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18.某铁路桥长 1 000 m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了 1 min，整列火车完全在桥上的时间共 40 s.设火车的速度为 x m/s，火车的长度为 y m，则可列方程组为.
答案
18.$\begin{cases} 60x=1000+y, \\ 40x=1000-y \end{cases}$
解析
【分析】
解题时首先要区分火车过桥的两种不同场景对应的行驶路程，同时注意单位统一：1分钟要换算为60秒。① 火车从开始上桥到完全过桥：指的是从车头刚接触桥头开始，到车尾刚好离开桥尾结束，这段时间火车行驶的总路程等于桥的长度加上火车自身的长度；② 整列火车完全在桥上：指的是车尾刚进入桥头到车头刚好到达桥尾的过程，这段时间火车行驶的路程等于桥的长度减去火车自身的长度。再根据“路程=速度×时间”分别列等式，联立即可得到方程组。
【解析】
首先统一单位：1 min = 60 s。
1. 根据“火车从开始上桥到完全过桥共用了1 min”列方程：
该过程火车行驶的总路程 = 桥长 + 火车长度，结合路程公式可得：
$60x = 1000 + y$
2. 根据“整列火车完全在桥上的时间共40 s”列方程：
该过程火车行驶的路程 = 桥长 - 火车长度，结合路程公式可得：
$40x = 1000 - y$
联立两个方程即可得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} 60x=1000+y, \\ 40x=1000-y \end{cases}$
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 火车过桥行程问题
【点评】
本题是行程问题中的经典题型，解题核心是准确判断两种不同行驶状态下火车的实际行驶路程，同时要注意时间单位的统一，掌握两类场景的路程计算逻辑即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先要区分火车过桥的两种不同场景对应的行驶路程，同时注意单位统一：1分钟要换算为60秒。① 火车从开始上桥到完全过桥：指的是从车头刚接触桥头开始，到车尾刚好离开桥尾结束，这段时间火车行驶的总路程等于桥的长度加上火车自身的长度；② 整列火车完全在桥上：指的是车尾刚进入桥头到车头刚好到达桥尾的过程，这段时间火车行驶的路程等于桥的长度减去火车自身的长度。再根据“路程=速度×时间”分别列等式，联立即可得到方程组。
【解析】
首先统一单位：1 min = 60 s。
1. 根据“火车从开始上桥到完全过桥共用了1 min”列方程：
该过程火车行驶的总路程 = 桥长 + 火车长度，结合路程公式可得：
$60x = 1000 + y$
2. 根据“整列火车完全在桥上的时间共40 s”列方程：
该过程火车行驶的路程 = 桥长 - 火车长度，结合路程公式可得：
$40x = 1000 - y$
联立两个方程即可得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} 60x=1000+y, \\ 40x=1000-y \end{cases}$
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 火车过桥行程问题
【点评】
本题是行程问题中的经典题型，解题核心是准确判断两种不同行驶状态下火车的实际行驶路程，同时要注意时间单位的统一，掌握两类场景的路程计算逻辑即可快速解题。
【难度系数】
0.7
19.《九章算术》是我国汉代编订的一部数学经典著作，其中一次方程组是用算筹布置而成，如图①所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是$\begin{cases}3x + 2y = 17, \\x + 4y = 23.\end{cases}$类似的，如图②所示的算筹图用方程组表示出来，就是 ______ 。
答案
19.$\begin{cases} 2x+y=12, \\ 4x+3y=26 \end{cases}$
解析
【分析】首先根据题目给出的图①和对应的方程组，总结算筹表示的规律：每一行对应1个二元一次方程，一行从左到右四个部分的含义分别是：①x的系数，等于该位置竖线的根数；②y的系数，等于该位置竖线的根数；③常数项的十位数字，每根横线代表1个十，即10；④常数项的个位数字：仅竖线时，竖线根数就是个位数；如果有横线在竖线上方，上方1根横线代表5，加下方竖线的根数就是个位数。找到规律后，对应读取图②两行的数值，列出方程组即可。
【解析】首先根据已知的图①和对应方程组$\begin{cases}3x + 2y = 17, \\x + 4y = 23\end{cases}$，总结算筹规律：
每行对应一个方程，从左到右：第一个区域竖线数量为x的系数，第二个区域竖线数量为y的系数，第三个区域横线数量×10 + 第四个区域的数 = 常数项；其中第四个区域：竖线数量≤4时，数值等于竖线数；竖线上方有1根横线时，数值=5+下方竖线数。
读取图②的数值：
第一行（第一个方程）：x系数为2，y系数为1，常数项为$1×10+2=12$，可得方程$2x+y=12$；
第二行（第二个方程）：x系数为4，y系数为3，常数项为$2×10+(5+1)=26$，可得方程$4x+3y=26$。
【答案】$\begin{cases} 2x+y=12, \\ 4x+3y=26 \end{cases}$
【知识点】二元一次方程组的定义，规律探究
【点评】本题结合我国古代数学经典中的算筹记数方法，考查阅读理解和规律探究能力，解题核心是先从已知示例中总结算筹各位置的代表含义，再套用规律列出方程即可。
【难度系数】0.7
【解析】首先根据已知的图①和对应方程组$\begin{cases}3x + 2y = 17, \\x + 4y = 23\end{cases}$，总结算筹规律：
每行对应一个方程，从左到右：第一个区域竖线数量为x的系数，第二个区域竖线数量为y的系数，第三个区域横线数量×10 + 第四个区域的数 = 常数项；其中第四个区域：竖线数量≤4时，数值等于竖线数；竖线上方有1根横线时，数值=5+下方竖线数。
读取图②的数值：
第一行（第一个方程）：x系数为2，y系数为1，常数项为$1×10+2=12$，可得方程$2x+y=12$；
第二行（第二个方程）：x系数为4，y系数为3，常数项为$2×10+(5+1)=26$，可得方程$4x+3y=26$。
【答案】$\begin{cases} 2x+y=12, \\ 4x+3y=26 \end{cases}$
【知识点】二元一次方程组的定义，规律探究
【点评】本题结合我国古代数学经典中的算筹记数方法，考查阅读理解和规律探究能力，解题核心是先从已知示例中总结算筹各位置的代表含义，再套用规律列出方程即可。
【难度系数】0.7
20.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是7，如果把这个两位数加上9，所得的新两位数的个位数字和十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字.原来这个两位数是
34
.答案
20.34
解析
【分析】
这是一道数字类的方程应用题，解题思路如下：首先明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10 + 个位数字；题目给出两个等量关系：①原两位数十位数字+个位数字=7；②原两位数+9=数位交换后的新两位数。我们可以先设其中一个数位的数字为未知数，用第一个等量关系表示出另一个数位的数字，再代入第二个等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
设原来两位数的十位数字为$x$，则个位数字为$7-x$。
原两位数可表示为：$10x + (7-x)$
数位交换后的新两位数可表示为：$10(7-x) + x$
根据题意列方程：
$10x + (7-x) + 9 = 10(7-x) + x$
化简方程：
左边计算得$9x + 16$，右边计算得$70 - 9x$
移项得：$9x + 9x = 70 - 16$
合并同类项得：$18x = 54$
解得：$x = 3$
则个位数字为$7 - 3 = 4$，所以原来的两位数是34。
【答案】
34
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 两位数的表示
【点评】
本题属于基础的方程应用题型，解题核心是掌握两位数用数位数字表示的方法，准确从题干中提取等量关系列方程求解，熟练掌握后可以快速得出答案。
【难度系数】
0.7
这是一道数字类的方程应用题，解题思路如下：首先明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10 + 个位数字；题目给出两个等量关系：①原两位数十位数字+个位数字=7；②原两位数+9=数位交换后的新两位数。我们可以先设其中一个数位的数字为未知数，用第一个等量关系表示出另一个数位的数字，再代入第二个等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
设原来两位数的十位数字为$x$，则个位数字为$7-x$。
原两位数可表示为：$10x + (7-x)$
数位交换后的新两位数可表示为：$10(7-x) + x$
根据题意列方程：
$10x + (7-x) + 9 = 10(7-x) + x$
化简方程：
左边计算得$9x + 16$，右边计算得$70 - 9x$
移项得：$9x + 9x = 70 - 16$
合并同类项得：$18x = 54$
解得：$x = 3$
则个位数字为$7 - 3 = 4$，所以原来的两位数是34。
【答案】
34
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 两位数的表示
【点评】
本题属于基础的方程应用题型，解题核心是掌握两位数用数位数字表示的方法，准确从题干中提取等量关系列方程求解，熟练掌握后可以快速得出答案。
【难度系数】
0.7
21.某文具店用460元购进A,B两种钢笔，若全部按标价售出后可获得总利润160元，这两种钢笔的进价、标价如下表所示.
(1)求这两种钢笔各购进的数量；
(2)如果A种钢笔按标价的9折出售，B种钢笔按标价的9.5折出售，那么这批钢笔全部售完后，文具店比按标价出售少收多少元？
(1)求这两种钢笔各购进的数量；
(2)如果A种钢笔按标价的9折出售，B种钢笔按标价的9.5折出售，那么这批钢笔全部售完后，文具店比按标价出售少收多少元？
答案
21.解:(1)设购进A种钢笔x支,购进B种钢笔y支,根据题意,得
$\begin{cases} 8x+10y=460, \\ (10-8)x+(14-10)y=160, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=20, \\ y=30. \end{cases}$
答:购进A种钢笔20支,购进B种钢笔30支.
(2)$20×(10×0.9-8)+30×(14×0.95-10)=119$(元),
$160-119=41$(元).
答:文具店比按标价出售少收入41元.
$\begin{cases} 8x+10y=460, \\ (10-8)x+(14-10)y=160, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=20, \\ y=30. \end{cases}$
答:购进A种钢笔20支,购进B种钢笔30支.
(2)$20×(10×0.9-8)+30×(14×0.95-10)=119$(元),
$160-119=41$(元).
答:文具店比按标价出售少收入41元.
解析
【分析】
(1) 求解两种钢笔的购进数量，可通过设两个未知数，结合题干给出的两个等量关系列二元一次方程组求解：第一个等量关系为购进A、B两种钢笔的总进价为460元，即A的进价×A的数量 + B的进价×B的数量=460；第二个等量关系为按标价全部售出的总利润为160元，即单支A的利润×A的数量 + 单支B的利润×B的数量=160，解方程组即可得到结果。
(2) 计算打折后比按标价出售少收的金额，可先算出打折销售后的总利润，再用原总利润减去打折后的总利润，差值就是少收入的金额；也可直接计算两种钢笔打折后每支少卖的金额，乘各自数量求和，两种方法结果一致。
【解析】
(1) 设购进A种钢笔$x$支，购进B种钢笔$y$支，根据题意列方程组：
$\begin{cases} 8x+10y=460 \\ (10-8)x+(14-10)y=160 \end{cases}$
化简第二个方程得$x+2y=80$，变形为$x=80-2y$，代入第一个方程：
$8(80-2y)+10y=460$
$640-6y=460$
解得$y=30$，将$y=30$代入$x=80-2y$得$x=20$
即方程组的解为$\begin{cases} x=20 \\ y=30 \end{cases}$
(2) 先计算打折销售后的总利润：
A种钢笔打9折后的单支利润为$10×0.9-8=1$元，B种钢笔打9.5折后的单支利润为$14×0.95-10=3.3$元
打折后总利润为$20×1+30×3.3=119$元
比按标价出售少收入的金额为$160-119=41$元
【答案】
(1) 购进A种钢笔20支，购进B种钢笔30支；
(2) 文具店比按标价出售少收入41元。
【知识点】
二元一次方程组应用，利润计算，打折销售
【点评】
本题属于生活类实际应用题，核心考察从题干提取等量关系建立方程的能力，计算折扣时要注意折数与小数的换算，解题思路清晰，贴合日常消费场景，注重对知识应用能力的考察。
【难度系数】
0.7
(1) 求解两种钢笔的购进数量，可通过设两个未知数，结合题干给出的两个等量关系列二元一次方程组求解：第一个等量关系为购进A、B两种钢笔的总进价为460元，即A的进价×A的数量 + B的进价×B的数量=460；第二个等量关系为按标价全部售出的总利润为160元，即单支A的利润×A的数量 + 单支B的利润×B的数量=160，解方程组即可得到结果。
(2) 计算打折后比按标价出售少收的金额，可先算出打折销售后的总利润，再用原总利润减去打折后的总利润，差值就是少收入的金额；也可直接计算两种钢笔打折后每支少卖的金额，乘各自数量求和，两种方法结果一致。
【解析】
(1) 设购进A种钢笔$x$支，购进B种钢笔$y$支，根据题意列方程组：
$\begin{cases} 8x+10y=460 \\ (10-8)x+(14-10)y=160 \end{cases}$
化简第二个方程得$x+2y=80$，变形为$x=80-2y$，代入第一个方程：
$8(80-2y)+10y=460$
$640-6y=460$
解得$y=30$，将$y=30$代入$x=80-2y$得$x=20$
即方程组的解为$\begin{cases} x=20 \\ y=30 \end{cases}$
(2) 先计算打折销售后的总利润：
A种钢笔打9折后的单支利润为$10×0.9-8=1$元，B种钢笔打9.5折后的单支利润为$14×0.95-10=3.3$元
打折后总利润为$20×1+30×3.3=119$元
比按标价出售少收入的金额为$160-119=41$元
【答案】
(1) 购进A种钢笔20支，购进B种钢笔30支；
(2) 文具店比按标价出售少收入41元。
【知识点】
二元一次方程组应用，利润计算，打折销售
【点评】
本题属于生活类实际应用题，核心考察从题干提取等量关系建立方程的能力，计算折扣时要注意折数与小数的换算，解题思路清晰，贴合日常消费场景，注重对知识应用能力的考察。
【难度系数】
0.7
