3×10=30$，$5×6=30$，因此30的因数为1、2、3、5、6、10、15、30；
3. 找36的因数：$1×36=36$，$2×18=36$，$3×12=36$，$4×9=36$，$6×6=36$，因此36的因数为1、2、3、4、6、9、12、18、36。
第二步：分别计算每组的公因数和最大公因数
1. 对比18和30的因数，共有的因数是1、2、3、6，其中最大的数是6；
2. 对比18和36的因数，共有的因数是1、2、3、6、9、18，其中最大的数是18；
3. 对比30和36的因数，共有的因数是1、2、3、6，其中最大的数是6；
4. 对比18、30、36的因数，三个数共有的因数是1、2、3、6，其中最大的数是6。
【答案】
表格填写：
18的所有因数：1,2,3,6,9,18
30的所有因数：1,2,3,5,6,10,15,30
36的所有因数：1,2,3,4,6,9,12,18,36
1. 1,2,3,6；6
2. 1,2,3,6,9,18；18
3. 1,2,3,6；6
4. 1,2,3,6；6
【知识点】
找因数的方法，公因数，最大公因数
【点评】
本题是基础概念类应用题，核心考察对因数、公因数、最大公因数概念的理解，找因数时按顺序成对查找能有效避免漏写，找公因数时逐一比对筛选共有项即可，解题思路清晰易懂。
【难度系数】
0.8

二、选一选，填一填。

1. 和的最大公因数是6。
2. 和的最大公因数是4。
3. 和的最大公因数是1。
4. 和的最大公因数是2。
5. 是的倍数。

1. 6 12
2. 12 20
3. 6 17(答案不唯一)
4. 6 20
5. 12 6

【分析】
解题前我们先把题目里的4个数6、12、17、20的所有因数列出来，再依次比对每两个数的公因数找到对应最大公因数，同时判断两个数是否存在整除关系确定倍数关系即可。找因数的时候要按从小到大的顺序枚举，避免遗漏。
【解析】
首先列出4个数的所有因数：
6的因数：1、2、3、6
12的因数：1、2、3、4、6、12
17的因数：1、17
20的因数：1、2、4、5、10、20
1. 找最大公因数为6的两个数：6和12的公因数有1、2、3、6，最大公因数是6，因此填6、12。
2. 找最大公因数为4的两个数：12和20的公因数有1、2、4，最大公因数是4，因此填12、20。
3. 找最大公因数为1的两个数：只要两个数只有公因数1即可，比如6和17，它们的公因数只有1，最大公因数是1，符合要求（也可填12和17、17和20）。
4. 找最大公因数为2的两个数：6和20的公因数有1、2，最大公因数是2，因此填6、20。
5. 找倍数关系：12÷6=2，没有余数，说明12是6的倍数，因此填12、6。
【答案】
1. 6 12
2. 12 20
3. 6 17（答案不唯一）
4. 6 20
5. 12 6
【知识点】
最大公因数的计算，因数与倍数的概念，互质数的特征
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查对因数、最大公因数、倍数相关概念的理解和应用，熟练掌握枚举找因数的方法，就能快速匹配对应要求的数组合。
【难度系数】
0.8

三、按要求写出两个数,使它们的最大公因数是1。
1. 两个都是合数：和。
2. 一个质数、一个合数：和。
3. 两个都是合数并且是连续的自然数：和。
4. 一个奇数,一个偶数：和。

1. 4 9
2. 3 4
3. 8 9
4. 3 4(答案都不唯一)

【分析】
首先明确，最大公因数是1的两个数叫做互质数，本题实际是要求按不同条件写出互质数。解题时先回忆相关基础概念：①质数：只有1和它本身两个因数的数；②合数：除了1和它本身还有其他因数的数；③奇数：不是2的倍数的数，偶数：是2的倍数的数；④连续自然数：相邻的、差为1的自然数，相邻自然数天然只有公因数1。再对应每个小问的两个限制条件，找出符合要求的数即可，本题答案不唯一。
【解析】
1. 要求两个都是合数且互质：比如4的因数有1、2、4，属于合数；9的因数有1、3、9，属于合数，二者只有公因数1，符合要求。
2. 要求一个质数、一个合数且互质：比如3的因数只有1、3，属于质数；4的因数有1、2、4，属于合数，二者只有公因数1，符合要求。
3. 要求两个都是合数且是连续自然数：首先连续自然数天然互质，只需找相邻的两个合数即可，比如8的因数有1、2、4、8，属于合数；9的因数有1、3、9，属于合数，二者是连续自然数，只有公因数1，符合要求。
4. 要求一个奇数、一个偶数且互质：比如3不是2的倍数，属于奇数；4是2的倍数，属于偶数，二者只有公因数1，符合要求。
以上答案均不唯一，满足对应条件即可。
【答案】
1. 4；9
2. 3；4
3. 8；9
4. 3；4（答案都不唯一）
【知识点】
1. 互质数的特征
2. 质数与合数的定义
3. 奇数与偶数的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对不同数的分类标准以及互质数定义的掌握，只要能熟练区分各类数的特征，理解最大公因数为1的含义，就能快速举例作答。
【难度系数】
0.8

四、找出下面每组数的最大公因数,你能发现什么?
1. 5和25 13和39 7和63 12和60
（） （） （） （）
2. 8和9 4和13 2和5 7和11
（） （） （） （）
我发现:当两个数成倍数关系时,它们的最大公因数是()；当两个数互质时,它们的最大公因数是()。

1. 5 13 7 12
2. 1 1 1 1 较小的数 1

【分析】
解题前先回忆最大公因数的定义：两个数公有的因数中最大的数就是这两个数的最大公因数。首先观察两组数的特征，第一组的两个数均存在倍数关系，第二组的两个数除了1没有其他公共因数（互质）。我们可以先通过列举因数的方法分别求出每组数的最大公因数，再对比每组数的关系和对应的结果，归纳出通用规律即可。
【解析】
1. 计算第一组数的最大公因数：
5的因数：1、5；25的因数：1、5、25，二者最大公因数是5。
13的因数：1、13；39的因数：1、3、13、39，二者最大公因数是13。
7的因数：1、7；63的因数：1、3、7、9、21、63，二者最大公因数是7。
12的因数：1、2、3、4、6、12；60的因数：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60，二者最大公因数是12。
观察发现：这组数中较大数都是较小数的倍数，最大公因数均为两个数中较小的数。
2. 计算第二组数的最大公因数：
8的因数：1、2、4、8；9的因数：1、3、9，二者最大公因数是1。
4的因数：1、2、4；13的因数：1、13，二者最大公因数是1。
2的因数：1、2；5的因数：1、5，二者最大公因数是1。
7的因数：1、7；11的因数：1、11，二者最大公因数是1。
观察发现：这组数中两个数都只有公因数1（互质），最大公因数均为1。
综上可总结规律：当两个数成倍数关系时，它们的最大公因数是较小的数；当两个数互质时，它们的最大公因数是1。
【答案】
1. 5；13；7；12
2. 1；1；1；1；较小的数；1
【知识点】
最大公因数求法；倍数关系性质；互质数性质
【点评】
本题是公因数部分的基础题，通过计算特殊关系数对的最大公因数，引导大家总结通用规律，熟练掌握这两类规律后可以快速求解对应数对的最大公因数，不用逐一列举因数，提升解题效率。
【难度系数】
0.8